ExamensetContrôlescontinus Calculs M231L1PC2009/2010 Gloria Faccanoni

(1)

Différ

entiel

Calcul s

s

M231

L1PC

2009/2010

Gloria FACCANONI

Examens

et

ôles

(2)

(3)

Table des matières

Contrôle ¬ 7

Contrôle ¬ - thème A 9

Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[12 points] . . . 9

Solution de l’exercice ¶. . . 9

Exercice · : différentielle.[5 points] . . . 10

Solution de l’exercice ·. . . 10

Exercice ¸ : fonctions implicites.[8 points] . . . 10

Solution de l’exercice ¸. . . 10

Contrôle ¬ - thème B 11 Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[12 points] . . . 11

Contrôle ¬ - thème C 13 Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[12 points] . . . 13

Contrôle ¬ - thème D 15 Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[12 points] . . . 15

Contrôle 19 Contrôle - thème A 21 Exercice ¶ : extrema libres.[10 points]. . . 21

Exercice · : extrema liés.[6 points]. . . 21

Exercice ¸ : intégrales, fonctions intégrales.[9 points] . . . 22

Contrôle - thème B 25 Exercice ¶ : extrema libres.[10 points]. . . 25

Exercice ¸ : intégrales, fonctions intégrales.[10 points] . . . 26

Contrôle - thème C 29 Exercice ¶ : extrema libres.[10 points]. . . 29

Exercice ¸ : integrales, fonctions intégrales.[10 points] . . . 30

(4)

Table des matières

Contrôle - thème D 33

Exercice ¶ : extrema libres.[10 points]. . . 33

Exercice ¸ : integrales, fonctions intégrales.[10 points] . . . 34

Contrôle ® 37 Contrôle ® - thème A 39 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[6 points] . . . 39

Exercice · : intégrales doubles et triples.[17 points] . . . 39

Contrôle ® - thème B 43 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[6 points] . . . 43

Contrôle ® - thème C 47 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[6 points] . . . 47

Contrôle ® - thème D 51 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[6 points] . . . 51

Contrôle ® - thème E 55 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[6 points] . . . 55

Contrôle ¯ 61 Contrôle ¯ - thème A 63 Exercice ¶ : champs de vecteurs et formes différentielles.[7 points] . . . 63

Exercice · : EDO du premier ordre.[23 points] . . . 63

M231 - L1 PC - Examen du 21 mai 2010 67 Examen du 21 mai 2010 69 Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[4 points] . . . 69

Exercice · : extrema libres, extrema liés.[6 points] . . . 69

Exercice ¸ : «Les experts - Toulon» et «Un gâteau presque parfait».[7 points] . . . 69

Exercice ¹ : champs de vecteurs.[5 points] . . . 69

Exercice º : intégrales doubles et triples, intégrales généralisées.[6 points] . . . 69

Solution de l’exercice ¶ . . . 70

Solution de l’exercice · . . . 70

Solution de l’exercice ¸ . . . 71

Solution de l’exercice ¹ . . . 72

Solution de l’exercice º . . . 73

M231 - L1 PC - Rattrapage du 28 juin 2010 75

4

(5)

Université du Sud Toulon-Var Module M231 Mardi 2 mars 2010

Rattrapage du 28 juin 2010 77

Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité.[4 pt]. . . 77

Exercice · : extrema libres, extrema liés.[6 pt]. . . 77

Exercice ¸ : formes différentielles.[5 pt]. . . 77

Exercice ¹ : problèmes de Cauchy.[6 pt] . . . 77

Exercice º : intégrales doubles et triples, intégrales généralisées.[10 pt] . . . 77

Solution de l’exercice ¶ . . . 78

Solution de l’exercice · . . . 78

Solution de l’exercice ¸ . . . 78

Solution de l’exercice ¹ . . . 79

Solution de l’exercice º . . . 80

(6)

(7)

Contrôle ¬

(8)

(9)

Contrôle ¬ - thème A

Exercice ¶ : continuité, dérivabilité, différentiabilité. [12 points]

1. [3 points]Soit f : R

2→ Rune application et (x0, y₀) ∈ R

2

. Compléter les phrases suivantes par ⇒ , ⇐ , ⇔ ou Aucune implication : 1.1 f est continue en (x0, y

0) il existe ∇f (x0, y

0) ;

1.2 f est continue en (x0, y₀) fest différentiable en (x0, y₀) ; 1.3 f est différentiable en (x0, y

0) ; 1.4 f est de classe C

1

(R

2

) fest différentiable en (x0, y

1

(R

2

) fest continue en (x0, y₀) ;

1.6 f est de classe C

1

(R

2

) il existe ∇f (x0, y

0) ; 2. Soit f : R

2→ Rla fonction ainsi définie

f(x , y) = (_x2y²

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

2.1. [2 points]Est-elle continue sur R²? Justifier la réponse.

