Propriétés statistiques des photoélectrons

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Propriétés statistiques des photoélectrons

Martine Rousseau

To cite this version:

Martine Rousseau. Propriétés statistiques des photoélectrons. Journal de Physique, 1969, 30 (8-9),

pp.675-686. �10.1051/jphys:01969003008-9067500�. �jpa-00206831�

PROPRIÉTÉS STATISTIQUES

^DES

PHOTOÉLECTRONS

Par MARTINE

ROUSSEAU,

Institut

d’Électronique

Fondamentale

(1),

^{Faculté des} Sciences, 91-Orsay.

(Reçu

^{le 10} février

1969.)

Résumé. 2014 Les instants d’émission ^de

photoélectrons

par ^une

photocathode placée

^dans

un

champ optique

^{forment un} processus

stochastique ponctuel

dénommé processus de Poisson

composé.

^Nous

rappelons

^la définition

précise

^{de ce} processus ^{et sa} liaison avec les fluctuations de l’intensité lumineuse. Nous étudions ensuite diverses variables aléatoires liées à ce processus et accessibles

expérimentalement

par ^{des mesures de}

comptages

^ou d’intervalles de

temps.

Nous établissons différentes

propriétés intrinsèques

^{de ces variables} aléatoires, c’est-à-dire

indépendantes

^du

champ optique.

^{Par ailleurs, nous} comparons ^ces variables aléatoires pour

quelques

^modèles

statistiques

^de

champs optiques

réalisables

expérimentalement.

Abstract. ²⁰¹⁴ The time of emission of

photoelectrons generated by

^a

photocathode

^immersed

in an

optical

field constitute a

point

stochastic process called

compound

Poisson process.

The

precise

definition of this process ^and its connection with the fluctuations of the

light

^inten-

sity

^are

given.

^We

study

^{some random variables connected} with this process ^and which can

be

experimentally

^studied

by photocounts

and time intervals measurements. Some

properties

of these random variables

independent

^{of the}

optical

^{field are} established. Furthermore ^we compare these ^random variables for some statistical models of

experimentally

^feasible

optical

fields.

I. Introduction. ^- Au cours de ces dernières

annees,

de nombreux travaux

theoriques

^et

exp6rimentaux

ont ete consacr6s aux

probl6mes

^de

statistique

^des

photons

^et

photoelectrons.

^{Ceci est du d’une} part ^a l’introduction de sources

optiques

^nouvelles

(lasers) qui

^ont

permis

^{d’obtenir en} laboratoire une

beaucoup plus grande

variete de

champs optiques

^{et d’autre}

part

a 1’utilisation de

plus

^en

plus fr6quente

^en

optique

^de

techniques

de detection

impulsionnelle

^couramment

employees

^en

physique

nucl6aire.

Malheureusement,

ces travaux ont souvent ete

publi6s

^{sous forme de}

lettres breves ne

permettant

pas d’avoir ^{une vue}

générale

^du

probl6me.

Dans cet

article,

^nous essayons d’aborder la

question

sous cet

angle.

Cette m6thode a l’inconv6nient de

presenter

^nos resultats dans un ensemble comprenant certains resultats

deja

^{connus, mais} par ^{contre a}

l’avantage

^{de donner a}

1’expose

^{un cours}

plus logique

et

plus synth6tique.

Lorsqu’un

^{d6tecteur tres sensible est}

place

^{dans un}

champ optique

suffisamment

faible,

^le

signal

^{de sortie}

qu’il

^{fournit est form6}

d’impulsions qui peuvent

^etre suffisamment breves _pour determiner avec une assez

bonne

approximation

^{un « instant} d’emission »

ti.

L’ensemble de ^ces

instants,

6videmment

al6atoires,

forme

un processus ponctuel. Naturellement,

^{à l’échelle}

microscopique,

^ce processus ^est lie a un autre processus

repr6sentant

les instants

d’absorption

^d’un

photon

^du

champ électromagnétique

par le

d6tecteur,

^{mais ce}

dernier processus ^{ne sera} pas 6tudi6 dans cet article.

La d6finition

complete

^d’un processus

ponctuel

^est

extremement

compliqu6e,

^et n’est bien connue que dans les cas

simples

^des processus de Poisson

[1]

^ou

des _processus de renouvellement

[2].

^{Pour les}

photo- électrons,

l’ensemble des théories actuellement connues

semble

indiquer qu’il s’agit

^d’un

processus

de Poisson

composé.

Nous donnons dans le

premier paragraphe

une d6finition

precise

^et

complete

^{d’un tel} processus

qui

^sera utilis6e dans toute la suite.

Les 6tudes

experimentales

^des processus

ponctuels peuvent

^{se classer en deux}

grandes categories :

^mesures

de

statistiques

de nombre de

points

^{dans diff6rents}

intervalles,

^ou

comptages,

^{et mesure} d’intervalles de temps ^entre differents 6v6nements lies au processus.

Toutes ces mesures se

completent

^{les unes} les autres,

et en

general

^{aucune n’est} suffisante _pour caract6riser le processus. Par

ailleurs,

^leur

interpretation

^necessite

l’introduction de certaines variables al6atoires

(v.a.) (nombre

^de

points,

intervalles de

temps, etc.)

^{et les}

propri6t6s statistiques

^des

photoelectrons

^{sont d6ter-}

min6es _par la connaissance de celles de ces v.a. Dans le second

paragraphe,

^nous introduisons les v.a.

qui

nous ont paru les

plus importantes

^{et les}

plus

accessibles a des mesures

experimentales.

