SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION HYPERBOLIQUES THEORIE ET APPROXIMATION

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SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION HYPERBOLIQUES

THEORIE ET APPROXIMATION

J.L. ESTIVALEZES

¹

12 janvier 2006

1ONERA-CERT-DMAE

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2

(3)

Table des mati`eres

1 INTRODUCTION 5

1.1 Lois de conservation . . . 5

1.2 Forme conservative des syst`emes de loi de conservation . . . 6

1.3 Forme int´egrale des syst`emes de loi de conservation . . . 7

1.4 Forme quasi-lin´eaire des syst`emes de loi de conservation ou forme non conservative . . . 7

1.5 Syst`emes hyperboliques, surface caract´eristique et solution sous la forme d’onde plane . . . 9

1.6 Domaine de d´ependance, zone d’influence . . . 11

2 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVA- TION 13 2.1 Solutions classiques du probl`eme de Cauchy . . . 13

2.1.1 Le cas lin´eaire . . . 13

2.1.2 Cas non-lin´eaire . . . 14

2.2 Solutions faibles . . . 17

2.2.1 D´efinition . . . 17

2.2.2 Solutions continues par morceau . . . 17

2.3 Condition d’unicit´e de Lax . . . 20

2.3.1 Non unicit´e des solutions faibles . . . 20

2.3.2 Entropie de Lax-solution entropique . . . 21

3 LE PROBLEME DE RIEMANN 27 3.1 Cas d’une ´equation scalaire . . . 27

3.1.1 Forme g´en´erale de la solution dans le cas scalaire . . . 27

3.1.2 Forme de la solution dans les zones o`u u est continue . . . 28

3.1.3 Forme de la solution dans le cas o`u uest discontinue . . . 29

3.1.4 R´ecapitulation des solutions du probl`eme de Riemann dans le cas scalaire convexe . . . 29

3

(4)

4 TABLE DES MATI `ERES

3.2 Cas des syst`emes lin´eaires monodimenionnels . . . 31

3.2.1 Forme de la solution dans les zones o`u u est continue . . . 32

3.2.2 Forme de la solution dans les zones o`u u discontinue . . . 32

3.2.3 Récapitulation de la solution du problème de Riemann dans le cas d’un système monodimensionnel . . . 32

4 PROBLEME DE RIEMANN POUR LES EQUATIONS D’EULER 1D 35 4.1 Equations de la dynamique des gaz monodimensionnelles . . . 35

4.2 Quelques définitions et propriétés des systèmes hyperboliques du premier ordre 36 4.2.1 Champs vraiment non linéaires . . . 38

4.2.2 Champs linéairement dégénérés . . . 41

4.3 Application aux ´equations d’Euler . . . 42

4.3.1 1-choc et 3-choc . . . 42

4.3.2 1-onde de d´etente et 3-onde de d´etente . . . 46

4.3.3 2-discontinuit´e de contact . . . 47

4.4 R´esum´e . . . 47

4.5 Application au cas du tube `a choc . . . 50

5 METHODE DES VOLUMES FINIS - DISCRETISATIONS CONSER- VATIVES 57 5.1 Discr´etisation conservative . . . 57

5.2 M´ethode des volumes finis . . . 61

5.3 Notion de flux num´erique . . . 63

5.3.1 Exemple dans le cas monodimensionnel scalaire . . . 64

5.3.2 Exemple de schémas numériques dans le cas monodimensionnel scalaire 65 5.3.2.1 Schéma centré . . . 65

5.3.2.2 Schéma décentré amont . . . 66

5.4 Ordre de précision d’un schéma numérique conservatif pour l’équation scalaire 68 5.5 Schéma monotone à 3 points pour l’équation scalaire . . . 72

5.6 Notion de schéma à Variation Totale Décroissante . . . 73

5.7 Sch´emas entropiques . . . 74

6 SCHEMAS NUMERIQUES BASES SUR LES SOLVEURS DE RIE- MANN 75 6.1 Sch´ema de Godunov ou solveur exact . . . 75

6.2 Sch´ema de Roe . . . 80

6.2.1 Construction de la matrice de Roe ˆA(U₁, U₂) pour les équations d’Euler 84 6.2.2 Schéma de Roe - récapitulatif . . . 87

6.2.3 Quelques remarques sur le sch´ema de Roe . . . 87

6.2.4 Le sch´ema de Roe et la condition d’entropie . . . 87

7 SCHEMAS NUMERIQUES D’ORDRE ELEVE 91 7.1 La m´ethode M.U.S.C.L. de Van Leer . . . 91

7.2 Approche due `a Hancock . . . 92

7.3 Evaluation des pentes . . . 93

(5)

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1.1 Lois de conservation

On s’interessera dans ce cours aux syst`emes hyperboliques ainsi qu’`a leurs solutions.

Ces systèmes hyperboliques sont généralement représentés par des lois de conservation qui s’écrivent sous la forme de systèmes d’équations aux dérivées partielles (le plus souvent non linéaires) dont la structure est particulièrement simple. Par exemple, en dimension 1 d’espace et pour le cas scalaire ces équations prennent la forme suivante :

∂u

∂t + ∂

∂xf(u(x, t)) = 0 (1.1)

Ici u : R×R⁺ −→Rest scalaire nreprésentant la quantité conservée, par exemple la masse. Le fait que cette équation soit conservative signifie que la quantitéR_∞

−∞u(x, t)dxse conserve au cours du temps. La fonction f(u) est dans ce cas simple une fonction scalaire.

Cette fonction deR−→Rs’appelle la fonction flux pour (1.1). Généralement les fonctions flux sont régulières.

Pour pouvoir connaˆıtre au cours du temps, l’´evolution de l’inconnue u(x, t) qui satisfait

à (1.1), il faut se donner un état initial et aussi des conditions aux limites (lorsqu’on s’interesse à un problème borné en espace). Ici, nous ne nous intéresserons dans un premier temps qu’au problème dit aux conditions initiales ou encore appeléProblème de Cauchy; c’est à dire connaissant :

u(x,0) =u0(x) − ∞< x <∞ (1.2) trouver u(x, t) pour t >0.

Dans le cas général où on se place en dimension d’espace plus grande que 1 et où l’inconnue u n’est plus un scalaire mais un vecteur, on rencontre de lourdes difficultés pour le résoudre tant d’un point de vue purement mathématique que de celui de l’analyse numérique.

