Géométrie analytique : Juillet 2003 (première série) Question 1 : (25%)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz on considère les droites
p≡ x=y z=6
q≡ y= −3x z=2x
On vous demande de donner des équations paramétriques de la droite d et p et perpendiculaire à chacune de ces deux droites.
Géométrie analytique : Juillet 2003 (première série) Question 2 : (25%)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxyz on considère les éléments suivants :
• Les points A = (0 ; 2) et B = (2 ; 0),
• Un cercle mobile C passant par les points A et B On vous demande :
1) De dessiner les éléments du problème,
2) De donner une équation du lieu des points de contacts des tangentes à C parallèles à l’axe Oy
Géométrie analytique : Juillet 2003 (première série) Question 3 : (25%)
On considère un cercle mobile dont le centre se déplace le long d’un arc de cercle donné et qui est tangent à la corde AB de cet arc.
On vous demande :
1) De déterminer le lieu du point de concours des tangentes menées au cercle variable par les extrémités A et B de la corde en expliquant clairement votre raisonnement, 2) De représenter le lieu sur un dessin précis.
Géométrie analytique : Juillet 2003 (première série) Question 4 : (25%)
On considère une caisse cubique de côté c. On désire mettre dans cette caisse des troncs cylindriques de hauteur c et de rayon c/20 et ensuite refermer la caisse : en d’autres mots, rien ne peut déborder de la caisse !
On vous demande :
1) De donner le nombre maximum de cylindres qui peuvent être placés dans cette caisse, 2) De calculer le rapport entre le volume vide et le volume de la caisse,
3) D’expliquez votre démarche par un dessin précis.
Géométrie analytique : Juillet 2003 (deuxième série) Question 1 : (25%)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants :
• Deux points A = (5 ; 0 ; 3) et B = (-1 ; 4 ; 4),
• La droite d≡
x = −6−k y=k z=2−8k
• Le plan α contenant d et perpendiculaire au plan Oxy,
• Le plan β≡2x+2y+z+1=0
On vous demande :
1. De donner une équation du plan α,
2. De déterminer le (ou les) point(s) que le triangle ABC soit rectangle, AC soit parallèle à α et BC soit parallèle à β.
Géométrie analytique : Juillet 2003 (seconde série) Question 2 : (25%)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère les deux cercles C≡x2+y2+2ax+2by+c=0
C'≡ x2+y2 +2a'x+2b'y+c'=0 On vous demande :
1. D’exprimer les coordonnées du centre de C en fonctions des paramètres a,b et c, 2. De donner une relation liant uniquement les paramètres a,b,c et a',b',c' afin que les
deux cercles possèdent un point commun où les tangentes à C et C’ sont perpendiculaires entre elles.
Géométrie synthétique : Juillet 2003 (seconde série) Question 3 : (25%)
Par un point fixe O de l’hypoténuse BC du triangle rectangle ABC passe une sécante quelconque qui rencontre la droite AB en D et la droite AC en E. Les triangles OBD et OCE sont inscrits dans deux cercles qui se rencontrent en M.
On vous demande ;
1. de déterminer le lieu du point M en expliquant clairement votre raisonnement 2. de représenter le lieu sur un dessin précis.
Géométrie synthétique : Juillet 2003 (seconde série) Question 4 (25%)
Soit une pyramide de base B et de hauteur h. On prolonge les arêtes de cette pyramide au- delà du sommet et on coupe ces prolongements par un plan parallèle à la base B. On forme ainsi une seconde pyramide de hauteur h’ et de base B’. On définit ∆h= h'−h.
On vous demande d’exprimer la somme des volumes de ces deux pyramides en fonction de B, de B’ et de ∆h, en vous aidant d’un dessin du problème.
Géométrie analytique : Septembre 2003 Question 1 : (25%)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé 0xyz, on considère les droites
p≡ x =0 z=1
q≡ x=1 y=0
On vous demande :
1. De dessiner les deux droites de l’énoncé du problème,
2. De déterminer analytiquement des équations cartésiennes et paramétriques de la droite d qui coupe les deux droites p et q, sachant que le vecteur directeur de d est (1 ; 2 ; 3).
Géométrie analytique : Septembre 2003 Question 2 : (25%)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé Oxy, on considère les éléments suivants :
• Le point A = (3 ;0),
• Le cercle γ≡(x+3)2+ y2 =16 On vous demande :
1. De dessiner les éléments du problème,
2. De déterminer analytiquement l’équation cartésienne du lieu des points P tels que la distance PA soit égale à la distance de P au cercleγ. La distance d’un point à un cercle est définie comme la distance la plus courte entre la circonférence du cercle et le point en question.
3. D’interpréter et d’esquisser ce lieu.
Géométrie synthétique : Septembre 2003 Question 3 : (25%)
Soit un triangle fixe ABC et un point D mobile situé à une distance constante k du sommet C. On appelle E le point milieu du segment AC.
On vous demande
1. Le lieu géométrique du point F milieu du segment BD ; 2. Un dessin précis du lieu de F ;
3. Le lieu géométrique du point G milieu du segment EF ;
4. Un dessin précis du lieu de G (pour la clarté un second dessin est peut être nécessaire)
N.B. Pour rappel, les constructions doivent en principe, être menées uniquement à l’aide du compas et d’une règle sans en utiliser ni les graduations ni les repères d’angles.
Géométrie synthétique : Septembre 2003 Question 4 : (25%)
Une « maison » est construite à partir d’un cube de côté a auquel on superpose un toit pyramidal de hauteur H. Pour des raisons de dimensionnement du chauffage, on cherche à construire trois niveaux (rez de chaussée au niveau zéro et deux étages) ayant le même volume. Le premier étage est au niveau h1 et le deuxième étage au niveau h1 + h2.
On vous demande :
D’exprimer les hauteur h1 et h2 en fonction de a et H en discutant la solution pour différentes valeurs de a et H.
D’évaluer h1 dans les cas (i) a=1, H = 1
2 et (ii) a = 1, H = 9.
