Équations diérentielles - Exercices autonomie

Sommaire

3.1 Énoncés . . . 40 3.1.1 . . . 40 3.1.2 . . . 40 3.1.3 . . . 40 3.1.4 . . . 40 3.1.5 . . . 40 3.1.6 . . . 40 3.1.7 . . . 41 3.1.8 . . . 41 3.1.9 . . . 41 3.1.10 . . . 41 3.1.11 . . . 42 3.1.12 . . . 42 3.1.13 . . . 42 3.1.14 . . . 42 3.1.15 . . . 42 3.2 Corrections . . . 43 3.2.1 . . . 43 3.2.2 . . . 43 3.2.3 . . . 43 3.2.4 . . . 43 3.2.5 . . . 43 3.2.6 . . . 44 3.2.7 . . . 45 3.2.8 . . . 46 3.2.9 . . . 50 3.2.10 . . . 51 3.2.11 . . . 51 3.2.12 . . . 52 3.2.13 . . . 52 3.2.14 . . . 52 3.2.15 . . . 53

3.1.1

Donner les solutions des équations diérentielles suivantes :

y⁰ =y, y⁰ = 2y, y⁰ =−y, y⁰ = 2, y⁰⁰=−y⁰.

3.1.2

Donner l'unique solution des équations diérentielles vériant la condition supplémentaire :

f⁰+ 2f = 0 et f(1) = 3, 3f⁰−2f = 0 et f(3) =−1,

2f⁰ =f et 2f(−1) = 3, f−2f⁰ = 0 et f(0) = 3.

3.1.3

Donner les solutions des équations diérentielles suivantes :

y⁰ = 3y−1, 2y⁰ −5y+ 3 = 0, y= 2−3y⁰, y⁰+y= 2.

3.1.4

Donner les solutions des équations diérentielles suivantes vériant la condition supplémentaire :

f⁰+ 2f + 1 = 0 et f(1) = 3, 3f⁰−f = 3 et f(2) =−1,

2f⁰ =f −5 et f(0) = 2, f −4f⁰−3 = 0 et f(−1) = 1.

3.1.5

Dans chacun des cas suivants : 1. Résoudre l'équation homogène.

2. Vérier que la fonction f est une solution particulière de l'équation diérentielle. 3. Déterminer la solution générale de l'équation diérentielle sur R

y⁰+ 2y = 6; f(x) = 3. y⁰−y=x; f(x) =−x−1. 2y⁰+y=e^x; f(x) = ¹ 3^e x. y⁰−2y=e2x−1; f(x) = x.e2x+¹ 2.

3.1.6

Résoudre les équations diérentielles suivantes :

y⁰⁰+y⁰−6y= 0;

y⁰⁰−6y⁰+ 9y = 0;

y⁰⁰−2y⁰+ 2y = 0;

3.1.7

Dans chacun des cas suivants : 1. Résoudre l'équation homogène.

2. Vérier que la fonction f est une solution particulière de l'équation diérentielle. 3. Déterminer la solution générale de l'équation diérentielle sur R.

2y⁰⁰−3y⁰−2y= 4x+ 6; f(x) =−2x. y⁰⁰+ 4y= 3 cosx; f(x) = cosx. y⁰⁰+ 2y⁰+y=e^x+ 1; f(x) = ¹ 4^e x+ 1.

3.1.8

Déterminer la solution générale sur l'ensemble des nombres réels des équations diérentielles suivantes : 1. y⁰⁰+y⁰−6y= 2e^3x 2. y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 6x+ 1 + 4e^x+ 8e^−x 3. y⁰⁰−2y⁰+y= (x²+ 1)e^x 4. y⁰⁰+y = cos³x

3.1.9

Soit f la solution sur R telle que

f(0) = 0 f⁰(0) = 1 à l'équation diérentielle y⁰⁰+ 2 sin(xy⁰) +x²y−1 = 0

1. Exprimer le développement limité de f au voisinage de 0 à l'ordre 5.

2. Trouver une équation diérentielle simple vériée par la fonction tangente, et en déduire le développement limité de la fonction tangente à l'ordre 7 en 0.

3.1.10

On considère l'équation diérentielle à variables séparables suivante :

x²y²y⁰+ 1 =y.

Résoudre l'équation diérentielle linéaire suivante :

xy⁰−y = ¹

x^.

Trouver la solution qui satisfait une condition initiale : y(1) = 0.