5

(6)

6 INTRODUCTION En fait, on n’a pas pour le moment de résultat concernant l’existence d’une solution du problème de Cauchy. En effet, quelle que soit la régularité de la condition initiale, on peut montrer qu’une solution régulière existe, mais seulement pendant un temps fini. Au delà de ce temps, des discontinuités de u se développent. Typiquement en mécanique des fluides, ce sont la formation des ondes de choc. La solution n’étant plus régulière, on parle alors de solutionfaible ( on verra par la suite la signification exacte de ce terme). Se pose alors le problème de l’unicité de telles solutions. Les seuls résultats mathématiques que l’on ait sur l’existence et l’unicité de solution faible sont limités au cas scalaire (m= 1) ou au cas monodimensionnel, avec dans ce dernier cas certaines restrictions.

1.2 Forme conservative des syst` emes de loi de conser- vation

On se place maintenant dans un cas général. On considère le système suivant :

∂u^α(x, t)

∂t +

Xd

i=1

∂f_i^α(u(x, t))

∂x_i =g^α(u(x, t)) (1.3)

On appelle cette écriture du système différentiel la forme conservative. Ici u : R^d× R⁺ −→R^m est un vecteur de R^m dont chaque composante u^α depend de (x1, ..xi, ..xd, t).

On a pris comme convention d’appeler x le vecteur (x₁, .., x_i, ..x_d). En pratique d est rare- ment sup´erieur `a 3. Les fonctionsf_i sont des fonctions vectorielles deR^m , on a maintenant autant de vecteurs flux que de dimension d’espace.

Ici, le système (1.3) est écrit pour chaque composanteu^αdu vecteur inconnuu. On peut aussi l’écrire sous la forme vectorielle plus compacte :

∂u(x, t)

∂t + Xd

i=1

∂fi(u(x, t))

∂x_i =g(u(x, t)) (1.4)

Sous cette forme u est le vecteur inconnu de composantes u= (u¹, ..., u^α, .., u^m)^T, chaque vecteur flux fi a pour composantes fi = (f_i¹, .., f_i^α, .., f_i^m)^T, il en est de mˆeme pour le vecteurg = (g¹, .., g^α, .., g^m)^T.

Example: Le mouvement d’un fluide compressible est décrit par la donnée à chaque instant t et en tout point x de R³ de cinq grandeurs extensives : la masse volumique ρ, les trois composantes de la quantité de mouvementρU₁, ρU₂,ρU₃ (par unité de volume) et enfin de l’énergie totale volumiqueE. Lorsque l’on néglige les phénomènes de dissipation visqueuse (fluide parfait), on montre que ces grandeurs sont solutions d’un système d’équations aux dérivées partielles suivant :

∂_t



 ρ ρ~U

E



+div





ρ~U ρ~U⊗U~ +pId

(E+p)U~



= 0 (1.5)

(7)

Forme intégrale des systèmes de loi de conservation 7 où pdésigne la pression du fluide. Ce système est appelé Equations d’Euler. Lorsque le fluide est un gaz parfait thermodynamiquement, la pression est donnée par la loi d’état suivante :

p= (γ−1)(E−1/2ρU²) (1.6)

En posant u=





 ρ ρU₁ ρU₂ ρU3

E







et fi(u) =







ρU_i ρU₁U_i+pδ_i¹ ρU₂U_i+pδ_i² ρU3Ui+pδ_i³ (E+p)Ui







, on voit tout de suite que (1.5) est

bien de la forme (1.3)

1.3 Forme int´ egrale des syst` emes de loi de conserva- tion

Si l’on considère un sous-domaine Ω de R^d et que l’on intègre le système (1.3) sur Ω, en supposant le vecteur inconnu u de (1.3) de classe C¹, on obtient pourα = 1, ..., m

Z

Ω

∂u^α(x, t)

∂t dx+ Z

Ω

Xd

i=1

∂f_i^α(u(x, t))

∂x_i dx= Z

Ω

g^α(u(x, t))dx (1.7) Ici aussidx signifiedx1...dxi...dxd. En appliquant la formule de Green-Ostrogradski, on a donc pour α= 1, ..., m

d dt

Z

Ω

u^α(x, t)dx+ Z

∂Ω

F~^α(u(x, t))·~n(s)ds = Z

Ω

g^α(u(x, t))dx (1.8) oùF~^α(u(x, t)) est le vecteur de composantes (f₁^α(u(x, t), ..., f_d^α(u(x, t)). L’équation (1.8) traduit un bilan sur le sous-domaine Ω de chacune des quantités u^α. C’est cette forme que l’on a coutume d’appelerforme intégrale. Le vecteur F~^α(u(s, t)) s’interprète comme une densité de flux par unité de surface et de temps de la grandeur conservativeu^α. Par abus de langage, ses composantes (f₁^α, ..., f_d^α) sont appelées fonctions ¡¡flux¿¿ ou simplement flux.

Finalement g^α(u(x, t)) est le taux de production par unit´e de volume et de temps de la grandeur u^α

1.4 Forme quasi-lin´ eaire des syst` emes de loi de conser- vation ou forme non conservative

Faisons maintenant apparaˆıtre la forme quasi-linéaire de ce système. Ceci peut être obtenu facilement en introduisant pour chaque vecteur fluxfi, i= 1, dla matrice jacobienne que l’on noteraA_i(u) définie par :

A_i = Dfi

Du(u) (1.9)

(8)

8 INTRODUCTION Finalement, le système (1.7) s’écrit sous forme quasi-linéaire de la fa¸con suivante :

∂u

∂t + Xd

i=1

Ai(u)∂u

∂x_i =g(u) (1.10)

Les systèmes d’EDP de la forme (1.10) où lesAi(u) sont des matricesm×mdont les co- efficients sont des fonctions quelconques deu, sont appelés systèmes d’EDP quasi-linéaires.

Il est important de noter que tout système quasi-linéaires ne peut pas forcément s’écrire sous la forme d’un système de loi de conservation (forme conservative). En effet, pour se faire, il faut qu’il existe d fonctions f₁, ...f_d dont les matrices A_i soient les jacobiennes, et ce n’est pas le cas général.

Example 2 : Soit le syst`eme quasi-lin´eaire suivant : ( ∂_tv+ 3v²w∂_xv+v³∂_xw= 0

∂_tw+ (v+w)∂_xv+ (v+w)∂_xw= 0 (1.11) En posantu=

Ã v w

!

etA(u) =

Ã 3v²w v³ (v+w) (v+w)

!

