Chapitre 9 : Vecteur et repérage

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Chapitre 9 : Vecteur et repérage

I- Repère du plan

a) Définition d’un repère

Définition :

On appelle repère du plan, et on note (O,𝑖⃗ , 𝑗⃗), la donnée d’un point O appelé origine et de deux vecteurs non colinéaires 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗.

- De plus, un repère est orthogonal si 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗ et ont des directions perpendiculaires ;

- Enfin, un repère orthogonal est dit orthonormé (ou orthonormal) si 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗ et ont la même norme.

b) Distance entre 2 points dans un repère

Propriété :

Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points dans un repère orthonormé. Alors : 𝐴𝐵 = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)²

Démonstration

C’est une conséquence directe du théorème de Pythagore (ajouter un point C de sorte que ABC soit rectangle en C).

c) Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété :

Soit A et B deux points de coordonnées (𝑥_𝐴

𝑦_𝐴) et (𝑥_𝐵

𝑦_𝐵) dans un repère (O, 𝑖⃗, 𝑗⃗).

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : (

1

2(𝑥_𝐴 + 𝑥_𝐵)

1

2(𝑦_𝐴+ 𝑦_𝐵))

Méthode : Calculer les coordonnées d’un milieu

On considère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗) un repère du plan.

Soit A(2

3), B(−2

1 ) et C( 3

−1).

Calculer les coordonnées de M, N et P milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].

M ( ²⁺⁽⁻²⁾

2 ; ³⁺¹

2 ) = (0 ; 2) N ( ²⁺³

2 ; ³⁺⁽⁻¹⁾

2 ) = (2,5 ; 1) P ( ⁻²⁺³

2 ; ¹⁺⁽⁻¹⁾

2 ) = (0,5 ; 0)

J

0 I

A

B

C V

2^nde – ch9 - 2 II- Les vecteurs dans un plan

a) Coordonnées d’un vecteur dans un repère

Définition :

Soit (O,𝑖⃗ , 𝑗⃗), un repère du plan. Pour tout vecteur 𝑢⃗⃗, il existe un point M tel que 𝑢⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Les coordonnées du vecteur 𝑢⃗⃗ dans ce repère sont alors celles du point M.

Si un point M a pour coordonnées (𝑥_𝑀 ; 𝑦_𝑀) alors on note 𝑢⃗⃗(𝑥_𝑀 ; 𝑦_𝑀) 𝑜𝑢 𝑢⃗⃗ (𝑥_𝑀 𝑦_𝑀)

Propriétés : Soit 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ (𝑥₁

𝑦₁) 𝑒𝑡 𝑣⃗ (𝑥₂

𝑦₂) 2 vecteurs. Alors :

• 𝑢⃗⃗ = 𝑣⃗ ⇔ 𝑥₁ = 𝑥₂ 𝑒𝑡 𝑦₁ = 𝑦₂

• 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ (𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑦₁+ 𝑦₂)

• 𝑘𝑢⃗⃗ (𝑘𝑥₁ 𝑘𝑦₁)

Soient A(xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points. Alors

• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)

• 𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝐼 𝑑𝑒 [𝐴𝐵] 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 ∶ 𝐼 (^{𝑥𝐴+𝑥𝐵}

2 ; ^{𝑦𝐴+𝑦𝐵}

2 )

Démonstration :

Les trois premiers points utilisent simplement la définition. Pour le 4ème, la relation de Chasles nous donne : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Comme −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝑥_𝐴

−𝑦_𝐴) 𝑒𝑡 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵

𝑦_𝐵) on a alors par addition 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴).

Pour le dernier, on remarque que 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ si on construit un parallélogramme à partir des points O, A et B (tel que AB en soit une diagonale). Par conséquent, 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

2(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗) a pour coordonnées

1

2 (𝑥_𝐴 + 𝑥_𝐵; 𝑦_𝐴+ 𝑦_𝐵)

Exercice :

Soient A(– 1 ; – 5) et B(2 ; 3). Déterminer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et du milieu I de [AB].

Solution :

Les coordonnées de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont données par : 𝑥_𝐵 – 𝑥_𝐴 = 2 – (– 1) = 3 𝑒𝑡 𝑦_𝐵 – 𝑦_𝐴 = 3 – (– 5) = 8. Donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3

8).

Pour le vérifier, faire une figure, et vérifier qu’on se déplace bien horizontalement de 3 carreaux vers la droite puis verticalement de 8 carreaux vers le haut afin d’aller du point A au point B.