2.2. [2 points]Calculer ∇f (x , y) pour (x , y) 6= (0, 0), i.e. le vecteur de composantes

∂f

∂x (x, y),

∂f

∂y (x, y).

2.3. [2 points]Calculer ∇f (0, 0), i.e. le vecteur de composantes

∂f

∂x (0,0),

∂f

∂y (0,0).

2.4. [2 points]La fonction f est-elle de classe C

1

(R

2

) ? Justifier la réponse.

2.5. [1 point]Que peut-on conclure sur la différentiabilité de la fonction f sur R²? Solution de l’exercice ¶.

1. Soit f : R

2→ Rune application et (x0, y

0) ∈ R

2

. 1.1 f est continue en (x0, y

0) Aucune implication il existe ∇f (x0, y

0) ; 1.2 f est continue en (x0, y

0) ⇐ fest différentiable en (x0, y

0) ; 1.3 f est différentiable en (x0, y

0) ⇒ il existe ∇f (x0, y

1

(R

2

) ⇒ fest différentiable en (x0, y

1

(R

2

) ⇒ fest continue en (x0, y

1

(R

2

) ⇒ il existe ∇f (x0, y₀) ;

2. 2.1. La fonction est clairement continue dans R

2\ {(0, 0)}. Elle est aussi continue en (0, 0) car

lim

(x ,y)→(0,0)

f(x , y) = lim

(x ,y)→(0,0)

x²y² x²+ y²

= lim

ρ→0

∀θ

ρ²cos

2θsin

2θ ≤lim

ρ→0ρ²= 0 = f (0, 0).

f est donc continue sur R². 2.2. Pour (x , y) 6= (0, 0) on a

∇f(x , y) =

∂f

∂x(x , y)

∂f

∂y(x , y)

=

2x y⁴ (x²+y²)²

2x⁴y (x²+y²)²

! .

2.3. Pour (x , y) = (0, 0) on a

∇f(0, 0) =

_∂f

∂x(0, 0)

∂f

∂y(0, 0)

=

limx→0f(x ,0)−f (0,0) x−0

limy→0f(0,y)−f (0,0) y−0

!

=

0 0

.

2.4. On a déjà vérifié que la fonction est continue sur R². Vérifions si ses dérivées partielles sont continues sur R². On a

∂f

∂x (x, y) = (

2x y 4

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0), lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x (x, y) = lim_ρ→

∀θ0

2ρ

5

(cos θ sin

4θ) ρ⁴ = lim_ρ→

0

2ρ = 0 =

∂f

∂x (0,0)

(10)

Mardi 2 mars 2010 Module M231 Université du Sud Toulon-Var

∂f

∂y (x, y) = (

2x⁴y

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y (x, y) = lim

ρ→0

∀θ

2ρ

5

(cos

4θsin θ)

ρ⁴ = lim

ρ→02ρ = 0 =

∂f

∂y (0,0),

la fonction est donc de classe C¹(R²).

2.5. Puisque toute fonction de classe C

1

(Ω) est différentiable sur Ω, on conclut que f est différentiable sur R

2

. Exercice · : différentielle.[5 points]

1. [2 points]Écrire la définition de différentiabilité en un point (x0, y₀) ∈ R

2

pour une application f : R

2→ R.

2. [3 points]Vérifier, en utilisant la définition, que la fonction f : R²→ Rtelle que f (x , y) = x y − 3x² est différentiable en (1; 2).

Solution de l’exercice ·.

1. Une application f : R²→ Rest différentiable en (x0, y

0) ∈ R² ssi lim

(x ,y)→(x0,y 0)

f(x , y) − f (x0, y₀) − f

x0(x0, y₀)(x − x0) − f

y0(x0, y₀)(y − y0) px²+ y²

= 0.