3.1.12

On considère l'équation diérentielle sur ‘R

(E) : 2y⁰+ 3y= 6.

1. Résoudre sur Rl'équation diérentielle (E).

2. Déterminer l'unique solution g de (E)vériant g(−1) = 0.

3.1.13

Soit l'équation diérentielle (E) : y⁰ + 2y= 3e−3x et soit la fonction f dénie sur R par :

f(x) = ⁹

2e−2x−3e−3x.

1. Résoudre l'équation diérentielle (E0) : y⁰+ 2y = 0. 2. En déduire que la fonction h dénie sur R par h(x) = ⁹

2e−2x est solution de (E0).

3. Vérier que la fonction g dénie sur Rpar g(x) = −3e−3x est solution de l'équation (E). 4. En remarquant que f =g+h, montrer que f est une solution de (E).

3.1.14

On considère l'équation diérentielle

y⁰⁰+ 2y=x (E)

1. Quelle est l'équation homogène associée à (E) ? La résoudre. 2. Montrer que x7→ 1

2xest solution de (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de (E).

3.1.15

Trouver les solutions des équations diérentielles suivantes :

a)y⁰⁰(x)−4y⁰(x) + 3y(x) = x²e^x , b)y⁰⁰(x)−2y⁰(x)−y(x) = xe^x

3.2 Corrections

3.2.1

(avecλ, µ∈R)

y=λe^x, y=λe^2x, y =λe^−x, y= 2x+λ, y=λe^−x+µ.

Je vais détailler le premier résultat, les suivants se résolvent de la même manière. La démarche est la même que celle de la page ??.

Supposons y6= 0 etK, λ ∈_R y⁰ =y ⇔ ^y 0 y ^{= 1} ⇔ Z y⁰ y ⁼ Z 1 ⇔ ln|y|=x+K ⇔ y=λe^x

3.2.2

f(x) = 3e^2(1−x), f(x) =−e²3x−2, f(x) = ³ 2^e (x+1)/2, f(x) = 3e^x/2.

Détaillons le premier résultat :

f⁰+ 2f = 0 ⇔ f =λe^−2x (cf exercice 3.1.1)

La conditionf(1) = 3 implique f(1) =λe⁻2 = 3⇒λ= 3e2 d'où f(x) = 3e2e⁻2x = 3e2(1−x)

3.2.3

(avecλ ∈R) y =λe^3x+ 1/3, y=λe^5x/2+ ³ 5^{, y=λe} −x/3+ 2, y= 2 +λe^−x.

3.2.4

f(x) = −¹ 2⁺ 7 2^e 2(1−x), f(x) = −3 + 2e^(x−2)/3, f(x) = 5−3e^x/2, f(x) = 3−2e^(x+1)/4.

3.2.5

y⁰+ 2y = 6; f(x) = 3.

1. L'équation homogène esty⁰+ 2y= 0. Alors g(x) = 2 admet pour primitive G(x) = 2x. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions y(x) = k.e⁻2x.

2. Si y=f(x) = 3 alors y⁰ = 0 donc y⁰+ 2y= 0 + 2×3 = 6. Nous pouvons en conclure que f(x) = 3 est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions y(x) =k.e⁻2x+ 3.

2. Si y=f(x) = −x−1 alors y⁰ =−1 donc y⁰−y=−1 +x+ 1 =x. Nous pouvons en conclure que f(x) =−x−1 est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions y(x) =k.ex−x−1.

2y⁰+y=ex; f(x) = ¹ 3^e

x. 1. L'équation homogène est 2y⁰ +y = 0 ⇔ y⁰ + ¹

2^{.y = 0}. Alors g(x) = ¹

2 admet pour primitive G(x) = ¹

2^x.

Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions y(x) = k.e⁻¹2x. 2. Si y=f(x) = ¹ 3^e x alors y⁰ = ¹ 3^e x donc 2y⁰+y= ² 3^e x+¹ 3^e x =ex. Nous pouvons en conclure que f(x) = ¹

3^e

x est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions y(x) =k.e⁻¹2x+¹

3^e

x.

y⁰−2y=e2x−1; f(x) = x.e2x+¹ 2.

1. L'équation homogène est y⁰−2y= 0. Alors g(x) = −2 admet pour primitive G(x) =

−2x.

Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions y(x) = k.e2x. 2. Si y=f(x) = x.e2x+¹

2 alors y⁰ = 1.e2x+x.2e2x donc

y⁰−2y=e^2x+ 2xe^2x−2x.e^2x−2.¹

2 ^=e

2x−1

Nous pouvons en conclure que f(x) =x.e2x+ ¹

2 est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions y(x) =k.e^2x+x.e^2x+¹

2.

3.2.6

y⁰⁰+y⁰−6y= 0;

1. L'équation caractéristique est : r²+r−6 = 0: ∆ = 25 donc r1 =−3 et r2 = 2. 2. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions

y⁰⁰−6y⁰+ 9y = 0;

1. L'équation caractéristique est : r2−6r+ 9 = 0: ∆ = 0 donc r₁ =r₂ = 3; 2. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions

f(x) = (λ.x+µ)e^3x y⁰⁰−2y⁰+ 2y = 0;

1. L'équation caractéristique est : r² −2r+ 2 = 0 : ∆ = −4 donc r₁ = 1 +i et

r₂ = 1−i.

2. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions

f(x) = [λ.cos(x) +µ.sin(x)].e^x. y⁰⁰+ 9y= 0.

1. L'équation caractéristique est : r²+ 9 = 0 : ∆ = −36 doncr1 = 3i et r2 =−3i. 2. Les solutions de l'équation diérentielle (E_5.4) sont les fonctions

f(x) =λ.cos(3x) +µ.sin(3x)

3.2.7

2y⁰⁰−3y⁰−2y= 4x+ 6; f(x) =−2x. 1. Résolution de l'équation homogène 2y⁰⁰−3y⁰ −2y= 0

(a) L'équation caractéristique est : 2r2−3r−2 = 0: ∆ = 25 donc r₁ =−¹

2 et

r2 = 2.

(b) Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions f(x) = λ.e⁻¹2x+µ.e2x. 2. Solution particulière ?

Si y=f(x) = −2x alors y⁰ =−2 et y⁰⁰ = 0 d'où :

2y⁰⁰−3y⁰−2y= 2×0−3×(−2)−2×(−2x) = 4x+ 6

Nous pouvons en conclure que f(x) =−2x est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions

f(x) =λ.e⁻¹2x+µ.e^2x−2x y⁰⁰+ 4y= 3 cosx; f(x) = cosx. 1. Résolution de l'équation homogène y⁰⁰+ 4 = 0

(b) Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions

f(x) =λ.cos(2x) +µ.sin(2x).

2. Solution particulière ?

Si y=f(x) = cosx alors y⁰ =−sinx et y⁰⁰ =−cosx d'où :

y⁰⁰+ 4y=−cosx+ 4 cosx= 3 cosx

Nous pouvons en conclure que f(x) = cosx est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions

f(x) =λ.cos(2x) +µ.sin(2x) + cosx y⁰⁰+ 2y⁰+y=ex+ 1; f(x) = ¹

4^e

x+ 1. 1. Résolution de l'équation homogène y⁰⁰+ 2y⁰+y= 0

(a) L'équation caractéristique est : r2+ 2r+ 1 = 0 : ∆ = 0 donc r₁ =r₂ =−1. (b) Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions f(x) = (λ.x+µ)e⁻x. 2. Solution particulière ? Si y=f(x) = ¹ 4^e x+ 1 alors y⁰ = ¹ 4^e x et y⁰⁰ = ¹ 4^e x d'où : y⁰⁰+ 2y⁰ +y= ¹ 4^e x+ 2× ¹ 4^e x+ ¹ 4^e x+ 1 =e^x+ 1

Nous pouvons en conclure que f(x) = ¹ 4^e

x+ 1 est une solution particulière. 3. Les solutions de l'équation diérentielle sont les fonctions f(x) = (λ.x+µ)e⁻x+¹

4^e

x+ 1.

3.2.8

1.

y⁰⁰+y⁰−6y= 2e3x

(a) Équation caractéristique :

r²+r−6 = 0 ⇔ (r−2)(r+ 3) = 0.

Racines de l'équation caractéristique : deux racines distinctes réellesr₁ = 2, r₂ =−3.

Solutions particulières de l'équation homogène

y⁰⁰+y⁰−6y= 0 :e^2x et e^−3x.

Solution générale de l'équation homogène :

(b) Le second membre est une exponentielle :

e^kx, k ∈ {r₁, r₂}.