, ce syst`eme peut ˆetre mis sous la forme :

∂u

∂t +A(u)∂u

∂x = 0 (1.12)

Ecrire ce système sous forme conservative revient à exhiber une fonction´ f(u) à valeurs dans R² telle A(u) = ^Df_Du(u). Les composantes f¹, f² de la fonction f doivent satisfaire :

∂vf¹(u) = 3v²w ∂wf¹(u) =v³

∂vf²(u) = (v+w) ∂wf²(u) = (v+w)

ce qui donne à une constante additive près f¹(u) = v³w, et f²(u) = 1/2(v +w)². Le système (1.11) est donc équivalent (pour les solutions régulières) au système conservatif suivant :

( ∂_tv+∂_xv³w= 0

∂_tw+∂_x1/2(v+w)²v = 0 Example 3 : Soit le syst`eme quasi-lin´eaire suivant :

( ∂_tv +w²∂_xv = 0

∂_tw+w∂_xv+v∂_xw= 0 (1.13)

En posant u= Ã v

w

!

etA(u) =

Ã w² 0

w v

!

, ce syst`eme peut ˆetre mis sous la forme :

∂u

∂t +A(u)∂u

∂x = 0 (1.14)

(9)

Systèmes hyperboliques, surface caractéristique et solution sous la forme d’onde plane 9 On peut montrer facilement que dans le cadre de cet example, il n’existe pas de forme conservative de ce système quasi-linéaire. En effet, les composantes f¹, f², si elles existent, doivent vérifier :

∂_vf¹(u) =w² ∂_wf¹(u) = 0

∂_vf²(u) =w ∂_wf²(u) =v

De plus comme ces composantes si elles existent doivent êtreC^∞, elles doivent alors vérifier la propriété de commutation :

∂_v(∂_wf¹) =∂_w(∂_vf¹)

ce qui n’est clairement pas le cas. Dans la suite de ce cours, nous ne nous intéresserons qu’aux systèmes quasi-linéaires conservatifs.

1.5 Syst` emes hyperboliques, surface caract´ eristique et solution sous la forme d’onde plane

La classification des systèmes d’équations aux dérivées partielles est reliée au concept mathématiques de surface ou encore hypersurface caractéristique. Ces familles de surface peuvent être grossièrement définies comme le lieu le long duquel certaines propriétés restent constantes ou encore par exemple à travers lequel certaines grandeurs sont discontinues.

On dira qu’un système quasi-linéaire différentiel du premier ordre tel que le système (1.10) est hyperbolique si sa partie homogène admet des solutions sous la forme d’onde plane. Celà signifie donc qu’un système dit hyperbolique est associé à des phénomènes de propagation d’onde. Nous allons, par la suite, détailler plus précisément la notion de système hyperbolique.

Pour faciliter l’exposé, on va s’intéresser à des solutions sous la forme d’onde plane, c’est à dire à des solutions de la forme :

u= ˆuF(~k·~x−ωt)) (1.15)

Ici, û représente l’amplitude (constante ) de l’onde en question. Le vecteur~k, que l’on supposera unitaire (k~kk= 1), est appelé le vecteur nombre d’onde et représente la direction spatiale suivant laquelle l’onde se propage, ω est un réel. La fonction F est une fonction quelconque qui caractérise la forme de l’onde.

Afin de simplifier l’exposé, on va s’intéresser au problème linéarisé, c’est à dire au cas où les matrices A_i, i= 1, d sont indépendantes de l’inconnue u, le cas non linéaire pouvant être traité de fa¸con similaire ( mais plus compliquée).

On cherche donc quelles conditions doit v´erifier le syst`eme :

∂u

∂t + Xd

i=1

Ai

∂u

∂x_i = 0 (1.16)

pour admettre des solutions sous la forme d’onde plane et donc ˆetre de nature hyperbolique.

(10)

10 INTRODUCTION Rempla¸cons dans (1.16), u par (1.15), on obtient alors le syst`eme suivant :

(

−ωId + Xd

i=1

A_ik_i )

ˆ

uF⁰ = 0 (1.17)

où Id est la matrice identité deR^m. Le cas trivialF⁰ = 0 étant éliminé, on se retrouve alors devant un problème aux valeurs propres. En effet, si l’on appelle K la matrice P_d

i=1A_ik_i , le système (1.17) se réduit à la forme classique :

{K−ωId}uˆ= 0 (1.18)

On voit alors que pour que le système (1.16) soit hyperbolique, il faut que det|K−ωId|= 0 et que û soit vecteur propre associé à ω. Le système (1.16) sera dit hyperbolique si la matriceK admet m valeurs propres réelles.

On peut alors en tirer une définition pour qualifier l’hyperbolicité d’un système général de loi de conservation sous forme quasi-linéaire :

Définition 1.5.1 Soit le système de lois de conservation sous forme quasi-linéaire :

∂u

∂t + Xd

i=1

Ai(u)∂u

∂x_i =g(u) On dira que ce syst`eme est hyperbolique si la matriceP_d

i=1A_i(u)est diagonalisable et admet au plus m valeurs propres réelles. Chaque valeur propre est appelée vitesse caractéristique.

Maintenant nous allons définir les surfaces caractéristiques associées à un système hyperbolique :

Définition 1.5.2 On considère le système de lois de conservation sous forme quasi-liné- aire :

∂u

∂t + Xd

i=1

A_i(u)∂u

∂x_i =g(u)

Soit S(x1, .., xd, t) = 0 une surface de R^d×R⁺ et ~n = (n1, .., nd, nt) les composantes de sa normale en chaque point, on dira que S est une surface caractéristique pour le système précédent si les composantes de son vecteur normal en chaque point vérifient l’équation caractéristique suivante :

det|n_tId + Xd

i=1

A_i(u)·n_i|= 0

Example 4 : Les ´equations instationnaires de la hauteur d’eau en eau peu profonde ( ou encore Shallow water equations) en dimension 1 d’espace

( ∂_th+u∂_xh+h∂_xu= 0

∂_tu+u∂_xu+g∂_xh= 0 (1.19)

(11)

Domaine de dépendance, zone d’influence 11 où h représente la hauteur d’eau (réel positif), u la vitesse longitudinale du fluide et g la gravité. On notera que ce système est non-linéaire. Dans cet example d = 1 et m = 2 On peut réécrire ce système sous la forme matricielle quasi-linéaire suivante :

∂

∂t Ã h

u

! +

Ã u h g u

! ∂

∂x Ã h

u

!