^{Nous en}

pr6cisons

^de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003008-9067500

nombreuses

propri6t6s statistiques ind6pendantes

^{de la}

nature du

champ optique

^dans

lequel

^{se trouve le}

d6tecteur.

Mais 6videmment cette nature influe fortement sur

les lois de

probabilit6

^{des v.a. 6tudi6es et nous 6tudions}

ce

point

^{dans le dernier}

paragraphe

pour differents modeles

statistiques

^de

champs optiques

^{dont les}

définitions et certaines

propri6t6s

^{sont donn6es en}

annexe. Nous avons

essaye

^de

presenter

1’ensemble des nombreux resultats de

façon

^{a en} faciliter la _compa- raison.

II. Photoélectrons et processus de Poisson

composes.

- La nature du processus

ponctuel ( ti ) precedemment

introduit a ete 6tudi6e _par de nombreux auteurs, mais

g6n6ralement

^{sous une forme}

incomplete

^{et dans}

l’intention

d’interpr6ter

^certaines

experiences parti-

culières

(comptages

^ou

coincidences) [3].

^{A notre}

connaissance,

^seuls

Kelley

^{et Kleiner}

[4]

^{ont defini}

correctement 1’ensemble du processus d’une

façon

^assez

semblable a celle _que nous

indiquons

^ici.

Les processus

ponctuels

^sont des processus stochas-

tiques qui

^sont presque ^surement des fonctions dis- continues. Mais certains sont en tout

point

presque surement

continus,

^et nous ne nous occuperons ici _que de cette classe

[5].

Nous allons ^montrer _que leur loi

temporelle

^{a alors}

une

signification physique

extremement

simple. Appe-

lons

dN(6)

le nombre al6atoire de

points

tombant dans l’intervalle

[6,

^{6 +}

d6].

^{Si le} processus n’a pas de

points d’accumulation,

c’est-a-diresi Pr

[dN(6)

>

1]

⁼

o(d6),

on

peut

^{montrer assez}

simplement

que la connaissance de la loi

temporelle

^{se r6duit a} celle de la

quantité :

Dans cette

expression, n

^{et les}

instants {6}

^sont

absolument arbitraires.

Les _processus de Poisson

composes

^{sont d6finis} par la relation :

ou

F(6)

^{est une} fonction al6atoire

(f.a.) positive

^et que

nous supposerons stationnaire dans ^toute la suite. On

en deduit 6videmment _que le _processus

ponctuel lui-

meme est stationnaire. Les processus de Poisson _purs

sont naturellement un cas

particulier

pour

lequel

^la

fonction

F(6)

^{est une constante}

positive,

^{et on retrouve}

alors sur les

equations (2.1)

^et

(2.2)

que les accrois-

sements

dN(6)

^sont

independants.

Dans une etude

quantique

^du

phenomene

^{de detec-}

tion

optique, Kelley

^{et Kleiner ont trouve} que

l’équa-

tion

(2.2) s’appliquait

^aux

photoelectrons

^{et de}

plus

on

peut

^retrouver

1’interpretation semi-classique

^{de la}

fonction

F(6) deja indiqu6e

par Mandel :

F(6)

^est

proportionnelle

^a l’intensit6 lumineuse instantan6e du

champ optique

^{ou se trouve} le d6tecteur. Tres r6cem- ment,

Lehmberg [6]

^{a retrouve un resultat tout a fait}

analogue

^en

pr6cisant

^un peu

plus

^le

phenomene phy- sique

de l’émission des

photoelectrons.

L’int6r6t des _processus de Poisson

composes

pour tous les

probl6mes qui

^vont suivre reside dans le fait que pour ^une

6preuve

donn6e de la f.a.

F(6),

^{ce sont}

des processus de Poisson purs ^non stationnaires _pour

lesquels

^{on connait}

deja

^{un tres}

grand

^{nombre de}

résultats.

Nous allons illustrer ceci _par 1’6tude des

problemes

de

perte

^de

comptage

^{et de} retards al6atoires

[7].

Le

premier probleme

^{est tres}

important pratique-

ment, ^{car a} la sortie d’un d6tecteur certains 6v6nements peuvent al6atoirement etre

perdus,

^{et de meme a}

1’echelle de la

photocathode

^tous les processus d’ab-

sorption

^de

photons n’engendrent

pas ^un

photoelectron.

Si la loi

qui regit

^le

phenomene

^de

perte

^est

ind6pen-

dante d’un

point

^{a un autre et}

ind6pendante

^de

F(t),

pour ^une valeur donn6e de

F(t)

^le processus ^{reste sans}

mémoire,

^donc

poissonnien.

^Le processus final est donc

toujours

de Poisson

compose,

mais decrit _par la fonc- tion

AF(t)

^ou

X(O X 1) repr6sente

^la

probabilite

pour ^tout

photoelectron

^d’etre

perdu.

Le deuxieme

phenomene apparait si,

pour diff6rentes raisons dans le fonctionnement du

d6tecteur,

^il y ^{a un} temps ^de transit al6atoire entre l’instant d’6mission par la

photocathode

^et l’instant de detection. Si on

suppose que

chaque point

^{est retarde}

ind6pendamment

et al6atoirement d’une

quantite

^T de densite de

probabilite g(t),

^{on obtient} un nouveau processus de Poisson

compose,

caracterise _par la fonction :

III.

Propri£t£s statistiques

^des

photoélectrons

^indd-

pendantes

^du

champ optique.