2. On a

f(x , y) = x y − 3x

2 f(1, 2) = −1,

f_x⁰(x , y) = y − 6x fx(1, 2) = −4,

f_y⁰(x , y) = x fy(1, 2) = 1,

donc f(x , y) − f (x0, y₀) − f

x0(x0, y₀)(x − x0) − f

y0(x0, y₀)(y − y0) p

(x − x0)²+ (y − y0)²

= xy −3x

2

+ 1 + 4(x − 1) − (y − 2) p

(x − 1)²+ (y − 2)² .

Avec le changement de variables x = 1 + r cos θ et y = 2 + r sin θ ce rapport se réécrit xy −3x²+ 1 + 4(x − 1) − (y − 2)

p

(x − 1)²+ (y − 2)²

=

(1 + r cos θ)(2 + r sin θ) − 3(1 + r cos θ)²+ 1 + 4r cos θ − r sin θ

r = r cos θ(sin θ − 3 cos θ)

On a alors

xy −3x

2

+ 1 + 4(x − 1) − (y − 2) p

(x − 1)²+ (y − 2)²

≤4r −−→

r→0 0 d’où

lim

(x ,y)→(1,2)

xy −3x²+ 1 + 4(x − 1) − (y − 2) p

(x − 1)²+ (y − 2)²

= 0.

La fonction est donc différentiable en (1, 2).

Exercice ¸ : fonctions implicites.[8 points]

On considère la courbe plane d’équation

ye^x+ e

y

sin(2x ) = 0. (1)

1. [3 points]Vérifier que l’équation (1) définie une et une seule fonction y = φ(x ) au voisinage de (0, 0).

2. [3 points]Calculer φ

0

(0) et écrire l’équation de la droite tangente au graphe de la fonction φ en le point (0, φ(0)).

3. [2 points]En déduire la limite de

y

x quand (x , y) tend vers (0, 0) en étant sur la courbe.

Solution de l’exercice ¸.

On pose f (x , y) = ye

x

+ e

y

sin(2x )

1. On note que (0, 0) est une solution de l’équation f (x , y) = 0. On a fx(x , y) = ye

x

+ 2e

y

cos(2x ), f_x⁰(0, 0) = 2,

fy(x , y) = e

x

+ e

y

sin(2x ), f_y⁰(0, 0) = 1.

Puisque f

y0(0, 0) 6= 0 il existe une et une seule fonction y = φ(x ) définie au voisinage de 0 tel que f (x , φ(x )) = 0.

2. On a

φ⁰(0) = − f_x⁰(0, 0) f_y⁰(0, 0)

= −2 donc l’équation de la droite tangente à φ en x = 0 est y = −2x .

3. On a

lim

(x ,y)→(0,0) f(x ,y)=0

y x = lim^x→0

φ(x ) x = lim_x→

0

φ(x ) − φ(0) x −0

= lim_x→

0

φ⁰(x ) = φ

0

(0) = −2.

10

(11)

Contrôle ¬ - thème B

2

. Completer les phrases suivantes par ⇒ , ⇐ , ⇔ ou Aucune implication : 1.1 fest continue en (x0, y

0) ; 1.2 fest continue en (x0, y₀) f est de classe C

1

(R

2

) ; 1.3 fest continue en (x0, y

0) f est différentiable en (x0, y

0) ; 1.4 fest de classe C

1

(R

2

) f est différentiable en (x0, y

0) ;

1.5 il existe ∇f (x0, y₀) f est de classe C

1

(R

2

) ; 1.6 il existe ∇f (x0, y

0) f est différentiable en (x0, y

0) ; 2. Soit f : R

f(x , y) = (_x3y²

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

∂f

∂x (x, y),

∂f

∂y (x, y).

∂f

∂x (0,0),

∂f

∂y (0,0).