= 0 (1.20)

Calculons les valeurs propres de ce syst`eme. On obtient facilement les valeurs suivantes : λ1 =u+p

(gh) et

λ₂ =u−p (gh)

On voit donc que ces valeurs propres ou vitesse caractéristiques sont réelles, le système est donc hyperbolique en (x, t). Les surfaces caractéristiques sont ici des courbes de R×R⁺. Elles sont définies par les équations différentielles ordinaires suivantes :

dx=λ₁(u, h)dt

dx=λ2(u, h)dt (1.21)

En effet d’après la définition 1.5.2, les surfaces caractéristiques associées à ce système sont des courbes deR×R⁺, qui peuvent être paramètrées sous la forme (t, x(t)). En chaque point de ces courbes, le vecteur normal de composantes (n_t, n_x) vérifie l’équation suivante :

n_t

n_x =−dx dt

Or d’après la définition 1.5.2, le vecteur normal à la courbe caractéristique est aussi solution de l’équation caractéristique suivante :

det|n_tId +A·n_x|= 0 o`u :

A=

Ã u h g u

!

Ceci nous donne alors :

n_t

n_x =−λ₁ n_t

n_x =−λ₂

en rempla¸cant n_t/n_x par −dx/dt on trouve bien les deux ´equations (1.21).

1.6 Domaine de d´ ependance, zone d’influence

Comme nous l’avons vu précédemment, la notion de propagation est fondamentale pour les systèmes hyperboliques et a donc une grande importance dans la manière dont l’information est transmise à travers le domaine d’intérêt. Ceci va être illustré sur l’example donné par la figure 1.1 :

(12)

12 INTRODUCTION

t

Domaine de dependance du point P

x

&&&&&&&&&&&

@@@@@@@@@@@@

A

B P Zone d’influence du point P

C

Courbes caractristiques

Fig. 1.1: Domaine de dépendance et zone d’influence d’un point P pour un problème hyperbolique à deux courbes caractéristiques par point

Soit un problème hyperbolique du type de celui de l’example précédent en (x, t), on a vu que ce système admettait deux vitesses caractéristiques et que les surfaces caractéristiques

étaient des courbes dans le plan (x, t). Si l’on considère une ligne frontière (distincte d’une courbe caractéristique) sur laquelle se trouvent les points A et B, la solution du système en question sur le segment AB va se propager dans le domaine de l’écoulement le long des courbes caractéristiques issues de AB. Les deux caractéristiques limites issues de AB (chacune étant associée à une des deux valeurs propres λ1 et λ2 ) délimitent une région APB, qui détermine de manière unique la solution au point P. La région APB est appelée région de dépendance du point P. En effet, n’importe quelle autre courbe caractéristique issue d’un point C hors du segment AB n’atteindra le point P. Par ailleurs, la zone en aval du point P délimitée par les deux courbes caractéristiques précédentes définit la zone où la solution sera influencée par la valeur de la solution au point P. Cette zone est appelée zone d’influence du point P. On voit donc qu’en utilisant les courbes caractéristiques associées à un système hyperbolique, on peut construire de proche en proche la solution de ce problème

à partir de conditions initiales. Cependant, comme on le verra par la suite, cette méthode des caractéristiques ne fonctionne que tant que la solution est régulière et donc continue.

(13)

CHAPITRE 2

SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION

2.1 Solutions classiques du probl` eme de Cauchy

Afin de simplifier l’expos´e de cette section, on se placera ici dans le cas scalaire et en dimension 1 d’espace. On s’int´eresse donc aux solutions de la loi de conservation suivante :

( ∂_tu+∂_xf(u) = 0, x∈R, t >0

u(x,0) =u₀(x), x∈R (2.1)

On va chercher les solutions classiques de cette ´equation . Une solution classique de ce probl`eme est une solution de classe C¹ pour toutt >0 et qui satisfait (2.1) point par point.

2.1.1 Le cas lin´ eaire

Examinons d’abord le cas le plus simple où le flux f est donné par f(u) = cu avec c constant. On a alors une équation d’advection linéaire où la vitesse d’advection est c. La forme quasi-linéaire de cette équation est donnée par :

( ∂_tu+c∂_xu= 0, x∈R, t >0

u(x,0) = u0(x), x∈R (2.2)

La matrice jacobienne est un scalaire égal à f⁰(u) = c, les valeurs propres (ou encore vitesses caractéristiques) se réduisent à cqui est par hypothèse constante.

On a donc ici, une seule courbe caractéristique, courbe intégrale solution de l’équation différentielle suivante :

dx(t)

dt =f⁰(u(x(t), t) =c (2.3)

13

(14)

14 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION La courbe caractéristique est donc une droite dont la pente est égale à cet est donc de la forme x(t) = ct+cst. Montrons que la solution de (2.2) est constante le long de cette droite. On a en supposant que u est régulière :

du

dt(x(t), t) =∂_tu(x(t), t) +∂_xu(x(t), t)dx(t)

dt =∂_tu(x(t), t) +c∂_xu(x(t), t) = 0

On peut maintenant déterminer de fa¸con unique la solution de (2.2) en tout point de l’espace (x, t), puisqu’elle est constante sur les droites d’équation x−ct= cst, il suffit en chaque point de (x, t) de tracer l’unique caractéristique qui passe par ce point et de trouver son intersection avec l’axe desxou encore avec la droitet= 0 appelons ce pointx₀ on aura alors

u(x, t) =u0(x0) = u0(x−ct) (2.4)

2.1.2 Cas non-lin´ eaire

On suppose ici que la fonction flux f est donnée par f(u) = u²/2 et que la condition initialeu₀(x) est indéfiniment différentiable et bornée. On reconnaˆıt là l’équation de Bürgers non visqueuse.

Ici pour calculeruon va encore utiliser la méthode des caractéristiques. La forme quasi- linéaire de cette équation scalaire est la suivante :

( ∂_tu+u∂_xu= 0, x∈R, t >0

u(x,0) =u₀(x), x∈R (2.5)

La matrice jacobienne est un scalaire égal à f⁰(u) = u, les valeurs propres (ou encore vitesses caractéristiques) se réduisent à u.