^{- Dans cette}

section,

nous admettons _que les

photoelectrons

^{sont distribues}

selon un processus de Poisson

compose,

^{mais nous ne}

faisons aucune

hypothese

^sur

F(6),

c’est-a-dire sur le

champ optique

^dans

lequel

^{se trouve} le d6tecteur.

Nous allons tout d’abord donner un certain nombre de resultats sur les comptages ^{et sur les mesures d’inter-} valles de

temps.

L’id6e de base des

experiences

^de

comptage

^consiste

a determiner les

propri6t6s

de variables al6atoires discontinues

repr6sentant

le nombre de

points

^du

processus dans un ou

plusieurs

intervalles. Le

procédé

le

plus

^courant pour r6aliser cette

experience

^consiste

a faire un tres

grand

^nombre

d’épreuves

^et

d’analyser

les nombres de coups obtenus ^au moyen d’un s6lecteur multicanaux.

Cependant,

differents

types d’experiences,

^{et donc}

de calculs

theoriques,

^sont

possibles :

-

Comptages

relaxés : dans ce cas, l’intervalle A T

pendant lequel

^on compte ^est arbitraire.

-

Comptages

déclenchés: ici l’intervalle OT est li6 à

un

point

^du processus 6tudi6. Par

exemple

^{la «}

porte »

qui

d6termine A T peut ^{etre ouverte} par ^un

point

^du

processus.

-

Multicomptages :

^{dans ce cas, on considere n v.a.}

g6n6ralement

^{li6es et}

repr6sentant

le nombre de

points

dans n intervalles

g6n6ralement disjoints.

III.A. COMPTAGES RELAXES. ^- Ce sont les

plus

commodes a

r6aliser,

^{et donc ceux}

qui

^{ont ete le}

plus

etudies. Soit N le nombre al6atoire de

points

^dans

un intervalle AT arbitraire. La v.a. N

prend

^des

valeurs entières avec les

probabilités :

ou X est la v.a. :

Cette formule obtenue _par Mandel

[3]

^{et retrouv6e}

depuis

par de tres nombreux auteurs se deduit direc-

tement de la definition du _processus de Poisson

compose.

D’ailleurs N est une v.a. de Poisson

compos6e

par la relation :

ou

p(x)

^{est la densite de}

probabilit6 (d.d.p.)

^{de la}

v.a. X d6finie _par

1’6quation (3.2).

Les résultats

exp6rimentaux

^{realises avec des}

d.d.p. p(x)

^{connues ont tres}

largement

^{v6rifi6 cette}

expression.

La fonction

caractéristique

^{de la v.a. N s’6crit}

6videmment :

d’oii l’on deduit

1’expression

^{de la fonction}

g6n6ratrice :

la

fonction j9 (s)

6tant la transformée de

Laplace de p(x).

A

partir

^{de ces résultats}

deja

^{connus, nous allons}

6tablir un certain nombre de

propri6t6s intrins6ques

de la v.a. N. L’int6r6t de ^ces

propri6t6s apparaitra plus

nettement a la fin de cette

section,

lors de 1’6tude de 1’inversion de la formule

(3.3).

II I . A .1. Moments et moments

factoriels

^{de N. - Les}

moments de N peuvent ^etre obtenus soit _par sommation a l’ aide des pn, ^soit par

developpement

^{en s6rie de u}

au

voisinage

^de

l’origine

^{de la fonction}

caractéristique cpN(u).

^Nous n’allons pas donner

1’expression explicite

des moments

qui,

^comme pour ^une loi de Poisson pure,

est assez

complexe,

mais donner ^un

d6veloppement

permettant de comparer les lois de Poisson

compos6es

a celles de Poisson pures.

Supposons

^d’abord que N est une v.a. de Poisson pure. Sa loi de

probabilite

^{est donn6e par}

l’équa-

tion

(3.1)

^{ou X n’est} pas ^aliatoire

(X

⁼

m).

^Montrons

alors _que l’on a :

les

a(k)

6tant des coefficients

plus grands

^{que 1. La}

propriete

^est 6videmment vraie

pour k

^{= 1 et 2.}

Montrons alors _que si elle est vraie

jusqu’a

^1’ordre

k,

elle est vraie a l’ordre

(k + 1).

On a en effet :

En

arrangeant

les differents termes de cette expres-

sion,

^on obtient alors :

En

d6veloppant

^{les valeurs} moyennes ^{et en}

appli-

quant successivement

1’6quation (3.6),

^{on retrouve}

une

expression

^{du meme}

type

^avec des coefficients

positifs.

Si maintenant N ob6it a une loi de Poisson

composee, 1’6quation (3.6)

^{devient :}

les

coefficients

CX(k)

6tant les memes _que dans

l’équa-

tion

(3. 6).

Nous d6duisons de cette

equation

que, si on compare les ^moments de v.a. de Poisson _pure et

compos6e

^de

meme valeur _moyenne, on a

toujours, quel

que soit k entier :

Cette

in6galit6

r6sulte d’une

generalisation

^{de l’in6-}

galit6

^de

Tchebytchev [10] appliqu6e

^{aux moments}

de variables al6atoires

positives.

^En

effet,

^{si deux}

fonctionsf et g

^{ont le meme sens de}

variation,

^c’est-a-

dire si

[f (x) - f (y)] [g(x) -g(y)] > 0,

^{on obtient une}

forme

intégrale

^de

l’in6galit6

^de

Tchebytchev :

En

appliquant

^ceci

successivement,

^{on obtient sans}

peine :

La

comparaison

^des

equations (3.6)

^et

(3.9), compte

tenu du fait _que les

cx 17 (k)

^sont

positifs

^et que par

hypothese E[X]

^{= m,} fournit la relation

(3.10).