1

(R

2

1. Soit f : R

0) ∈ R

2

. 1.1 f est continue en (x0, y

0) Aucune implication il existe ∇f (x0, y

0) ; 1.2 f est continue en (x0, y

0) ⇐ fest de classe C

1

(R

2

) ; 1.3 f est continue en (x0, y

1

(R

2

) ⇒ fest différentiable en (x0, y

0) ; 1.5 il existe ∇f (x0, y

1

(R

2

) ; 1.6 il existe ∇f (x0, y₀) ⇐ fest différentiable en (x0, y₀) ; 2. 2.1. La fonction est clairement continue dans R

lim

(x ,y)→(0,0)

f(x , y) = lim

(x ,y)→(0,0)

x³y² x²+ y²

= lim

ρ→0

∀θ

ρ³cos

3θsin

2θ= lim

ρ→0ρ³= 0 = f (0, 0).

∇f(x , y) =

∂f

∂x(x , y)

∂f

∂y(x , y)

=

x²y²(x²+3y²) (x²+y²)²

2x⁵y (x²+y²)²

! .

2.3. Pour (x , y) = (0, 0) on a

∇f(0, 0) =

_∂f

∂x(0, 0)

∂f

∂y(0, 0)

=

limx→0f(x ,0)−f (0,0) x−0

limy→0f(0,y)−f (0,0) y−0

!

=

0 0

.

∂f

∂x (x, y) = (_x2y²(x

2 +3y

2 )

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0), lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x (x, y) = lim_ρ→

∀θ0

ρ⁶cos

2θsin

2θ(cos

2θ+ 3 sin

2θ)

ρ⁴ = lim_ρ→

0

4ρ

2

= 0 =

∂f

∂x (0,0)

(12)

∂f

∂y (x, y) = (

2x⁵y

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y (x, y) = lim

ρ→0

∀θ

2ρ

6

(cos

5θsin θ)

ρ⁴ = lim

ρ→02ρ

2

= 0 =

∂f

∂y (0,0),

1

2

1. [2 points]Écrire la définition de différentiabilité en un point (x0, y₀) ∈ R

2

2→ R.

2. [3 points]Vérifier, en utilisant la définition, que la fonction f : R²→ Rtelle que f (x , y) = x y − 3y² est différentiable en (2; 1).

0) ∈ R² ssi lim

(x ,y)→(x0,y 0)

f(x , y) − f (x0, y₀) − f

x0(x0, y₀)(x − x0) − f

y0(x0, y₀)(y − y0) px²+ y²

= 0.

2. On a

f(x , y) = x y − 3y

2 f(2, 1) = −1,

f_x⁰(x , y) = y fx(2, 1) = 1,

f_y⁰(x , y) = x − 6y fy(2, 1) = −4,

donc f(x , y) − f (x0, y₀) − f

x0(x0, y₀)(x − x0) − f

y0(x0, y₀)(y − y0) p

(x − x0)²+ (y − y0)²

=

xy −3y

2

+ 1 − (x − 2) + 4(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)² .

Avec le changement de variables x = 2 + r cos θ et y = 1 + r sin θ ce rapport se réécrit xy −3y²+ 1 − (x − 2) + 4(y − 1)

p

(x − 2)²+ (y − 1)²

=

(2 + r cos θ)(1 + r sin θ) − 3(1 + r sin θ)²+ 1 − r cos θ + 4r sin θ

r = r sin θ(cos θ − 3 sin θ).

On a alors

xy −3y

2

+ 1 − (x − 2) + 4(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)²

≤4r −−→

r→0 0 d’où

lim

(x ,y)→(2,1)

xy −3y²+ 1 − (x − 2) + 4(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)²

= 0.

ye^x+ e

y

sin(2x ) = 0. (2)

0

y

On pose f (x , y) = ye

x

+ e

y

sin(2x )

1. On note que (0, 0) est une solution de l’équation f (x , y) = 0. On a fx(x , y) = ye

x

+ 2e

y

cos(2x ), f_x⁰(0, 0) = 2,

fy(x , y) = e

x

+ e

y

sin(2x ), f_y⁰(0, 0) = 1.

Puisque f

2. On a

φ⁰(0) = − f_x⁰(0, 0) f_y⁰(0, 0)

= −2 donc l’équation de la droite tangente à φ en x = 0 est y = −2x .

3. On a

lim

(x ,y)→(0,0) f(x ,y)=0

y x = lim^x→0

φ(x ) x = lim_x→

0

φ(x ) − φ(0) x −0

= lim_x→

0

φ⁰(x ) = φ

0

(0) = −2.