On a donc ici aussi une seule courbe caractéristique, courbe intégrale solution de l’équation différentielle suivante :

dx(t)

dt =f⁰(u(x(t), t) =u(x(t), t) (2.6) ou encore sous forme param´etrique :









t =s x=x(s) dx

ds =u(x(s), s)

(2.7)

Le long de cette courbe la solution de (2.5) est constante. En effet, on a par d´efinition : du

ds(s, x(s)) =∂_tu(s, x(s))dt ds + dx

ds(s)∂_xu(s, x(s)) = 0 (2.8) Or d’après (2.5) on a si u est régulière : ∂_tu=−u∂_xu, donc (2.8) est équivalente à :

·dx

ds(s)−u(s, x(s))

¸

∂_xu(s, x(s)) = 0 (2.9)

(15)

Solutions classiques du problème de Cauchy 15 et finalement (2.9) est identiquement vérifiée si :

dx

ds =u(s, x(s)) (2.10)

Comme on a conduit tout le raisonnement par équivalence, on en déduit que la solution de (2.5), lorsqu’elle est régulière, est constante le long des courbes dont l’équation est donnée par (2.10). Les courbes caractéristiques sont encore dans ce cas des droites d’équations x−ut = cst. En effet, l’équation différentielle (2.7) qui définit la courbe caractéristique n’est fonction que de u or comme on l’a vu dans (2.10) u est constant sur celle-ci, donc (2.7) définit bien une équation de droite.

De la même fa¸con que précédemment, pour trouver la solution classique de (2.5) en tout point de l’espace (x, t), il suffit à partir de l’unique droite caractéristique qui passe par ce point et dont l’équation est x−ut = cst de trouver l’intersection de cette droite avec la droitet= 0, soitx₀ ce point, on a alorsx−ut =x₀, commeuest constant sur cette droite, on obtient

u(x, t) =u₀(x₀) =u₀(x−ut) (2.11) On se retrouve alors avec une équation algébrique implicite à résoudre. Si on appelle g(x, t, u) =u−u₀(x−ut), trouver une solution de (2.11) revient à trouver le point fixe de g(x, t, u), c’est à dire le u qui vérifie g(x, t, u) = 0. Une condition suffisante pour pouvoir exprimeruau moins localement en fonction dexet detest d’après le théorème des fonctions implicites ∂g/∂u6= 0 , ce qui donne :

tu⁰₀(x−ut) + 16= 0 (2.12)

Siu0(x) est une fonction croissante monotone, cette dernière condition (2.12) est vérifiée quel que soit t ≥ 0. On pourra donc en résolvant (2.11) trouver une solution classique de (2.5). Géométriquement les courbes caractéristiques issues de la droite t= 0 forment alors un faisceau de droites divergent et celles ci ne peuvent pas focaliser (cf figure 2.1).

x=x + ut0

u0(x)

x t

Fig. 2.1: Equation de B¨urger, u₀(x) monotone croissante

(16)

16 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION On peut encore interpr´eter cela en disant que l’information venant de la gauche va moins vite que celle venant de la droite et donc ne peut pas la rattraper.

Maintenant si la condition initiale u₀(x) n’est plus monotone croissante, au moins localement, `a partir d’un temps t >−1/max(u⁰₀), les caract´eristiques vont focaliser comme l’illustre la figure 2.2

x t

x=x 0 + ut

u0(x) Focalisation

Fig. 2.2: Equation de B¨urger, u₀(x) non monotone croissante

Au delà du temps t =−1/max(u⁰₀), il n’est donc plus possible de calculer de manière univoque u(x, t). En effet, au point de focalisation des courbes caractéristiques, c’est à dire au point (x, t) où elles se rencontrent, on a une solution multivaluée. On a donc un phénomène d’explosion de la solution. Il faut retenir que ce phénomène est complètement lié à la non-linéarité de l’équation (2.1) puisqu’il ne se produit pas dans le cas précédent linéaire. En reprenant l’interprétation géométrique du cas précédent, les courbes caracté- ristiques forment dans ce cas un faisceau convergent, ce qui signifie que l’information venant de gauche rattrape celle venant de la droite. Physiquement, pour les équations de la mécanique des fluides compressibles non visqueux (équations d’Euler), la focalisation des courbes caractéristiques correspond à la formation d’une onde de choc.

Remarque : Comme on l’a vu sur cet example simple, les courbes caractéristiques sont des courbes le long desquelles l’information contenue dans la donnée initiale se propage et la pente de ces courbes correspond localement à la vitesse de propagation de l’information.

Les solutions classiques telles qu’on les a d´efinies ne suffisant pas pour r´esoudre le

(17)

Solutions faibles 17 problème (2.1), on est obligé de se tourner vers des solutions plus générales que l’on ap- pellera solutions faibles. Ces dernières sont des solutions au sens des distributions qui ne seront donc plus forcément continues en tout point mais simplement continues par morceau. Ce choix est tout à fait cohérent avec la physique de ce type de problème. En effet, dans le domaine de la mécanique des fluides une onde de choc n’est ni plus ni moins qu’un point de discontinuité séparant deux zones où la solution est continue.

2.2 Solutions faibles

Nous allons ici définir ce que l’on entend par solution faible. On se place maintenant dans le cas général d’un système multidimensionnel de loi de conservation de la forme :

∂u(x, t)

∂t + Xd

i=1

∂fi(u(x, t))

∂x_i = 0 (2.13)

associ´e `a la condition initiale :

u(x,0) =u₀(x) (2.14)

Ici u(x, t) est un vecteur de R^m ainsi que les flux f_i(u) et on se place en dimension spatialed , c’est `a dire que x= (x1, .., xd).

2.2.1 D´ efinition

Définition 2.2.1 On dira que u(x, t)est une solution faible du système (2.13) associé à la condition initiale 2.14 si et seulement si quelle que soit la fonction φ(x, t)∈C_c¹(R^d×R⁺), fonction continuement différentiable à support compact on a :

Z

R^d×R⁺

u∂φ

∂tdxdt+ Z

R^d×R⁺

Xd

i=1

f_i(u)∂φ

∂xi

dxdt+ Z

R^d

u₀(x)φ(x,0)dx= 0 (2.15) Rappel : On dit qu’une fonction est à support compact si elle est identiquement nulle en dehors de tout intervale fermé borné.