^Une

application particulière

^{de cette} relation valable

pour k

^{= 2 a}

ete

plusieurs

^fois mentionn6e

[11]

^{et s’ecrit :}

ce

qui

^montre que 1’ecart

quadratique

^{d’une v.a. de}

Poisson

composee

^est

toujours plus grand

que celui d’une v.a. de Poisson _pure.

On obtient des

in6galit6s

semblables _pour les mo- ments factoriels de N

qui

^{sont obtenus} par derivation de la fonction

g6n6ratrice (3.5) :

et

d’apr6s

la relation

(3.5) :

L’in6galit6 (3. 12) s’applique

^alors

directement,

^et

dans les memes conditions _que

pr6c6demment

^on peut ecrire :

III . A . 2. Relations sur les

probabilités p n.

^{- Les}

proba-

bilit6s

p(n)

définies par

1’6quation (3.1)

^{ne sont} pas du tout des

quantités arbitraires,

^mais

apparaissent

comme des sortes de moments

de X,

^et doivent donc satisfaire a des

in6galit6s

^{tres strictes}

[12]. ^Evidemment

nous ne mentionnons ici que celles

qui

^{nous ont} paru

les plus importantes.

Ecrivons tout d’abord

1’equation (3.3)

^{sous la}

forme :

Les fonctions e-x ^{et xn} ne variant _pas dans le meme sens, le sens de

l’in6galit6 (3.11)

^est

change

^{et on}

obtient alors

simplement :

p(1)

6tant defini _par

1’equation (3. 5).

Par

ailleurs, I’application

^de

l’inégalité

^{de Schwarz}

a

1’6quation (3.17)

^{donne :}

qui peut

6videmment s’6crire :

avec :

la

signification

^{de nEk3 6tant donnee} par

l’équa-

tion

(3.14).

^{Ce resultat}

applique lorsque

^{k =1}

montre que la suite :

deja introduite,

^{sans etre}

6tudi6e,

par Pike et al.

[13]

est une suite croissante. Une

consequence

^immediate

de ceci est que

les p.

^ne

peuvent

^{etre nuls a}

partir

^d’un

certain _rang, ce

qui peut

^{avoir un} int6r6t pour certains résultats

experimentaux.

III. A. 3. Problème de l’inversion. ^- Tous les résultats

precedents apparaissent

^{sous forme}

d’in6galit6s

parce que ^nous n’avons fait aucune

hypothese

^sur l’intensité

lumineuse,

c’est-a-dire sur la v.a. X. Mais ces

in6galit6s apparaissent

^comme des conditions nicessaires à la solution du

probleme

^de l’inversion introduit pour la

premiere

fois par Wolf ^et Mehta

[14]

^{et discute}

6galement

par Klauder et Sudarshan

[11].

^Ce

probleme

^{a un}

grand

int6r6t

physique, puisqu’il permet

de d6duire des

statistiques

^de

photoelectrons

^les distributions de

probabilite

de l’intensit6 lumineuse. Les

premiers

auteurs affirment _{que pour} toute suite

{Pn}

^on peut

trouver au moins formellement une

fonctionp(x)

^satis-

faisant

1’equation (3.3)

^{et ont donne une}

expression

assez

compliqu6e permettant

^d’obtenir

p (x)

^a

partir

des

pn.

^{Une solution}

beaucoup plus simple apparait

dans

1’equation (3. 5), les {Pn}

fournissant

G(s)

^donc

p(x)

par ^sa transformée de

Laplace. Cependant

^la

solution ainsi trouv6e est

inacceptable

^{en tant} que distribution de

probabilite

^{si elle}

prend

des valeurs

negatives.

^En

particulier,

^{si les}

in6galit6s précédentes

ne sont pas

v6rifi6es,

^le

probleme

^de 1’inversion n’est pas soluble. Malheureusement ce

probl6me,

^tres

proche

du ^«

probl6me

^{des moments »}

[12],

^est extremement

compliqu6

^{et nous ne} connaissons _pas de conditions suffisantes sur

les {Pn}

^pour

que p (x) >

^{0. Par} contre,

on peut construire des

exemples

^{de fonctions}

p(x)

^a

valeurs

negatives (au

^{sens des}

distributions)

pour les-

quelles les {p n}

^{sont tous}

^positifs

^{et de somme 1.}

III.B. COMPTAGES DECLENCHES. ^- Par

opposition

au

precedent

type ^de comptage, l’intervalle de

temps pendant lequel

^on

compte

^n’est pas absolument arbi- traire. L’instant d’ouverture

peut

par

exemple

^{etre lie}

a un

point

^du processus

ponctuel

6tudi6. Mais il peut meme etre lie a un

point

^{d’un autre} processus

ponctuel

corr6l6 a celui 6tudi6. Pour

ceci,

^on peut par

exemple

utiliser le montage

classique

^de

1’experience d’Hanbury,

Brown et

Twiss,

^{un des}

photomultiplicateurs

^{ne servant}

qu’a

d6clencher 1’ouverture d’une porte, ^les

comptages

se faisant sur le _processus d6livr6 _par le second.

Quel

que soit le

système, l’analyse

des résultats est la meme.

Appelons qn(6; AT)

^la

probabilite

conditionnelle de

trouver

points

^dans

l’intervalle t, t + A T

^condi- tionn6e _par un

point

^dans l’intervalle t ^-

0, t - 0

+ dO.

On ^a alors :

oii X est

toujours

^d6finie par

1’6quation (3. 2)

^{et Y vaut}

F(t

^-

0).