12

(13)

Contrôle ¬ - thème C

2

. Compléter les phrases suivantes par ⇒ , ⇐ , ⇔ ou Aucune implication : 1.1 fest différentiable en (x0, y

0) fest continue en (x0, y

0) ; 1.2 fest différentiable en (x0, y₀) fest de classe C

1

(R

2

) ; 1.3 fest différentiable en (x0, y

0) ; 1.4 il existe ∇f (x0, y

0) fest continue en (x0, y

0) ;

1.5 il existe ∇f (x0, y₀) fest de classe C

1

(R

2

) ; 1.6 fest continue en (x0, y

0) fest de classe C

1

(R

2

) ; 2. Soit f : R

f(x , y) = (_x2y³

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

∂f

∂x (x, y),

∂f

∂y (x, y).

∂f

∂x (0,0),

∂f

∂y (0,0).

1

(R

2

1. Soit f : R

0) ∈ R

2

.

1.1 f est différentiable en (x0, y₀) ⇒ fest continue en (x0, y₀) ; 1.2 f est différentiable en (x0, y

1

(R

2

) ; 1.3 f est différentiable en (x0, y

0) ⇒ il existe ∇f (x0, y

0) ; 1.4 il existe ∇f (x0, y

0) Aucune implication fest continue en (x0, y

0) ; 1.5 il existe ∇f (x0, y

1

(R

2

) ; 1.6 f est continue en (x0, y₀) ⇐ fest de classe C

1

(R

2

) ; 2. 2.1. La fonction est clairement continue dans R

lim

(x ,y)→(0,0)

f(x , y) = lim

(x ,y)→(0,0)

x²y³ x²+ y²

= lim

ρ→0

∀θ

ρ³cos

2θsin

3θ= lim

ρ→0ρ³= 0 = f (0, 0).

∇f(x , y) =

∂f

∂x(x , y)

∂f

∂y(x , y)

=

2x y⁵ (x²+y²)² x²y²(3x²+y²)

(x²+y²)²

! .

2.3. Pour (x , y) = (0, 0) on a

∇f(0, 0) =

_∂f

∂x(0, 0)

∂f

∂y(0, 0)

=

limx→0f(x ,0)−f (0,0) x−0

limy→0f(0,y)−f (0,0) y−0

!

=

0 0

.

∂f

∂x (x, y) = (

2x y 5

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0), lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x (x, y) = lim_ρ→

∀θ0

2ρ

6

(cos θ sin

5θ) ρ⁴ = lim_ρ→

0

2ρ

2

= 0 =

∂f

∂x (0,0)

(14)

∂f

∂y (x, y) = (_x₂_y₂

(3x²+y²)

(x²+y²)² si (x , y) 6= (0, 0), 0 si (x , y) = (0, 0).

lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y (x, y) = lim

ρ→0

∀θ

ρ⁶(3 cos

2θ+ sin

2θ)

ρ⁴ = lim

ρ→04ρ

2

= 0 =

∂f

∂y (0,0),

1

2

1. [2 points]Écrire la définition de différentiabilité en un point (x0, y

0) ∈ R

2

2→ R.

2. [3 points]Vérifier, en utilisant la définition, que la fonction f : R

2→ Rtelle que f (x , y) = x y + 3y

2

est différentiable en (2; 1).

1. Une application f : R

2→ Rest différentiable en (x0, y

0) ∈ R

2

ssi lim

(x ,y)→(x0,y₀)

f(x , y) − f (x0, y

0) − f

0 x(x0, y

0)(x − x0) − f

0 y(x0, y

0)(y − y0) px²+ y²

= 0.

2. On a

f(x , y) = x y + 3y

2 f(2, 1) = 5,

f_x⁰(x , y) = y fx(2, 1) = 1,

f_y⁰(x , y) = x + 6y fy(2, 1) = 8,

donc f(x , y) − f (x0, y

0) − f

x0(x0, y

0)(x − x0) − f

y0(x0, y

0)(y − y0) p

(x − x0)²+ (y − y0)²

=

xy+ 3y

2−5 − (x − 2) − 8(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)² .