On recherche une solution particulière de la formey=aekx. y=ae^3x.

y⁰ = 3ae^3x. y⁰⁰ = 9ae^3x.

y⁰⁰+y⁰−6y= (9 + 3−6)ae^3x= 6ae^3x.

Pour quey=ae3xsoit solution particulière de l'équation complètey⁰⁰+y⁰−6y= 2e3x,

il faut donc que a vérie :6a= 2, a= ¹₃. y_P = ¹

3^e

3x.

(c) La solution générale de l'équation complète s'obtient par addition de la solution gé-nérale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation complète.

y =e^3x+k₁e^2x+k₂e^−3x, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R.

2.

y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 6x+ 1 + 4e^x+ 8e^−x

(a) Équation caractéristique :

r²−4r+ 3 = 0 ⇔ (r−3)(r−1) = 0.

Racines de l'équation caractéristique : deux racines distinctes réellesr₁ = 3, r₂ = 1.

Solutions particulières de l'équation homogènee3x et ex.

Solution générale de l'équation homogène :

y_H =k₁e^3x+k₂e^x, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R.

(b) Le second membre est somme de :

un polynôme du premier degré, 6x+ 1,

une exponentielle : ek1x, k₁ = 1∈ {r₁, r₂}={3,1},

une exponentielle : e^k2x, k₂ =−16∈ {r₁, r₂}={3,1}.

Nous allons rechercher une solution particulièrey_P qui soit somme de :

une solution particulièrey1 =ax+b de l'équation complètey⁰⁰−4y⁰+ 3y = 6x+ 1,

une solution particulièrey₂ =axex de l'équation complète y⁰⁰−4y⁰ + 3y= 4ex,

une solution particulièrey₃ =ae⁻x de l'équation complète y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 8e⁻x. y₁ =ax+b, y⁰₁ =a, y₁⁰⁰= 0,

y₁⁰⁰−4y⁰₁+ 3y₁ =−4a+ 3(ax+b) = 3ax+ (3b−4a) = 6x+ 1.

3a = 6, a= 2, 3b = 4a+ 1 = 9, b= 3, y₁ = 2x+ 3.

y₃ =ae^−x, y₃⁰ =−ae^−x, y₃⁰⁰ =ae^−x, y₃⁰⁰−4y₃⁰ + 3y3 = 8ae^−x = 8e^−x, a = 1,

y3 =e^−x.

y=y₁+y₂+y₃ = 2x+ 3−2xe^x+e^−x y= 2x+ 3−2xe^x+e^−x

(c) La solution générale de l'équation complète s'obtient par addition de la solution gé-nérale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation complète.

y= 2x+ 3−2xe^x+e^−x+k₁e^3x+k₂e^x, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R.

3.

y⁰⁰−2y⁰+y= (x2+ 1)ex

(a) Equation caractéristique :

r²−2r+ 1 = 0 ⇔ (r−1)² = 0.

Racines de l'équation caractéristique : une racine réelle double r= 1.

Solutions particulières de l'équation homogène

y⁰⁰−2y⁰+y= 0 : e^x et xe^x.

Solution générale de l'équation homogène :

y_H = (k₁x+k₂)e^x, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R.

(b) Le second membre (x² + 1)e^x est produit d'un polynôme de degré 2 et de l'expo-nentielle de x. Comme le produit d'un polynôme de degré 1 par ex est solution de l'équation homogène, posons :

y= (ax⁴ +bx³+cx²)e^x. y⁰ = (ax⁴+ (4a+b)x³+ (3b+c)x² + 2cx)e^x. y⁰⁰= (ax⁴+ (8a+b)x³+ (12a+ 6b+c)x²+ (6b+ 4c)x+ 2c)e^x. y⁰⁰−2y⁰+y = (12ax²+ 6bx+ 2c)e^x. Poura= ₁₂¹, b = 0, c= ¹₂, on obtient y⁰⁰−2y⁰+y= (x²+ 1)e^x.

D'où la solution particulière de l'équation complète :

yP = ^x 4 12 ⁺ x2 2 ! e^x.

(c) La solution générale de l'équation complète s'obtient par addition de la solution gé-nérale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation complète.

y= ^x 4 12 ⁺ x² 2 ^+k1x+k2 ! e^x, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R. 4. y⁰⁰+y = cos3x

(a) Équation caractéristique :

r²+ 1 = 0 ⇔ (r−i)(r+i) = 0

Racines de l'équation caractéristique : deux racines complexes distinctes :r₁ =i, r₂ =

−i.

