Slides liaison entre variables qualitatives

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Liaison entre variables qualitatives

Sidi Mohamed MAOULOUD

24 f´evrier 2015

Sidi Mohamed MAOULOUD Liaison entre variables qualitatives 24 f´evrier 2015 1 / 48

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1 Introduction

2 Tableau de Contingence

3 Effectifs marginaux

4 Distributions conditionnelles

5 Distribution th´eorique

6 Coefficient du khi-deux

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Lors de la r´ealisation d’un projet de vente de viande, un producteur

commande une enquête ou l’a posé deux questions ”lieu d’habitation” codé par p = 5 modalités et ”mode de vente préféré” codé par q = 3 modalités

ferme marche domicile

Toulouse 45 50 13

Environs Toulouse 26 22 11

Saint-Gaudens 28 21 7

Environs Saint-Gaudens 61 24 7

Autre 14 9 11

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Tableau de Contingence

La répartition des n observations, ou distribution conjointe, suivant les modalités de X etY se présente sous forme d’un tableau à double entrée, appelée tableau de contingence

❍

❍❍

❍❍❍ X

Y y₁ · · · y_j · · · y_c

x₁ n₁₁ n_1j n_1c

... ...

x_i n_i1 n_ij n_ic

... ...

x_l n_l1 · · · n_lj · · · n_lc

Ici nij est le nombre d’unité statistique possédant simultanément la modalité x_i de la variableX et la modalitéy_j de la variable Y

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Effectifs marginaux

le nombre d’unité statistique possédant la modalitéx_i est n_i·=

c

X

j=1

nij

Les n_i_·s’appellent les effectifs marginaux de la variable X le nombre d’unité statistique possédant la modalitéy_j est

n_·j =

l

X

i=1

nij

Les n_·j s’appellent les effectifs marginaux de la variableY l’effectif total de la population est

n=

l

X

i=1

ni·=

c

X

j=1

n_·j

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Distributions marginales

❍

❍❍

❍❍❍ X

Y y₁ · · · yj · · · yc Total

x₁ n₁₁ n_1j n_1c n_1·

... ...

x_i n_i1 n_ij n_ic n_i·

... ...

x_l n_l1 · · · n_l,j · · · n_l,c n_l·

Total n_·1 · · · n_·j · · · n_·c n

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Dans l’exemple pr´ec´edent on a

ferme marche domicile Sum

Toulouse 45 50 13 108

Environs Toulouse 26 22 11 59

Saint-Gaudens 28 21 7 56

Environs Saint-Gaudens 61 24 7 92

Autre 14 9 11 34

Sum 174 126 49 349

Ainsi par exemple 50 habite Toulouse et préfèrent le mode de vente marche. Aussi on peut dire qu’il y a 59 qui habitent Environs Toulouse et qu’il y a 49 qui préfèrent le mode domicile

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Exemple

La distribution marginale de la variable habitation est donn´ee par

Toulouse Environs Toulouse Saint-Gaudens

108 59 56

Environs Saint-Gaudens Autre

92 34

La distribution marginale de la variable mode de vente préféré est donnée par

174 126 49

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Fr´ equences et fr´ equences marginales

la proportion d’unité statistique possédant à la fois la modalitéx_i et la modalitéy_jest

f_ij = n_ij n

la proportion d’unité statistique possédant la modalité x_i est f_i·= n_i·

n

la proportion d’unité statistique possédant la modalité y_j est f_·j = n_·j

n

On a l

X

i=1

f_i·=

c

X

j=1

f_·j = 1

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Tableau de contingence des fr´ equences

❍

❍❍

❍❍❍ X

Y y₁ · · · yj · · · yc Total

x₁ f₁₁ f_1j f_1c f_1·

... ...

x_i f_i1 f_ij f_ic f_i·

... ...

x_l f_l1 · · · f_lj · · · f_lc f_l·

Total f_·1 · · · f_·,j · · · f_·c n

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ferme marche domicile Sum

Toulouse 0.129 0.143 0.037 0.309

Environs Toulouse 0.074 0.063 0.032 0.169 Saint-Gaudens 0.080 0.060 0.020 0.160 Environs Saint-Gaudens 0.175 0.069 0.020 0.264

Autre 0.040 0.026 0.032 0.097

Sum 0.499 0.361 0.140 1.000

Ainsi par exemple 14.3 % des individus enquêtés habitent Toulouse et préfèrent le mode de vente marche. Aussi on peut dire qu’il y a 16.9 % qui habitent Environs Toulouse et qu’il y a 14 % qui préfèrent le mode domicile

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Exemple

La distribution marginale de la variable habitation est donn´ee par

Toulouse Environs Toulouse Saint-Gaudens

0.309 0.169 0.160

Environs Saint-Gaudens Autre

0.264 0.097

La distribution marginale de la variable mode de vente préféré est donnée par

ferme marche domicile 0.499 0.361 0.140

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Distributions conditionnelles

La distribution de la variable Y, dans la sous-population des individus possédant la modalité x_i, est appelée distribution conditionnelle deY sachant X =x_i. Pour j = 1,· · ·,c

f_j_|i = nij

n_i_·

La distribution de la variable X, dans la sous-population des individus possédant la modalité y_j, est appelée distribution conditionnelle deX sachant Y =yj. Pour j = 1,· · ·,c

f_i_|j = nij

n_·j

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Exemple

Toulouse 0.417 0.463 0.120

Environs Toulouse 0.441 0.373 0.186 Saint-Gaudens 0.500 0.375 0.125 Environs Saint-Gaudens 0.663 0.261 0.076

Autre 0.412 0.265 0.324

Ainsi par exemple, chez les individus habitant Toulouse, 46.3 % pr´ef`erent le mode de vente marche.