Avec le changement de variables x = 2 + r cos θ et y = 1 + r sin θ ce rapport se réécrit xy+ 3y

2−5 − (x − 2) − 8(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)²

=

(2 + r cos θ)(1 + r sin θ) + 3(1 + r sin θ)

2−5 − r cos θ − 8r sin θ

r = r sin θ(3 sin θ + cos θ).

On a alors

xy+ 3y

2−5 − (x − 2) − 8(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)²

≤4r −−→

r→0

0 d’où

lim

(x ,y)→(2,1)

xy+ 3y²−5 − (x − 2) − 8(y − 1) p

(x − 2)²+ (y − 1)²

= 0.

xe^y+ e

x

sin(2y) = 0. (3)

0

y

On pose f (x , y) = x e

y

+ e

x

sin(2y)

1. On note que (0, 0) est une solution de l’équation f (x , y) = 0. On a f_x(x , y) = e

y

+ e

x

sin(2y), f_x⁰(0, 0) = 1,

fy(x , y) = x e

y

+ 2e

x

cos(2y), f_y⁰(0, 0) = 2.

Puisque f

2. On a

φ⁰(0) = − f_x⁰(0, 0) f_y⁰(0, 0)

= − 1 2 donc l’équation de la droite tangente à φ en x = 0 est y = −

1 2

x. 3. On a

lim

(x ,y)→(0,0) f(x ,y)=0

y x = lim^x→0

φ(x ) x = lim_x→

0

φ(x ) − φ(0) x −0

= lim_x→

0

φ⁰(x ) = φ

0

(0) = − 1 2 .

14

(15)

Contrôle ¬ - thème D

0) ∈ R

2

. Compléter les phrases suivantes par ⇒ , ⇐ , ⇔ ou Aucune implication : 1.1 il existe ∇f (x0, y₀) fest continue en (x0, y₀) ;

1.2 il existe ∇f (x0, y

0) fest différentiable en (x0, y

0) ; 1.3 il existe ∇f (x0, y

1

(R

2

) ; 1.4 f est différentiable en (x0, y₀) fest continue en (x0, y₀) ; 1.5 f est différentiable en (x0, y

1

(R

2

) ; 1.6 f est continue en (x0, y

1

(R

2

) ; 2. Soit f : R

2→ Rla fonction ainsi définie f(x , y) =

(

(x²+ y²)³cos

1

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0),

0 si (x , y) = (0, 0).

2.1. [2 points]Est-elle continue sur R

2

? Justifier la réponse.

∂f

∂x (x, y),

∂f

∂y (x, y).

∂f

∂x (0,0),

∂f

∂y (0,0).

1

(R

2

2.5. [1 point]Sans faire de calculs, que peut-on conclure sur la différentiabilité de la fonction f sur R

2

? Solution de l’exercice ¶.

1. Soit f : R

0) ∈ R

2

. 1.1 il existe ∇f (x0, y

0) Aucune implication fest continue en (x0, y

0) ; 1.2 il existe ∇f (x0, y

0) ; 1.3 il existe ∇f (x0, y

0) ⇐ fest de classe C¹(R²) ;

1.4 f est différentiable en (x0, y

0) ⇒ fest continue en (x0, y

0) ; 1.5 f est différentiable en (x0, y

1

(R

2

) ; 1.6 f est continue en (x0, y₀) ⇐ fest de classe C

1

(R

2

) ; 2. 2.1. La fonction est clairement continue dans R

lim

(x ,y)→(0,0)

f(x , y) = lim_ρ→

∀θ0

ρ⁶cos 1

ρ² = 0 = f (0, 0).

f est donc continue sur R

2

. 2.2. Pour (x , y) 6= (0, 0) on a

∇f(x , y) =

∂f

∂x(x , y)

∂f

∂y(x , y)

=

6x (x²+ y²)²cos

1

x²+y² + 2x (x²+ y²) sin

1 x²+y²

6y(x²+ y²)²cos

1

x²+y² + 2y(x²+ y²) sin

1 x²+y²

! .

2.3. Pour (x , y) = (0, 0) on a

∇f(0, 0) =

∂f

∂x(0, 0)

∂f

∂y(0, 0)

=

limx→0

f(x ,0)−f (0,0) x−0

limy→0f(0,y)−f (0,0) y−0

!

=

0 0

.