Des calculs

analogues

^aux

pr6c6dents

^four-

nissent les fonctions

caractéristiques

^et

g6n6ratrices

li6es aux

comptages

d6clench6s :

Ces

expressions prennent

^une forme tres

simple

^et

directement

comparable

^à celles des

comptages

^relax6s

lorsque

^le declenchement se fait au d6but de l’inter- valle

(6

⁼

0)

^et que 1’intervalle de

temps AT est

^tres

petit

^{devant le}

temps

^de

corrélation tc

de 1’intensite

lumineuse,

^ce

qui

permet ^{d’écrire X =}

F(t)

^{AT. On}

peut ^alors

remplacer

^{dans les}

expressions pr6c6dentes Y/E(Y)

^par

X/E(X),

^et

1’equation (3.23) compar6e

a

(3.1)

^{donne :}

Dans cette

approximation,

la valeur _moyenne des

comptages

d6clench6s s’6crit a 1’aide de

l’équa-

tion

(3.6) :

En utilisant a nouveau

l’in6galit6 (3.11),

^{on aboutit}

au resultat :

Nd

^et

Nr repr6sentant

^les comptages d6clench6s et

relaxes d’un processus de Poisson

compose

^{de meme}

densite

qu’un

processus de Poisson _pur

repr6sent6

par

Np.

^La

premiere in6galit6

traduit le

phenomene

de

groupement

^des

photo6lectrons d6jA

^{mis en 6vidence}

par des

experiences

^de coincidences.

Rvidemment,

^les

comptages

d6clench6s peuvent ^etre consid6r6s comme un cas

particulier

^de

multicomptages

etudies par certains ^auteurs

[15]

^et

[25]. Cependant

leur int6r6t est

qu’ils apportent

^des

renseignements

^du

meme

type

^{avec des}

dispositifs exp6rimentaux

^consi-

d6rablement

plus simples.

III. C. MESURES D’INTERVALLES ^{DE TEMPS. -} Une

autre mani6re d’6tudier les processus

ponctuels

^consiste

a s’int6resser a la

statistique

des intervalles de

temps

entre evenements successifs. En utilisant la

terminologie classique

^{dans le cas} des processus de

renouvellement,

nous introduisons le temps ^{de vie}

(densité

^de

proba-

bilit6

v(,r)) qui

^est l’intervalle entre deux

points

^succes-

sifs et le temps d’attente r6siduelle

(d.d.p. a(i)),

^ou

intervalle entre un

point

arbitraire et le

premier point post6rieur

^{du processus.}

Ces lois de

probabilite

s’ecrivent :

et : ^o

La

complication

^{de ces}

expressions provient

^{du fait}

qu’elles

^font intervenir des

int6grales

^{de fonctions}

al6atoires

F(t)

^{dont il est en}

general

^{tres difficile}

d’obtenir les lois de

probabilité.

L’in6galit6 (3.12)

^montre

qu’on

^a

toujours : qui

^{est une} nouvelle traduction de 1’effet de _groupe-

ment. De

plus,

^si

F(t )

^{est une} fonction de valeur moyenne tres

petite,

c’est-a-dire si le _processus de

Poisson

compose

^{est tres} peu

dense,

^{sur un intervalle}

de temps ^assez

grand,

^on

peut

considerer _{que :}

de sorte que :

La seconde

equation

^{est a} la base du

principe

^des

mesures de fonction de correlation d’intensité _par des convertisseurs

temps-amplitude.

IV.

Propridtds statistiques

^des

photoelectrons

pour differents modeles de

champs optiques.

^- Dans le

paragraphe precedent,

^{nous n’avons fait aucune}

hypo-

th6se sur le

champ optique qui apparait

^{dans toutes}

les formules _par l’interm6diaire de l’intensit6 instan- tanee

F(t).

Nous allons ici

reprendre

^les

grandeurs pr6c6demment

introduites en les calculant _pour diffé-

rents modeles

statistiques

^de

champ optique deja

introduits par de nombreux auteurs et dont nous

rappelons

^les

principales propri6t6s

^{en annexe. Nous}

6tudierons ainsi

quatre

modeles de

champ représen-

tant le laser

parfait

^{stabilise en}

amplitude (A),

^le

champ thermique (B),

^la

superposition

^{des deux}

prece-

dents

(C)

^{et le}

champ

^laser

imparfaitement

^stabilise.

IV. A. COMPTAGES RELAXES. - Les

quantités Pn

^ont 6t6 calcul6es _pour les

quatre mod6les,

^{et nous}

rappelons simplement

les résultats.

Modèle A. ^- On a 6videmment alors une loi de Poisson :

Modèle B. ^- Si

AT

_"t’c, ^OLt _"t’c ^est le

temps

^de coherence de la

lumière,

^{on deduit de}

1’6quation (A. 2) :

Si la condition n’est pas

satisfaite,

^{des calculs beau-}

coup

plus compliqu6s

^{donnent un resultat assez} peu maniable

[18].

Modèle C. ^- Le calcul des

p.

^effectué par Lachs

[21]

donne :

Dans cette

expression, m

^{est le} rapport ^{des intensités} moyennes

thermiques

^et coh6rentes

qui

interviennent dans le

melange (m

⁼

FL/ FG >);

d’autre part :

et :

,Fl

^{est la fonction}

hypergéométrique

que l’on peut

d6velopper

^{en une s6rie de}

(n

⁺

1)

termes, dans ^notre

cas :

Sur la

figure ^1,

nous avons

report6

^{la loi}

(4.3)

pour diverses valeurs de ^{m :}

0, 1/3, 1,

^{3 et 00. Cette}

figure

est donn6e _par Glauber

[24],

^{nous ne la}

reportons

^ici

qu’a

^{titre de}

comparaison

^{avec la}

figure

^2.