Puisque ^{𝑥𝐴+𝑥𝐵}

2 =⁻¹⁺²

2 = ¹

2 𝑒𝑡 ^{𝑦𝐴+𝑦𝐵}

2 =⁻⁵⁺³

2 = −1. On conclut que I(0,5 ; – 1).

2^nde – ch9 - 3 b) La colinéarité dans un repère

Propriété : Soit 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ (𝑥₁

𝑦₁) 𝑒𝑡 𝑣⃗ (𝑥₂

𝑦₂) 2 vecteurs. Alors ces 2 vecteurs sont colinéaires si et seulement 𝑥₁𝑦₂− 𝑥₂𝑦₁ = 0 (c’est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles).

Démonstration :

Si l’un des vecteurs est nul, il n’y a rien à démontrer. Supposons alors que les deux vecteurs soient non nuls.

S’ils sont colinéaires, c’est qu’il existe un réel k tel que 𝑢⃗⃗ = 𝑘𝑣⃗ , c’est-à-dire 𝑥₁ = 𝑘𝑥₂ 𝑒𝑡 𝑦₁ = 𝑘𝑦₂. Dans ce cas, x1y2 – y1x2 = kx2y2 – ky2x2 = 0.

Exercice :

• Est-ce que les vecteurs 𝑢⃗⃗ (−5

3 ) 𝑒𝑡 𝑣⃗ (15

−9) sont-ils colinéaires ? Justifier.

• Est-ce que les vecteurs 𝑎⃗ ( 7

−3) 𝑒𝑡 𝑏⃗⃗ ( 4

−2) sont-ils colinéaires ? Justifier.

Solution :

• Puisque (– 5) × (– 9) – 3 × 15 = 45 – 45 = 0, les vecteurs 𝑢⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑣⃗ sont colinéaires.

• Puisque 7 × (– 2) – (– 3) × 4 = – 14 + 12 = – 2, les vecteurs 𝑎⃗ 𝑒𝑡 𝑏⃗⃗ ne sont pas colinéaires.

c) Déterminant de deux vecteurs

Définition :

Soit 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs de coordonnées (𝑥

𝑦) et (𝑥′

𝑦′) dans un repère (O, 𝑖⃗, 𝑗⃗).

Le nombre xy’ – yx’ est appelé déterminant des vecteurs 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗.

On note : 𝑑𝑒𝑡(𝑢⃗⃗ ; 𝑣⃗) = |𝑥 𝑥′

𝑦 𝑦′| = 𝑥𝑦^′− 𝑦𝑥′.

Propriété :

Dire que 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires revient à dire que 𝑑𝑒𝑡(𝑢⃗⃗ ; 𝑣⃗) = 0.

Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l’aide du déterminant

Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires.

a) 𝑢⃗⃗ (−6

10) et 𝑣⃗ ( 9

−15) b) 𝑢⃗⃗ (4

9) et 𝑣⃗ (11 23)

a) 𝑑𝑒𝑡(𝑢⃗⃗ ; 𝑣⃗) = |−6 9

10 −15| = (−6) × (−15) − 10 × 9 = 90 − 90 = 0 Les vecteurs 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont donc colinéaires.

b) 𝑑𝑒𝑡(𝑢⃗⃗ ; 𝑣⃗) = |4 11

9 23| = 4 × 23 − 9 × 11 = 92 − 99 = −7 ≠ 0 Les vecteurs 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ ne sont donc pas colinéaires.

2^nde – ch9 - 4 d) Applications

Méthode : Appliquer la colinéarité

On considère (O, 𝑖⃗ , 𝑗⃗) un repère du plan.

Soit A(−1 1 ), B(3

2), C(−2

−3), D( 6

−1) et E(5 0).

1) Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2) Démontrer que les points E, B et D sont alignés.

1) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 −(−1) 2 − 1 )=(4

1) et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 6 − (−2)

−1 − (−3)) = (8 2).

Comme les coordonnées de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont proportionnelles, on en déduit que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Les droites (AB) et (CD) sont donc parallèles.

2) 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 5

2 − 0) = (−2

2 ) et 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 6 − 5

−1 − 0) = ( 1

−1).

𝑑𝑒𝑡(𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = |−2 1

2 −1| = −2 × (−1) − 2 × 1 = 0

Les coordonnées de 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vérifient le critère de colinéarité des vecteurs.

On en déduit que les vecteurs 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Les points E, B et D sont donc alignés.

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