∂f

∂x (x, y) = (

6x (x²+ y²)²cos

1

x²+y²+ 2x (x²+ y²) sin

1

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0),

0 si (x , y) = (0, 0),

lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x (x, y) = lim

ρ→0

∀θ

6ρ

5

cos θ cos 1 ρ² + 2ρ

3

cos θ sin 1 ρ² = 0 =

∂f

∂x (0,0)

(16)

∂f

∂y (x, y) = (

6y(x

2

+ y

2

)

2

cos

1

x²+y² + 2y(x

2

+ y

2

) sin

1

x²+y² si (x , y) 6= (0, 0),

0 si (x , y) = (0, 0).

lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y (x, y) = lim_ρ→0

∀θ

6ρ

5

sin θ cos 1 ρ² + 2ρ

3

sin θ sin 1 ρ² = 0 =

∂f

∂y (0,0),

la fonction est donc de classe C

1

(R

2

).

1

2

1. [2 points]Écrire la définition de différentiabilité en un point (x0, y

0) ∈ R

2

2→ R.

2. [3 points]Vérifier, en utilisant la définition, que la fonction f : R

2→ Rtelle que f (x , y) = x y − 2y

2

est différentiable en (−2; 3).

0) ∈ R² ssi lim

(x ,y)→(x0,y₀)

f(x , y) − f (x0, y

0) − f

x0(x0, y

0)(x − x0) − f

y0(x0, y

0)(y − y0) px²+ y²

= 0.

2. On a

f(x , y) = x y − y

2 f(2, 1) = −15,

f_x⁰(x , y) = y f_x(2, 1) = 3,

f_y⁰(x , y) = x − 2y f_y(2, 1) = −8,

donc f(x , y) − f (x0, y

0) − f

0 x(x0, y

0)(x − x0) − f

0 y(x0, y

0)(y − y0) p

(x − x0)²+ (y − y0)²

=

xy − y²+ 15 − 3(x + 2) + 8(y − 3) p

(x + 2)²+ (y − 3)² .

Avec le changement de variables x = −2 + r cos θ et y = 3 + r sin θ ce rapport se réécrit xy − y²+ 15 − 3(x + 2) + 8(y − 3)

p

(x + 2)²+ (y − 3)²

=

(−2 + r cos θ)(3 + r sin θ) − 2(3 + r sin θ)

2

+ 15 − 3r cos θ + 8r sin θ

r = r sin θ(cos θ−2 sin θ).

On a alors

xy − y²+ 15 − 3(x + 2) + 8(y − 3) p

(x + 2)²+ (y − 3)²

≤3r −−→

r→0

0 d’où

lim

(x ,y)→(−2,3)

xy − y²+ 15 − 3(x + 2) + 8(y − 3) p

(x + 2)²+ (y − 3)²

= 0.

La fonction est donc différentiable en (−2, 3).

2x

3y+ 2x

2

+ y

2

= 5. (4)

0

3. [2 points]Sachant que

φ⁰⁰(x ) = − f_xx⁰⁰(f

y0)

2−2f

x0f_y⁰f_xy⁰⁰ + (f

x0)

2f_yy⁰⁰ (f

y0)³ en déduire le dévéloppement de Taylor de φ à l’ordre 2 centré en x = 1.

On pose f (x , y) = 2x

3y+ 2x

2

+ y

2−5

1. On note que (1, 1) est une solution de l’équation f (x , y) = 0. On a fx(x , y) = 6x

2y+ 4x fx(1, 1) = 10,

fy(x , y) = 2x

3

+ 2y, fy(1, 1) = 4.

Puisque f

16

(17)

Université du Sud Toulon-Var Module M231 Mardi 23 mars 2010

2. On a

φ⁰(1) = − f_x⁰(1, 1) f_y⁰(1, 1)

= − 5 2 donc l’équation de la droite tangente à φ en x = 1 est y = −

5

2(x − 1) + 1 = −

5 2

x+

7 2. 3. On a

φ⁰⁰(x ) = − f_xx⁰⁰(f

y0)²−2f

x0f_y⁰f_xy⁰⁰ + (f

x0)²f_yy⁰⁰ (f

y0)³ et

fxx(x , y) = 4(3x y + 1) fxx(1, 1) = 16,

fxy(x , y) = 6x

2 fxy(1, 1) = 6,

f_yy(x , y) = 2, f_yy(1, 1) = 2,

donc φ

00

(1) = −1 d’où φ(x ) = φ(1) + φ

0

(1)(x − 1) +

φ⁰⁰(1) 2 (x − 1)

2

= 1 −

5

2(x − 1) −

1 2(x − 1)

2.