FIG. 1. ^- Distribution du nombre de

photoelectrons

^dans

une

experience

^{en « relax6 »,} pour divers

champs

^lumi-

neux resultant de la

superposition

^de

champs gaussien

et coherent dans ^un seul mode.

L’intensit6 ^{totale du}

champ

^est telle que ^le nombre moyen de

photoelectrons comptes

^est 20 pour ^toutes les courbes.

La courbe ^A

represente

fin pour ^un

champ purement gaussien (eq. (4.2)).

La courbe E pour ^un

champ

^coherent

(eq. (4.1)).

Les courbes B, ^C et D sont relatives aux

champs superposes (eq. (4.3)),

^le

parametre m

^vaut respec- tivement

1/3,

^{1 et} 3,

d’apres

^R. J. ^Glauber

[24].

Modèle D. ^-

Compte

^{tenu de}

1’6quation (A.12),

la distribution des

photoelectrons

^{est donn6e sous forme}

compacte

^de

polynomes

d’Hermite par B6dard

[22].

Nous avons

jug6

utile de d6tailler ici ces resultats :

a)

^{Pour n}

pair (n

⁼

2p) :

b)

^{Pour n}

impair (n

⁼

2p

+

1) :

Etant

donne

l’hypothèse (J2/XO ^1,

^nous pouvons limiter le

d6veloppement

^a 1’ordre 1 en

62jxo;

^on

obtient alors :

Rappelons

que ^cette formule n’est valable _que pour

n a2

g2

^1, 1’expression

obtenue diff6re de

(4.1)

^d’un

infiniment

xo petit

^en

(J2/xO’

^{aussi nous ne l’avons} pas

repr6sent6e

^{sur la}

figure

^1.

IV. B. COMPTAGES DECLENCHES. ^- Modèle A. ^- On voit sur

1’6quation (3.23)

que pour ^un processus de Poisson _pur,

quels

que soient 0 et AT :

En

effet,

^{X et Y sont} des fonctions certaines.

Modèle B. ^-

1)

^{Dans le cas où 0}

et AT « tc’

^la relation

(3.26)

^{donne :}

2)

^Les

multicomptages

^ont 6t6 etudies dans le cas

d’un

champ gaussien,

^en

particulier

par B6dard

[25] qui

a donne

1’expression

^de

p(nl, T1;

n2,

T2 ;

^{... ;} nN,

TN).

Les

comptages

d6clench6s ^{sont un cas}

particulier

de

(p(nl, Tl;

n2,

T2)

pour

lequel

^on

choisit n2

^{= 1}

et

T2 T1.

En utilisant la relation de recurrence satisfaite _par

les p(n1, T1;

n2,

T2)

pour le _{cas n2} ⁼

1,

^{on obtient :}

avec :

et :

Dans ces

relations,

^{a et b sont}

respectivement égaux à F > T 1 et F > T2,

c’est-a-dire aux nombres _moyens de

photoelectrons

^reçus par le d6tecteur

pendant

^les

intervalles de temps

T1

^et

T 2.

D’autre

part, P

^{est donne} par :

ou Y(8) ^est le

degr6

de coherence

complexe

^du

champ

donne _par la relation _y(o) ^-

r z(e) /

^Z2

>.

Compte

^{tenu des}

equations (4.14)

^et

(4.15), l’équa-

tion

(4.12)

^{devient :}

avec :

ce

qui

^{donne :}

soit encore, compte ^{tenu de}

1’6quation (4.13) :

FIG. 2. ^- Distribution du nombre de

photoelectrons

dans une

experience

^{en « declenche », avec} T r, : Le

champ optique

^est

gaussien.

Les diverses courbes

correspondent aux

^{valeurs du}

module du

degr6

^{de coherence}

complexe :

Ces courbes

indiquent

^done 1’evolution de

qn (e) lorsque

^{0 varie de 0 a} 0 >> rc.

Rappelons

que :

La loi de

probabilit6

qn ^{est en} fait une loi condi- tionnelle donnee _par la relation :

soit,

^{en tenant} _compte ^{des relations}

(4.19)

^et

(4.20) :

Si 1’on tient compte maintenant de la condition

T2 T1,

^soit

^{encore b}

^a,

1’expression (4.21)

^se

simplifie :

Soit _encore, ^en introduisant le

degr6

de coherence li6

à B

par

(4.15) :

Cette loi est

reportee

^{sur la}

figure 2,

pour diverses valeurs du

degr6

de coherence

comprises

^{entre 0 et 1.}

Nous avons choisi a ⁼ 20

photoelectrons.

FIG. 3. ^-

Distribution qn

^{du nombre de}

photoelectrons

dans une

experience

^{« en d6clench6 ».}

Les courbes A, B, C, ^D et E sont relatives aux memes modeles de

champs optiques

que celles de la

figure

¹

(eq. (4. 9), (4.10)

^et

(4.8)).

Le nombre moyen de

photoelectrons

^{est fix6 ici}

aussi a 20.