Solutions particulières de l'équation homogène

y⁰⁰+y= 0 : cosx et sinx.

Solution générale de l'équation homogène :

y=k₁cosx+k₂sinx, k₁ ∈_R, k₂ ∈_R.

(b) Le second membre cos3x est combinaison linéaire de cos 3xet cosx: cos³x= ^(e ix+e^−ix)3 8 ⁼ (e^3ix+e^−3ix +e^ixe^−ix(e^ix+e^−ix)) 8 ⁼ (cos 3x+ cosx) 4

Cherchons une solution particulière de la forme

y=acos 3x+ (bx+c) cosx+ (dx+e) sinx. y=acos 3x+ (bx+c) cosx+ (dx+e) sinx. y⁰ =−3asin 3x+ (b+dx+e) cosx+ (d−bx−c) sinx

=−3asin 3x+ (dx+ (b+e)) cosx+ (−bx+ (d−c)) sinx. y⁰⁰ =−9acos 3x+ (−bx+ (2d−c)) cosx+ (−(dx+ (b+e))−b) sinx

=−9acos 3x+ (−bx+ (2d−c)) cosx−(dx+ (2b+e)) sinx y⁰⁰+y=−8acos 3x+ 2dcosx−2bsinx= (cos 3x+ cosx). a=−1

32, d= ¹₈, b= 0, c et e quelconques, par exemplec= 0, e= 0. y=− ¹ 32^{cos 3x+} 1 8^xsinx=− ¹ 32^{(4 cos} 3 x−cosx) + ¹ 8^xsinx y=− ¹ 32^cos 3x+¹ 8^xsinx+ 1 32^cosx.

1. y peut s'écrire

y=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+F x⁵+◦(x⁵)

Remarque : La notation ◦(x5) est une notation standard pour représenter le reste (nous ne rentrerons pas dans les détails ici).

Commey(0) = 0 et y⁰(0) = 1, on en déduit que A= 0 et B = 1. Donc

y=x+Cx²+Dx³+Ex⁴+F x⁵+◦(x⁵)

On en déduit

y⁰ = 1 + 2Cx+ 3Dx² + 4Ex³+ 5F x⁴+◦(x⁴)

et

y⁰⁰ = 2C+ 6Dx+ 12Ex²+ 20F x³+◦(x³)

On a : x2y=x3+Cx4+Dx5+Ex6+F x7+◦(x7) =x3+◦(x3)(tous les termes de degrés supérieurs à 3 sont négligeables devant x3 et "rentre" dans le reste) et on pose

xy⁰ =u=x+ 2Cx²+ 3Dx³+◦(x³)

Remarque : On peut faire un développement limité à l'ordre 3 en 0 seulement (si vous faîtes un DL à un ordre supérieur vous vous rendrez compte que les calculs sont plus compliqués et n'apporte pas d'information supplémentaires sur les coecients que l'on recherche). On obtient sin(xy⁰) = sin(u) = u− ^u 3 6 ⁺◦(u³) =x+ 2Cx²+ 3Dx³− ¹ 6^x 3+◦(x³)

Commey est solution de l'équation diérentielle, on a

(2C−1) + (6D+ 2)x+ (12E+ 4C)x²+ (20F + 6D− ¹

3^{+ 1)x}

3+◦(x³) = 0

et par unicité du développement limité, on a

         2C−1 = 0 6D+ 2 = 0 12E+ 4C = 0 20F + 6D+²₃ = 0 ⇐⇒          C = ¹₂ D = −1 3 E = −1 6 F = ₁₅¹ Donc y=x+^x 2 2 − ^x 3 3 − ^x 4 6 ⁺ x5 15⁺◦(x⁵) 2. On pose y= tan, on a y⁰ = 1 +y2 y(0) = 0 y⁰(0) = 1 . On a donc : y=x+◦(x); y2 =x2+◦(x2); y⁰ = 1 +y² = 1 +x²+◦(x²) En intégrant, on obtient y=K+x+ x3

y=x+^x

3

3 ⁺◦(x³); y² =x²+ ^2x₃⁴ +◦(x⁴); y⁰ = 1 +y² = 1 +x²+ ^2x

4

3 ⁺◦(x⁴)

En intégrant de nouveau, on obtient :

y=x+ ^x₃³ +²₁₅^x5 +◦(x5);

y2 =x2+^x₉⁶ +^2x₃⁴ +⁴₁₅^x6 +◦(x6);

y⁰ = 1 +x2+2x⁴

3 +17x⁶

45 +◦(x6)

On intègre une dernière fois pour obtenir

y=x+ ^x 3 3 ⁺ 2x5 15 ⁺ 17x7 315 ⁺◦(x⁷)

3.2.10

C'est une équation à variables séparables : x2y2y⁰ =y−1.