On peut facilement vérifier que la notion de solution faible est bien une généralisation de la notion de solution classique. En effet, si u(x, t) est une solution classique de (2.13) elle est donc régulière et continue. En multipliant (2.13) par φet en intégrant surR^d×R⁺ on obtient sans difficulté (2.15) et on vérifie bien qu’une solution classique est aussi une solution faible.

2.2.2 Solutions continues par morceau

Nous allons montrer ici que les discontinuités qui apparaissent dans une solution faible du système (2.13) ne sont pas quelconques mais doivent satisfaire des relations de compa- tibilité connues sous le nom de conditions de Rankine-Hugoniot.

(18)

18 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION Th´eor`eme 2.2.2 Soit u(x, t) une fonction continue par morceau de R^d×R⁺. u(x, t) est solution faible de (2.13) si et seulement si u(x, t) satisfait les trois conditions suivantes :

– u(x,0) =u₀(x)

– u(x, t) est solution classique de (2.13) en dehors des surfaces de discontinuit´e

– le saut deu(x, t)à travers les surfaces de discontinuité vérifie les relations de Rankine- Hugoniot :

(u⁺−u⁻)nt+ Xd

i=1

(fi(u⁺)−fi(u⁻))ni = 0 (2.16)

où ~n= (n_t, n₁, .., n_d)est un vecteur normal unitaire à la surface de discontinuité. On note encore cette condition sous la forme compacte :

[u]n_t+ Xd

i=1

[f_i]n_i = 0 (2.17)

avec [u] =u⁺−u⁻ et [f_i] = f_i(u⁺)−f_i(u⁻).

Remarque 1 : u⁺ et u⁻ désignent les valeurs de u de part et d’autre de la surface de discontinuité comme on peut le voir sur la figure 2.3 (sur cette figure on s’est placé en monodimensionnel). De plus, on ne peut pas avoir de discontinuité à travers les hyperplans d’équations t =cst. En effet, on a dans ce cas n_t = 1 ou n_t = −1 et n_i = 0 pour tout i, donc 2.16 entraine alors u⁺=u⁻, ce qui signifie qu’il n’y a pas de discontinuité.

Enfin, les surfaces de discontinuité stationnaire sont des surfaces deR^d, qui se déplacent à vitesse nulle, donc pour lesquelles n_t = 0. On a donc dans ce cas simplement :

Xd

i=1

[f_i(u⁺)−f_i(u⁻)]n_i = 0

Remarque 2 : Si (n₁, .., n_d)6= (0, ..,0), on peut prendre le vecteur normal de la forme :

~n= µ −s

ν

¶

o`us ∈R etν = (ν₁, .., ν_d) est un vecteur unitaire deR^d. On peut alors ´ecrire 2.17 sous la forme :

s[u] = Xd

i=1

[fi]νi

(19)

Solutions faibles 19

x t

Surface de discontinuite

n u- u+

Fig. 2.3: Conditions de Rankine-Hugoniot

On rappelle que toute surface de R^d ×R⁺ a une orientation standard et donc qu’on peut associer un vecteur normal associé à cette orientation. Dans notre cas,~nreprésente le vecteur normal de la surface de discontinuité. s peut être interprété comme la vitesse à laquelle cette surface se déplace et le vecteurνreprésente la direction spatiale de déplacement de cette surface de discontinuité.

Example :Reprenons l’équation scalaire monodimensionnelle (2.1), la condition de Ran- kine-Hugoniot s’écrit pour cette équation :

[u]nt+ [f]nx = 0

avec ~n= (nt, nx). Si on paramètre la surface de discontinuité notée Γ , qui dans ce cas, est une courbe par Γ = (t, x(t)) la condition de Rankine-Hugoniot s’écrit alors :

[f] = dx dt[u]

On voit alors apparaˆıtre la vitesse caractéristique f⁰(u) puisque pourvu que [u] ne soit pas nul, la formule des accroissements finis nous donne ^dx_dt = f⁰(u(t)) où u(t) est un nombre compris entre u⁺(x(t), t) et u⁻(x(t), t). Si maintenant on particularise en s’intéressant à l’équations de Bürger proprement dite, c’est à dire avec f(u) = u²/2, on a f⁰(u) = u et donc dans ce cas, on trouve que la vitesse caractéristique de la courbe de discontinuité u(t) = û⁺^+u₂ ⁻. Cette vitesse est la vitesse avec laquelle se propage la courbe de discontinuité.

(20)

20 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION

2.3 Condition d’unicit´ e de Lax

2.3.1 Non unicit´ e des solutions faibles

Nous avons vu comment construire des solutions plus générales que les solutions classiques qui permettent de résoudre le problème de Cauchy dans le cas où les solutions classiques n’existaient pas. Malheureusement, ces solutions faibles ne sont pas uniques comme nous allons le voir sur un example simple. On se place toujours dans le cas de l’équation de Bürger (2.1). On suppose que la solution initialeu₀(x) est identiquement nulle. La solution classique u(x, t) = 0 est une solution triviale de ce problème.

Consid´erons maintenant la solution faible (donc discontinue) suivante :

u(x, t) =











0, x≤ −pt

−2p, −p < x <0 2p, 0≤x < pt

0, pt≤x

(2.18)

où p est un réel positif quelconque. Cet example donne en fonction de p une infinité de solutions faibles qui vérifient l’équation (2.1) ainsi que les relations de Rankine-Hugoniot.

x t

x/t=−p

x/t=p

u=0 u=0

u=−2p u=2p

Fig. 2.4:Solution non triviale d’un probl`eme de Cauchy trivial

Cette famille de solutions faibles est représentée sur la figure 2.4. Il faut donc trouver un intermédiaire qui permette d’assurer l’existence et l’unicité de la solution ou encore que le problème de Cauchy soit bien posé au sens d’Hadamard. Il faudra donc trouver un critère de sélection qui déterminera l’unique solution faible qui ait un sens physique.

C’est en s’inspirant de la thermodynamique que Lax a proposé un critère basé sur la notion d’entropie. En effet, les systèmes de lois de conservations hyperboliques qui nous intéressent sont en fait des modèles simplifiés des phénomènes physiques réel.

(21)

Condition d’unicité de Lax 21 Par example, pour la mécanique des fluides, les équations d’un fluide compressible non visqueux ou équation d’Euler sont une simplification des équations plus générales que sont les équations de Navier-Stokes.