Modèle C. ^- Dans le cas

particulier 8, AT tc,

nous utilisons les

equations (3.26), (4.3)

^et

(4.5)

pour construire le reseau de courbes de la

figure 3, analogues

a celles de la

figure

1 pour des comptages ^{en d6clench6.}

Modèle D. ^- On a de

m6me, toujours

^{dans le cas}

0, A T tc,

^{avec de}

plus ng 21XO

^{1 :}

IV. C. MOMENTS DES DISTRIBUTIONS

pn

^ET qn, ^POUR

UN CHAMP GAUSSIEN. ^- Le calcul de

qn(8, AT)

^dans

le cas

general

^est

complexe,

^car il faut connaitre la densite de

probabilite

^{a deux} dimensions de 1’ensemble des deux variables

(F(t

^-

6), X) (cf. equation (3.23)).

En

revanche,

^{il est}

possible

^{de donner une}

expression

assez

compacte

^{des moments de}

qn(O, AT tc) (mo-

ments

d6clench6s),

^en fonction des moments de

p.

(moments relaxes). ^{Si AT « tc,}

^on peut ^{6crire :}

c’est-a-dire,

pour le moment d6clench6 d’ordre k :

En vertu des

propri6t6s

^du

champ gaussien,

^le

moment

apparaissant

^au second membre de cette

equation

^{s’ecrit :}

avec :

ou Z

repr6sente

^le

signal analytique

^du

champ gaussien

consid6r6.

L’équation (4.26) devient,

^{en tenant} compte de

(4.25) :

soit,

^en

prenant 1’expression (3.6)

^{du moment en}

relax6 :

Rappelons

que les coefficients

(X(k)

^{sont ceux}

qui apparaissent

^{dans le}

d6veloppement

^de

nkfn!

^{au num6-}

rateur de la fraction

(X(k)/ (n

^-

q) !.

En

particulier,

pour le

premier

^moment d6clench6 :

en tenant

compte

^de

(4.27),

^{on obtient :}

ou :

De

meme,

^{le second moment s’écrit :}

Soit,

^en

appliquant

^{a nouveau} la relation

(4.27) :

Sachant _{que, pour} un

champ gaussien :

on obtient :

L’évolution en fonction

de y de

^{ces deux moments}

« declenches » est

repr6sent6e figure

^4.

FIG. 4. ^-

Évolution

des deux

premiers

^moments

de qn

en fonction

de y defini

^{ainsi :}

Le

champ optique

^est

gaussien

^et

monochromatique.

Nous avons

fixé N >r

^{= 2.}

La courbe A

repr6sente

^donc

1’equation (4.18),

^{soit :}

La courbe B

repr6sente l’equation (4.23),

^{soit :}

IV.D. SUITES

F(n).

^- L’ensemble des lois de

probabilit6

^6tablies

au §

^{III. A nous}

permet

^{de d6crire} les suites

correspondantes

pour les 4 modeles de

champ.

Modèle A. ^-

L’équation (4. .1 )

^{donne :}

Modèle B. ^-

L’équation (4.2)

^{fournit une fonction}

croissante en accord avec la relation

(3.22) :

Modèle C. ^-

Soit F(n, z)

^{la suite}

F(n)

pour le

m6lange

d’un

champ gaussien

^{et d’un}

champ coh6rent,

^obtenue

a

partir

^de

1’6quation (4.3)

^{avec z donne} par

l’équa-

tion

(4.5)

^{et x}

toujours

^donne par

(4.4).

On

peut

^montrer que, pour ⁿ

fix6,

^{la suite}

F(n, z)

est une fonction d6croissante de z.

FIG. 5. ^- Suites

F (n)

⁼

(n + 1) p(n + 1)

pour ^des

p (n)

champs

^{lumineux resultant de la}

superposition

^d’un

champ

^{coherent et d’un}

champ gaussien.

Nous avons norme

F(n)

^en divisant les ordonnees par

F(0).

Les courbes A, B, C, D, E

correspondent

aux memes valeurs de ^m que celles des

figures

^{1 et 2.}

Nous avons

également X >

^{= 20.}

Nous avons trace sur la

figure

5 les suites

F(n, z) / F(0, z) correspondant

^aux valeurs du

paramètre m : 0, 1/3, 1, 3/1,

^oo.

Modèle D. ^-

L’equation (4.7)

^{donne :}

Cette suite

pr6sente

^{un 6cart lin6aire en} n, par

rapport

a celle

correspondant

^au laser stabilise en

amplitude.

Notons _que la relation

F(n) = (n

⁺

1 ) F(0) qui correspond

^{au cas d’un}

champ gaussien

^n’est pas ^un

cas

limite,

contrairement a ce que les

exemples

^ci-dessus

pourraient

^laisser penser. En

effet,

^bien que ^nous ayons considere

jusqu’ici

des processus de Poisson

composes pour lesquels F(n) était située entre F(0)

^et

(n + 1) F(O),

nous pouvons ^{montrer sur un}

exemple

que

(n + 1) F(0)

ne saurait etre une limite

supérieure,

^bien que

F(0)

soit la limite inferieure a

F(n)

pour des _processus de Poisson

composes.

En

effet,

^{si l’on}

prend

^comme distribution de

proba-

bilit6 de l’intensité :

on obtient :

On

peut

^{noter aussi} que la

propriete

de croissance de la suite

F(n)

^est alteree par l’introduction de temps

morts dans les

appareils

de detection. On a r6cem-

ment montre

[13]

que

F(n)

^s’écrit pour ^un processus

ponctuel

^{obtenu a}

partir

^d’un

champ ^coherent, lorsqu’un

^«

temps

^{mort » fait}

perdre quelques points

du processus :

L’ndice r est relatif a la suite affectee _par le temps

mortT.