Si on divise par(y−1) etx2 on obtient :

y²y⁰ y−1 ⁼ 1 x2 ⇒ ^y 2dy y−1 ⁼ dx x2 Z y²dy y−1 ⁼ Z dx x2 Z dx x2 donne − ¹ x et ^{Z y2−1 + 1} y−1 ^dy= Z (y−1)(y+ 1) + 1 y−1 ^dy = Z (y+ 1 + ¹ y−1^{) dy=} y² 2 ^{+y+ ln(y}−1) +C, C ∈_R D'où −¹ x ⁼ y2 2 ^{+y+ ln(y}−1) +C ou bien x= ¹ −y2 2 −y−ln(y−1) +C ⁽∗)

Remarque : quand on divise par x2 ety−1on peut perdre des solutions x2 = 0 et y−1 = 0.

Vérication montre que x2 = 0 n'est pas une solution mais y= 1 l'est.

Donc nalement il y a une famille de solutions (∗) et aussi une solution y= 1.

3.2.11

Après réécriture cette équation devient y⁰− ^y

x ⁼

1

x2.

C'est une équation linéaire d'ordre 1, la méthode est classique (résolution de l'équation homo-gène puis méthode de la variation de la constante pour trouver une solution particulière). Avec la condition initiale on trouve :

y=− ¹ 2x ⁺ 1 2^x= 1 2 x− ¹ x

Alors, si on multiplie cette équation par 1

x, cela donne 1

xy⁰− y

x2 = _x¹3.

Le côté gauche est la dérivée exacte de y x.

Après l'intégration cela donne :

y x ⁼ Z 1 x3dx= Z x⁻³dx= ^x −2 −2 ^{+C, C} ∈_R. Donc y=− ¹ 2x ^+Cx.

La condition initiale implique 0 =−1

2 +C ⇒C= ¹₂ ety=−1

2x + ¹₂x= ¹₂(x− 1

x)

3.2.12

1. L'équation peut s'écrire y⁰ =−3

2y+ 3, les solutions sont les fonctions f de la forme

f : x7→2 +ke−3 2x

aveck une constante réelle.

2. Dire que g est une solution de (E)signie qu'il existe un réel k tel que : pour tout x réel, g(x) = 2 +ke−3

2x org(−1) = 0 d'où 0 = 2 +ke3

2 soit k = −2e−3 2 on a alors g(x) = 2−2e−³₂(x+1).

3.2.13

1. (E')⇐⇒y⁰ =−2y. D'après le cours, les solutions de (E') sont les fonctions dénies sur R de la forme x7→Ce−2x, où C est une constante réelle.

2. En particulier, avec C = ⁹

2, on obtient la fonctionh.

3. g est dérivable surR etg⁰(x) = 9e−3x. Par conséquent, pour tout réel x:

g⁰(x) + 2g(x) = 9e−3x−6e−3x = 3e−3x,

ce qui prouve queg est bien solution de (E).

4. Comme f =g+h, on a f⁰ =g⁰ +h⁰, donc, pour tout réel x :

f⁰(x) + 2f(x) =g⁰(x) + 2g(x) | {z } 3e−3x +h⁰(x) + 2h(x) | {z } 0 = 3e−3x,

etf est alors bien solution de (E).

3.2.14

1. L'équation homogène est y⁰⁰+ 2y= 0. Ces solutions sont les x7→λcos(√

2x) +µsin(√

2x) oùλ, µ∈R.

2. Posons φ(x) = ¹₂x. On a φ⁰(x) = ¹₂ et φ⁰⁰(x) = 0 donc φ⁰⁰(x) + 2φ(x) =x. 3. Toute solution est du type x7→ 1

2x+λcos(√

2x) +µsin(√

3.2.15

a) y⁰⁰−4y⁰ + 3y=x2exp(x)

L'équation homogène associée est : y⁰⁰−4y⁰ + 3y= 0.