(18)

(19)

Contrôle

(20)

(21)

Contrôle - thème A

Nome : Prénom :

Signature : Note :

Exercice ¶ : extrema libres.[10 points]

2→ Rune application de classe C

2

(R

2

) et soit (x0, y₀) ∈ R

2

. Compléter les phrases suivantes par ⇒ ,

⇐, ⇔ ou Aucune implication :

1.1 ∇f(x0, y

0) = (0, 0) (x0, y

0) est un extrema ; 1.2 ∇f(x0, y

0) = (0, 0) (x0, y

0) est un point critique ; 1.3 (x0, y₀) est un point critique (x0, y₀) est un extrema ; 1.4 (x0, y

0) est un point critique (x0, y

0) est un point de selle ;

2. [8 points]Déterminer et classifier les 5 points critiques (en spécifiant s’ils sont des max, des min ou des points de selle) de la fonction f : R

2→ Rdéfinie par

f(x , y) = (x

2− y²)e

(−x²−y²).

Solution de l’exercice ¶.

1. On a

1.1 ∇f(x0, y

0) = (0, 0) ⇐ (x0, y

0) est un extrema ; 1.2 ∇f(x0, y

0) = (0, 0) ⇔ (x0, y

0) est un point critique ; 1.3 (x0, y

0) est un point critique ⇐ (x0, y

0) est un extrema ; 1.4 (x0, y

0) est un point critique ⇐ (x0, y

0) est un point de selle ; 2. Cherchons d’abord les 5 points critiques :

∇f(x , y) =

2x (1 − x

2

+ y

2

)e

(−x²−y²)

2y(−1 − x²+ y²)e^(−x

2−y²)

!

et ∇f (x , y) = (0, 0) ssi

(x , y) ∈ {(0, 0), (0, 1), (0, −1), (1, 0), (−1, 0) }.

Étudions maintenant séparément chacun de ces points en calculant au préalable le déterminant de la matrice hessienne de la fonction f en un point quelconque :

fxx(x , y) = 2e

(−x²−y²)

(1 − 5x

2

+ y

2

+ 2x

4−2x

2y²), fxy(x , y) = 4x y(x

2− y²)e

(−x²−y²), fyy(x , y) = 2e

(−x²−y²)

(−1 − x

2

+ 5y

2

+ 2x

2y²−2y

4

), D(x , y) = fxx(x , y)fyy(x , y) − (fxy(x , y))

2. On a alors

(x0, y

0) fxx(x0, y

0) fxy(x0, y

0) fyy(x0, y

0) D(x0, y

0)

(0, 0) 2 0 −2 −4 c’est un POINT DE SELLE

(1, 0) −⁴_e 0 −_e⁴ ¹⁶_e

2 c’est un MAX

(−1, 0) −⁴_e 0 −_e⁴ ¹⁶_e

2 c’est un MAX (0, 1)

4

e 0

4

e 16

e² c’est un MIN (0, −1)

4

e 0

4

e 16

e² c’est un MIN

Exercice · : extrema liés.[6 points]

Trouver le parallélépipède (i.e. une boîte fermée) de volume 8 dont la surface est minimale . . . 1. [3 points]. . .avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange (i.e. minimisation d’une

fonction f (x , y, z) sous une contrainte g(x , y, z) = 0) ;

2. [3 points]. . .avec la méthode des extrema libres en éliminant une variable de la contrainte (par exemple en minimisant une fonction h(x , y) = f (x , y, z(x , y))).

x z

y

ExamensetContrôlescontinus Calculs M231L1PC2009/2010 Gloria Faccanoni

Différ

entiel

Calcul s

s

M231

L1PC

2009/2010

Gloria FACCANONI

Examens

et

ôles

Table des matières

Contrôle ¬

Contrôle ¬ - thème A

Contrôle ¬ - thème B

Contrôle ¬ - thème C

Contrôle ¬ - thème D

Contrôle ­

Contrôle ­ - thème A

Contrôle

Contrôle - thème A