Ici l’équation scalaire hyperbolique (2.1) peut être vue comme une simplification de l’équation perturbée suivante :

∂u

∂t +∂f(u)

∂x =²∆u (2.19)

où ² est un réel positif représentant un coefficient de viscosité. On sait montrer que dans ce cas particulier, le problème de Cauchy admet une solution unique classique u^². Ici la perturbation due à ² est le siège de phénomènes dissipatifs donc créateur d’entropie.

Parmi toutes les solutions faibles de l’´equation non perturb´ee, la bonne solution physique sera la limite de la suiteu^² quand ² tend vers 0.

2.3.2 Entropie de Lax-solution entropique

On va d’abord donner une d´efinition de ce que l’on entend par entropie de Lax

Définition 2.3.1 Soit S une fonction de classe C² convexe de R^m vers R on dira que S est une entropie de Lax pour le système (2.13) si il existe d fonction F₁, .., F_d de classe C² de R^m vers R appelées flux d’entropie telles :

∀u∈R^m,∇S(u)·Df_i(u) = ∇F_i(u) (2.20) La notation ∇S d´esigne le gradient de S par rapport aux inconnues, c’est `a dire le vecteur ligne (_∂u^∂S

1, ...,_∂u^∂S

m)^T

Remarque : Cette définition est équivalente au fait que S vérifie dans les zones où la solutionu est régulière, l’équation de conservation suivante :

∂S(u)

∂t + Xd

i=1

∂Fi(u)

∂x_i = 0 (2.21)

En effet, dans les zones où la solution u est régulière, (2.13) est équivalente à sa forme quasi-linéaire suivante :

∂u

∂t + Xd

i=1

Df_i(u)∂u

∂x_i = 0 (2.22)

En multipliant à gauche ce système par ∇S(u), on voit que 2.21 est vérifiée pour toute solutionu(x, t) régulière si et seulement si la relation 2.20 est vérifiée.

Example : Pour les équations d’Euler monodimensionnelles, les variables conservatives sontρ la densité,ρula quantité de mouvement, etE l’énergie totaleE =ρe+ 1/2ρu² avec e l’énergie interne. Les équations s’écrivent de la fa¸con suivante :







∂_tρ+∂_xρu= 0

∂_tρu+∂_x(ρu²+p) = 0

∂_tE+∂_x(Eu+pu) = 0

(22)

22 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION o`upd´esigne la pression. Pour un gaz parfait thermodynamiquementp(ρ, e) = (γ−1)ρe.

On peut montrer que l’opposé de l’entropie physique S =−ρlog(e/ρ^γ−1) est une entropie de Lax pour ce système associée au flux d’entropie F =uS.

En reprenant les id´ees de Lax, on va perturber le syst`eme (2.13) par un terme diffusif

²∆u avec² >0. Le syst`eme (2.13) est remplac´e par

∂tu²+ Xd

i=1

∂ifi(u²) = ²∆u² (2.23)

En admettant que ce système possède une solution régulière u_², la bonne solution faible admissible (donc entropique ) de (2.13) sera alors la limite ( à condition qu’elle existe ) de u² quand ² tend vers zero. Ceci nous amène à énoncer le théorème de Lax :

Théorème 2.3.2 (Lax) supposons que le système (2.13) admette une entropie de Lax S de classe C² associée aux flux Fi, i = 1, ..d et que 2.23 admette une solution u² de classe C² pour tout ² > 0 convergeant vers u alors u est une solution faible de (2.13) et vérifie l’inégalité faible suivante pour toute fonction φ≥0 à support compact dans R^d×R+ :

Z

R^d×R⁺

S(u)∂φ

∂tdxdt+ Z

R^d×R⁺

Xd

i=1

Fi(u)∂φ

∂x_idxdt+ Z

R^d

S(u0)φ(x,0)dx ≥0 (2.24) On dit alors que u satisfait la condition d’entropie 2.24 ou encore que u est une solution entropique de (2.13)

L’inégalité 2.24 implique l’inégalité suivante au sens des distributions sur l’entropie :

∂tS(u) + Xd

i=1

∂xiFi(u)≤0 (2.25)

Dans le cadre des solutions continues par morceaux, la condition d’entropie de Lax est donnée par le théorème suivant :

Théorème 2.3.3 Une solution faible de (2.13) continue par morceaux est entropique si et seulement si sur toutes les surfaces de discontinuité on a :

(S(u⁺)−S(u⁻))n_t+ Xd

i=1

(F_i(u⁺)−F_i(u⁻))n_i ≤0 (2.26) C’est l’´equivalent pour l’entropie des conditions de Rankine-Hugoniot.

Example: Nous allons illustrer l’importance de la notion de solution entropique sur l’example simple de l’ équation de Bürger associée à la condition initiale suivante :

u₀(x) =

( 0, x < 0 1, x > 0

(23)

Condition d’unicit´e de Lax 23 Cette condition initiale est port´ee sur la figure 2.5 suivante

x u0(x)

Fig. 2.5: Condition initiale

On a vu précédemment que pour cette équation les courbes caractéristiques étaient des droites de penteu. Si on trace à partir de cette condition initiale les courbes caractéristiques dans le plan (x, t) , on obtient le graphe suivant 2.6

x=cst

t

x x=t

Fig. 2.6: Courbes caract´eristiques

On voit sur cette figure que les courbes caract´eristiques ne focalisent pas et que les points (x, t) tels que t≥0, 0< x < t ne sont atteints par aucune de ces droites. La m´ethode des

(24)

24 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION caract´eristiques permet ici de construire la solution pour tous les autres points :

– dans la zone o`u t≥0, x <0, on a u(x, t) = 0 – dans la zone o`u t≥0, x > t >0, on a u(x, t) = 1

Il reste à déterminer une solution dans la zone intermédiaire. On peut remarquer que la fonction u(x, t) =x/t est solution classique de cette équation. On peut donc poser pour cette zone :

u(x, t) = x/t

En fait, on vient de construire une solution classique (donc continue) de cette ´equation.

Elle satisfait donc les conditions de Rankine-Hugoniot le long des droites x= 0 et x = t.