L'équation caractéristique associée est : r2+ 4r+ 3 = 0dont les racines sont1et3. La solution générale de l'équation homogène est :

yg(x) =Aexp(3x) +Bexp(x) A, B ∈IR.

Cherchons une solution particulière de l'équation complète sous la forme

y₀(x) =P(x) exp(x).

Comme1est racine simple de l'équation caractéristique, on chercheP(x)parmi les polynômes de degré 3, P(x) = ax3 +bx2 + cx+d. En portant dans l'équation complète on obtient :

a=−¹

6^{, b=}−¹

4^{, c =}−¹

4 etd quelconque, d'où la solution générale cherchée :

y(x) = Aexp(3x) + (−¹ 6^x 3−¹ 4^x 2− ¹ 6^{x+D) exp(x), D} ∈IR. b) y⁰⁰−2y⁰−y=xexp(x).

Les racines de l'équation caractéristique sont : 1−^√2et 1 +√

2.

La solution générale de l'équation homogène est :

y_g(x) =Aexp(1−^√2)x+Bexp(1 +√

2)x , A, B ∈IR.

Une solution particulière de l'équation complète sera cherchée sous la forme

y₀(x) = (ax+b) exp(x).

En portant dans l'équation, on a a =−¹

2 et b= 0,d'où la solution générale :

y(x) = Aexp(1−^√2)x+Bexp(1 +√

2)x− ^x

2^exp(x).

c) y⁰⁰−4y⁰+ 5y =x²

Les racines de l'équation caractéristique sont : 2 +i et 2−i.

La solution générale de l'équation homogène est :

y_g(x) = (Acosx+Bsinx) exp(2x), A, B ∈IR.

Puisque le second membre est un polynôme de degré 2, on cherchons une solution particulière de l'équation complète parmi les polynômes de degré 2:y₀(x) =ax2+bx+c. En portant dans l'équation on a : a= ¹

5 ^{, b =} 8

25 et c= ²²

125^, d'où la solution générale cherchée :

y(x) = (Acosx+Bsinx) exp(2x) + (¹ 5^x 2 + ⁸ 25^x+ 22 125^). d) y⁰⁰+y⁰ −2y = cosx+ coshx

y_g(x) = Aexp(x) +Bexp(−2x), A, B ∈IR.

Comme le second membre est la somme de deux fonctions, on cherche alors une solution par-ticulière sous la forme y₀₁+y₀₂ oùy₀₁ correspond au second membre cosx ety₀₂ à coshx.

On cherche y01 parmi les fonctions trigonométriques y01(x) =αcosx+βsinx, en portant dans l'équation on a : y₀₁(x) =− ³

10^cosx+ 1 10^sinx.

Pour chercher y₀₂, on applique la méthode de la variation des constantes. On pose :

y₀₂(x) =A(x) exp(x) +B(x) exp(−2x) avec A⁰(x) exp(x) +B⁰(x) exp(−2x) = 0. En portant dans l'équation on déduire le système :

(

A⁰(x) exp(x) +B⁰(x) exp(−2x) = 0

−2A⁰(x) exp(−2x) +B⁰(x) exp(x) = coshx

La solution de ce système est :

       A⁰(x) = −¹ 3^{coshxexp(2x) =}−¹ 6^{(exp(3x) + exp(x))} B⁰(x) = ¹ 3^coshxexp(−x) = ¹ 6^{(1 + exp(}−2x)) Par intégration on a : A(x) =− ¹ 18^exp(3x)−¹ 6^exp(x)et B(x) = ^x 6 − ¹ 12^exp(−2x). C'est à dire : y₀₂(x) = − ¹ 18^exp(4x)− ¹ 6^{exp(2x) +} x 6^exp(−2x)− ¹ 12^exp(−4x) =−¹ 9^{cosh 4x}− ¹ 6^{exp(2x) +} x 6^exp(−2x).

Finalement la solution générale cherchée est :

y(x) = Ae^x+ (B+ ^x 6^)e −2x− ³ 10^cosx+ 1 10^sinx−¹ 9^{cosh 4x}− ¹ 6^e 2x

Chapitre 4

Dans le document 1 Exercicescorrigésd'autonomiedemathématiques ∗ Pierre-LouisCAYRELJean-FrançoisFERRARISAnneMASSARDIERSéverineRIVOLLIER (Page 39-55)