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Toulouse 0.259 0.397 0.265

Environs Toulouse 0.149 0.175 0.224 Saint-Gaudens 0.161 0.167 0.143 Environs Saint-Gaudens 0.351 0.190 0.143

Autre 0.080 0.071 0.224

Ainsi par exemple, chez les individus pr´ef`erent le mode de vente marche, 39.7 % habitent Toulouse.

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L’ind´ ependance

En cas d’ind´ependance des variable X et Y les distributions

conditionnelles devraient être égales aux distributions marginales. En d’autres termes f_j|i ne doit pas dépendre dei. De mêmef_i|j ne doit pas dépendre dej

∀i, On doit avoir parmi lesn_i· individus poss´edant la modalit´e,f_·1×n_i·

possédant la modalité y₁,f_·2×n_i_·possédant la modalité y₂, etc..

En cas d’indépendance, le nombre d’individus possédant à la fois la modalité xi et yj devrait être égal à

t_ij =f_·j ×n_i·= n_i·n_·j n Les t_ij s’appelle les effectifs th´eoriques

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Exemple

Le tableau des effectif théoriques de l’exemple précédent ferme marche domicile Sum

Toulouse 53.8 39.0 15.2 108

Environs Toulouse 29.4 21.3 8.3 59

Saint-Gaudens 27.9 20.2 7.9 56

Environs Saint-Gaudens 45.9 33.2 12.9 92

Autre 17.0 12.3 4.8 34

Sum 174.0 126.0 49.0 349

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Coefficient du khi-deux

Pour mesurer le lien entre deux variable on mesure l’écart entre la vraie situation et la situation théorique d’indépendance. Plus cet écart est grand plus le lien est fort.

Pour mesurer l’´ecart entre les deux tableaux on utilise le coefficient du khi-deux d´efini par

χ² =

l

X

i=1 c

X

j=1

(n_ij −t_ij)² t_ij =n

l

X

i=1 c

X

j=1

(f_ij −f_i·f_·j)² f_i·f_·j On aχ²≥0. Plus il est grand plus le lien est fort

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Illustrons le calcul du khi-deux à l’aide de l’exemple précédent Effectifs observés

fer mar dom

T 45 50 13

E-T 26 22 11

S-G 28 21 7

E-S-G 61 24 7

A 14 9 11

effectifs th´eoriques fer mar dom 53.8 39.0 15.2 29.4 21.3 8.3 27.9 20.2 7.9 45.9 33.2 12.9 17.0 12.3 4.8

(nij −t_ij)²/tij

fer mar dom 1.44 3.10 0.32 0.39 0.02 0.88 0.00 0.03 0.10 4.97 2.55 2.70 0.53 0.89 8.01 On a

χ² = ^(45−53.8)_53.8 ² + ^(50−39)₃₉ ² +· · ·+^(11−4.8)_4.8 ²

= 1.44 + 3.1 +· · ·+ 8.01

= 26.1

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Le V de Cram` er

Le χ² varie de 0 à +∞. Il nous faudrait une mesure normalisée dont on connaˆıt la valeur maximale lorsque la liaison est parfaite c.-à-d.

lorsque la connaissance de Y permet de d´eterminer avec certitude la valeur deX et/ou inversement.

Le V de Cram`er d´efini parφ= s

χ²

nmin(l−1,c−1). On a 0≤V ≤1

lorsque le lien est significatif (Test du khi-deux), leV s’interprete : 0<V ≤0.2 0.2<V ≤0.5 0.5<V ≤0.9 0.9<V ≤1 lien faibe lien modéré lien fort lien très fort

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Mesures d’associations

D´etecter une liaison significative, c’est bien. Comprendre la nature de la liaison, c’est mieux.

La diérence entre le tableau observé et le tableau théorique permet de construire un indicateur, le résidu rij =nij −tij.

Par construction,P

r_ij = 0. Le plus intéressant est sans aucun doute le signe du résidu (r_ij) qui indique le sens de l’association : attraction entre les caractères (> 0) ou répulsion (<0).

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Mesures d’associations

On appelle résidu standardisé rstd_ij =r_ij/√t_ij On appelle résidu ajusté raj_ij =rstd_ij/p

(1−f_i_·)(1−f_i·)

Le χ² est additif. Pour mesurer l’importance relative d’une case du tableau dans la caractérisation de la liaison, nous pouvons lui associer une valeur, ditecontributionau χ², égale à

cntr_ij =

(nij−tij)² tij

χ²

La contribution est le rapport entre le carré durésidu standardiséet le χ²

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Un résidu ajusté tel que|raj_ij|>2 est significatif et il indique une association entre la modalité x_i et la modalité y_j. Le sens de l’association est indiqué par le signe du résidu

Une contribution supérieure à la contribution moyenne 1/lc, ce qui est équivalent à rstd_ij²> χ²/(lc), indique une assossciation entre la modalité x_i et la modalité y_j

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Exemple

Les r´esidus ajust´es

fer mar dom T -2.05 2.65 -0.72 E-T -0.98 0.21 1.12 S-G 0.02 0.24 -0.36 E-S-G 3.68 -2.33 -2.07 A -1.07 -1.23 3.24 Attraction : T et mar (2.65), E-S-G et fer (3.68), A et dom (3.24).

Repulsion : T et fer (-2.05), E-S-G et mar et dom(-2.33 et -2.07).

Les carrés des résidus standardisés fer mar dom

T 1.44 3.10 0.32 E-T 0.39 0.02 0.88 S-G 0.00 0.03 0.10 E-S-G 4.97 2.55 2.70 A 0.53 0.89 8.01 On a χ²/lc = 1.73. Attraction entre : T et mar (3.1), E-S-G et fer (4.97), A et dom (8.1). Repulsion entre : E-S-G et mar et dom (2.55 et 2.7)

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