C’est donc une solution faible de ce problème (cf 2.2.2). On a représenté sur la figure 2.7 la forme de cette solution dans le plan (x, t).

x t

u(x,t)=0

u(x,t)=x/t u(x,t)=1 x=t

Fig. 2.7: Solution faible classique

On va maintenant construire une autre de solution faible continue par morceaux et admettant une discontinuit´e le long d’une droite ∆ d’´equation x= 1/2t

u(x, t) = 0 pour t≥0 , x <1/2t u(x, t) = 1 pour t≥0 , x >1/2t

En remarquant qu’un vecteur normal `a la droite ∆ a pour composantes (−1/√ 5,2/√

5), les relations de Rankine-Hugoniot sur cette ligne de discontinuit´e donnent :

−1/√

5 + 1/√ 5 = 0

Cette solution, d’après le théorème 2.2.2 est bien aussi une solution faible.

(25)

Condition d’unicit´e de Lax 25

x t

u(x,t)=1 x=t/2

u(x,t)=0

Fig. 2.8: Solution faible non entropique

On a donc construit ici deux solutions faibles. Laquelle est la bonne physiquement. c’est ici qu’intervient le critère entropique qui va permettre de sélectionner la bonne solution physique. Il reste donc à construire pour cette l’équation de Bürger une entropie. On peut vérifier facilement queS(u) = u²/2 a bien les bonnes propriétés d’une entropie de Lax. Elle est en effet convexe (S⁰⁰(u)>0), le flux d’entropie associé est F(u) =u³/3. En effet, on a bien

∇S(u)· df

du =∇F(u)

Car dans ce cas simplifié, ∇S(u) =S⁰(u) =u et ∇F(u) =F⁰(u) =u², enfin _du^df =u. Il est clair que la solution faible classique qui est continue par définition vérifie les conditions de Rankine-Hugoniot pour l’entropie S que nous avons définie.

Par contre, pour la seconde solution faible qui a été construite, sur la ligne de disconti- nuité ∆ de normale (−1/√

5,2/√

5), on a :

− 1

√5(u⁺²

2 − u⁻² 2 ) + 2

√5(u⁺³

3 −u⁻³

3 ) = 1 6√

5 >0

alors que par définition cette expression devrait être négative ou nulle. Cette seconde solution ne vérifie pas la condition de Rankine-Hugoniot pour l’entropie. Elle est donc à rejeter et seule la première solution est l’unique solution faible ici continue à ce problème.

Remarque : Ici nous avons suppos´e que le flux f est strictement convexe. Dans ce cas, on peut facilement montrer qu’une solution discontinue satisfait la condition d’entropie de Lax si et seulement si on a

u⁺ < u⁻

Si on appelle s la vitesse à laquelle se propage la discontinuité, c’est à dire : s[u] = [f]

(26)

26 SOLUTIONS FAIBLES DES SYSTEMES DE LOIS DE CONSERVATION La condition pr´ec´edente nous montre alors que

u⁺ < s < u⁻ On verra ceci plus en d´etail dans le prochain chapitre.

(27)

CHAPITRE 3

LE PROBLEME DE RIEMANN

3.1 Cas d’une ´ equation scalaire

3.1.1 Forme g´ en´ erale de la solution dans le cas scalaire







∂_tu+∂_xf(u) = 0, x∈R, t >0 u(x,0) =

( u_l six <0 u_r si x >0

(3.1) On cherchera les solutions entropiques de (3.1) dans la classe des fonctions continues par morceaux, la seule hypoth`ese que l’on fera par ailleurs est de supposer la fonction flux f convexe. Cela permet de simplifier les calculs.

On peut montrer que le probl`eme de Riemann admet des solutions auto-semblables.

C’est `a dire que si u(x, t) est solution entropique de (3.1) alors quel que soit λ > 0, u_λ(x, t) = u(λx, λt) est aussi solution de (3.1). En effet, formellement on a

∂u_λ

∂t =λ∂u(λx, λt)

∂t

et ∂f(u_λ)

∂x =λ∂f(u(λx, λt))

∂x On a alors

∂u_λ

∂t + ∂f(u_λ)

∂x =λ

½∂u(λx, λt)

∂t +∂f(u(λx, λt))

∂x

¾

= 0 avec la condition initiale

u_λ(x,0) =u(λx,0) =

( u_l si x <0 u_r si x >0 27

(28)

28 LE PROBLEME DE RIEMANN ce qui signifie que u_λ est solution de (3.1). Si on admet que ce probl`eme a une solution unique, on a donc ∀λ > 0 et ∀x∈ R , ∀t ∈R^?+, u(x, t) = u(λx, λt). En particulier, pour λ= 1/t, on a :

u(x, t) = u(x/t,1)

Si on pose ξ = x/t, on a u(x, t) = w(x/t) = w(ξ), on peut alors exprimer ∂_tu et ∂_xu en fonction de ^du_dξ, on a

∂u

∂t = du dξ

∂ξ

∂t = du dξ

−x t²

et ∂f

∂x = df dξ

∂ξ

∂x = df dξ

1 t finalement (3.1) est formellement ´equivalent `a :











−ξdu dξ + df

dξ = 0 u(−∞) =u_l u(+∞) =u_r

(3.2)

Le fait que les solutions du problème de Riemann soient auto-semblables signifie que celles- ci sont constantes le long des droitesx/t =cst. La structure de la solution du problème de Riemann dans ce cas scalaire monodimensionnel est assez simple. En effet, elle consistera comme on va le voir par la suite, en des états constants de u séparés soit par des chocs (zone discontinue), ou par des détentes (zone continue).

3.1.2 Forme de la solution dans les zones o` u u est continue

On suppose ici que l’inconnue u(x, t) est continue entre deux valeurs de ξ, ξ = ξ₁ et ξ =ξ₂. Si u(ξ) est continue, on peut ´ecrire que

df

dξ = Df Du

du dξ le problème de Riemann (3.2) se ramène alors à

−ξdu dξ + Df

Du du

dξ = 0 (3.3)

PosonsA(ξ) = Df

Du, on a donc∀ξ ∈]ξ1, ξ2[ :

[−ξI_d+A(ξ)]du

dξ = 0 (3.4)

Dans cette zone, soit ^du_dξ est vecteur propre de A(ξ) associé à la valeur propre ξ, soit u est constant (^du_dξ = 0). Comme ici, on est dans le cas scalaire, on remarque ici que (3.4) donne f⁰(u(ξ)) =ξ. La solution est donnée par

u(x, t) = f⁰⁻¹(ξ) (3.5)