IV. E. MESURES D’INTERVALLOME’rRIE. ^- Les

6qua-

tions

(3.29) appliquees

^aux differents

exemples

^de

champs

^{lumineux nous donnent}

respectivement :

Modèle A. ^- Pour le

champ

^cohérent d’intensité

Fo :

I1 est donc indifferent de mesurer la distribution des intervalles de

temps

^{entre deux}

photoelectrons (c’est-a-

dire le

temps

^{de vie}

v«) )

^{ou de mesurer} la distribution des intervalles de

temps

^{entre un} instant arbitraire et

le

premier photoelectron (c’est-a-dire

^le temps ^d’attente residuelle

a(,r)).

Modèle B. ^- Pour ^un

champ gaussien,

^le

temps

^de correlation de 1’intensite est

quelconque,

^nous pouvons comparer les valeurs

asymptotiques

^{de ces deux lois}

de

probabilité, lorsque

^{T tend vers zero.}

L’équa-

tion

(3.12) appliqu6e

^{au cas d’un}

champ gaussien

devient :

Vans le cas restrictif ou r,, » Ty ^les

temps

^{de vie}

et temps d’attente r6siduelle

s’expriment

^{aisément en}

utilisant les

equations (3.29)

^et

(A. 2).

^{Le calcul a}

ete fait notamment par Glauber

[24] qui

^a

repr6sent6

les deux fonctions suivantes :

Modèle C. ^- En utilisant

toujours 1’6quation (3.29), lorsque

¹ ’t"c, ^on obtient :

Si on

applique

maintenant les

expressions

^des

p.

donn6es _par Lachs

[21]

pour n ^{= 1 et n =}

2,

^on

obtient

1’expression

^des temps ^{de vie et d’attente} r6siduelle _pour le

melange

^de

champs gaussien

^et

coherent dans le

rapport

^{m =}

FL/ FG >,

1’intensite

6tant f

⁼

FL + FG > :

FIG. 6. ^-

Temps

^{de vie}

v (T)

^ou distribution de

probabi-

lit6 des intervalles de

temps

entre deux

photons

^suc-

cessifs pour les modeles ^de

champ envisages

^{dans les}

figures

^{1, 2 et 4,}

avec F >

^{= 20.}

Les courbes des temps ^{de vie sont donn6es}

figure

⁶

pour les valeurs du

parametre

^{m =}

0, 1/3, 1, 3,

^oo.

Conclusion. ^- Les 6tudes

theoriques

^et

exp6rimen-

tales faites sur le processus

ponctuel

^forme par les

photoelectrons

concernent

jusqu’a present

^les

comp-

tages (et multicomptages)

^{et les mesures} d’interval- lom6trie. Nous avons

deja

^mentionné que ^ces gran-

deurs, deja

^mesur6es

expérimentalement

dans certains cas, ^se

completent

pour caract6riser le _processus form6 par les

photoelectrons

^{mais sont} insuffisantes _pour le d6finir. L’extension des m6thodes de mesure de ^ces processus

permettra

^en

particulier

de confirmer

(ou

d’exclure) qu’il s’agit

^d’un processus de Poisson

compose.

Nous avons introduit une m6thode de comptage

« declenchee » distincte de la m6thode habituelle

« relax6e ». Ces deux m6thodes de comptages ^condui-

sent a des lois de

probabilités differentes,

^{nous avons}

6tabli en

particulier

^{une relation entre les moments}

des v.a.

Nd

^{et N}

(nombre

^de

points

^dans l’intervalle de

temps A T

^{dans le cas d’une}

experience

^{en d6clench6}

et en

relax6, eq. (3 . 28) ) .

Nous avons 6tabli d’autre

part

^une relation nouvelle liant les

p.

^d’un processus de Poisson

compose (eq. (3.22)),

^ainsi que

1’inegalite

^sur les lois d’inter- vallom6trie

(eq. (3.30)).

Enfin,

nous avons consacr6

le §

IV a passer ^{en revue} les

expressions

^{des diverses}

grandeurs

6tudi6es dans les cas

particuliers

^{de 4}

champs optiques.

^La

plupart

des

expressions

donn6es dans cette

partie

^sont

origi-

nales

(mis

^a part

(4.46))

^{et sont destin6es a etre v6rifi6es}

expérimentalement.

^Notons que ^toutes les relations 6tablies dans ce

papier

^{sont valables} pour des spectres

optiques

absolument

quelconques. Cependant

^{la rela-}

tion

(3.28)

^{et la}

plupart

des relations

du §

^IV supposent que les intervalles de temps ^{des mesures sont tres}

petits

devant

tc. Etant

donne les

performances

de l’électro-

nique

^{a 1’heure}

actuelle,

cela revient a se limiter aux

champs

^lumineux

quasi monochromatiques.

ANNEXE

Mod6les de

champs optiques.

^{- Nous} avons men-

tionné

(§ III. C)

la difficulté

theorique

^a

laquelle

^on

se heurte

lorsque

la dur6e des mesures T n’est

plus

^tres

inferieure au temps de correlation de 1’intensite _Tc.

C’est

pourquoi

les modeles de

champs

lumineux envi-

sag6s au §

^{IV sont relatifs a des} temps de correlation

»

T. Nous les décrivons et donnons _pour chacun des 4 modeles la densite de

probabilite

de l’intensit6

électrique f à

la sortie du

recepteur.

^Nous supposerons que l’intensit6 lumineuse ob6it a la meme loi

que p( f ).

A. CHAMP COMPLHTEMENT COHERENT. ^- Un

champ parfaitement

sinusoidal est

impossible

^{a r6aliser} pra-

tiquement,

il existe n6anmoins des lasers stabilises en

amplitude

pour

lesquels

^les seules fluctuations portent