Chapitre 9

9 Produit tensoriel et applications

Version du 28 mai 2006

32 Produit tensoriel

Dans tout ce qui suit, A est un anneau commutatif. Soient M, N deux A-modules. On veut définir unA-module M⊗_AN qui soit engendré par les

“produits” d’un élément deM par un élément deN, c.-à-d., par des éléments notés m⊗n.

32.0 Remarque préliminaire

À titre de motivation et de guide, considérons le cas oùA=Cest le corps des nombres complexes et oùM =C[X]etN =C[Y]sont deux anneaux de polynômes. On veut définir le produit tensoriel ⊗_C de sorte que l’on ait

C[X]⊗_CC[Y] =C[X, Y],

le terme de droite étant l’anneau des polynômes en deux variables, c.-à-d., l’ensemble des sommes finies

Xn i,j=0

a_ijXⁱY^j,

où n ≥ 0 et a_ij ∈ C. On voit ainsi que tout polynôme en X, Y est une somme de termes P(X)Q(Y); de plus, d’après l’écriture ci-dessus on peut se limiter au cas où P et Q sont des monômes. On prendra garde au fait qu’un polynôme en X, Y arbitraire n’est pas, en général, égal à un produit de la forme P(X)Q(Y). En effet, pour toutR∈C[X, Y], notons

V(R) ={(x, y)∈C² |R(x, y) = 0}.

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SiRest de la formeP(X)Q(Y), soientα₁, . . . , α_retβ₁, . . . , β_s les racines de P etQ, alorsV(R)est la réunion des droites verticalesx=α_iet des droites horizontalesy=β_j. Par contre, pour R=XY −1, on a

V(R) ={(z, z⁻¹)|z∈C^×}

et cet ensemble n’est pas une réunion finie de droites. Ceci montre queXY−1 ne peut s’écrire comme un produitP(X)Q(Y). Ceci illustre la nécessité de considérer non seulement ces produits, mais l’ensemble de toutes les sommes de tels produits.

32.1 Applications bilinéaires SoientM, N, P troisA-modules.

Définition 32.1.1 Soitφune application d’ensemblesM×N →P. On dit queφestA-bilinéairesi elle estA-linéaire en chacune des variables, c.-à-d., si :∀a, a⁰∈A,m, m⁰ ∈M,n, n⁰∈N,

φ(am+a⁰m⁰, n) =aφ(m, n) +a⁰φ(m⁰, n); (1) φ(m, an+a⁰n⁰) =aφ(m, n) +a⁰φ(m, n⁰). (2) On noteBil_A(M×N, P) l’ensemble de ces applications.

Définition 32.1.2 (Applications à valeurs dans un A-module) Soit X un ensemble. Si f, g sont deux applications de X dans P, et a ∈ A, on définit les applicationsf +g etaf par :

(f +g)(x) =f(x) +g(x), (af)(x) =af(x), ∀x∈X.

Ceci munit l’ensemble des applications de X dans P, noté Hom_Ens(X, P), d’une structure deA-module.

Lemme 32.1.3 1) L’ensembleHom_A(M, N) des morphismes deA-modules M →N est un sous-A-module deHom_Ens(M, N).

2) De même, Bil_A(M ×N, P) est un sous-A-module de Hom_Ens(M × N, P).

Démonstration.1) Soient φ, ψ∈Hom_A(M, N) eta∈A. Il faut montrer que l’application

aφ+ψ:M →N, m7→aφ(m) +ψ(m),

est A-linéaire. Soientm, m⁰ ∈M etb∈A. Alors, (aφ+ψ)(m+bm⁰) =aφ(m+bm⁰) +ψ(m+bm⁰)

=aφ(m) +abφ(m⁰) +ψ(m) +bψ(m⁰)

= (aφ+ψ)(m) +b(aφ+ψ)(m⁰).

(Noter qu’on a utilisé la commutativité de A dans la dernière égalité). Ceci montre que aφ+ψest A-linéaire, c.-à-d., appartient à Hom_A(M, N).

La démonstration du point 2) est tout-à-fait analogue (on vérifie la A- linéarité par rapport à chacune des variables), et est laissée au lecteur.¤ Proposition 32.1.4 On a des isomorphismes de A-modules

Bil_A(M ×N, P)∼=

½ Hom_A(M,Hom_A(N, P));

Hom_A(N,Hom_A(M, P)).

Démonstration.Il suffit de montrer le premier isomorphisme, le deuxième étant analogue. Notons

β :Hom_A(M,Hom_A(N, P))−→Bil_A(M ×N, P), θ7→β(θ) l’application définie par

β(θ)(m, n) =θ(m)(n),

pour tout m∈M,n∈N. On voit facilement queβ(θ) estA-bilinéaire.

De plus,β est un morphisme de A-modules. En effet, d’après les défini- tions, l’on a

β(aθ+θ⁰)(m, n) = (aθ+θ⁰)(m)(n) = (aθ(m) +θ⁰(m))(n)

=aθ(m)(n) +θ⁰(m)(n) = (aβ(θ) +β(θ⁰))(m, n).

Maintenant, pour montrer que β est un isomorphisme, il suffit d’exhiber une application inverse. Pour tout φ ∈ Bil_A(M ×N, P) et tout m ∈ M, soit α(φ)(m) l’application n 7→ φ(m, n). Cette application appartient à Hom_A(N, P) puisque, pour m fixé, φ(m,−) est A-linéaire en la 2ème va- riable. Ainsi, on a obtenu une application

α(φ) :M −→Hom_A(N, P).

Montrons que cette application estA-linéaire, c.-à-d., que α(φ)(m+am⁰) =α(φ)(m) +aα(φ)(m⁰)

(égalité d’applications deN vers P). Évaluant les deux membres en un élé- mentn∈N arbitraire, ceci revient à montrer que

φ(m+am⁰, n) =φ(m, n) +aφ(m⁰, n).

Or cette égalité est bien vérifiée, puisqueφestA-linéaire en la 1ère variable.

Ceci montre queα(φ) estA-linéaire, et donc queα définit une application α:Bil_A(M ×N, P)−→Hom_A(M,Hom_A(N, P)).

On vérifie alors facilement que(α◦β)(θ) =θ et(β◦α)(φ) =φ pour toutθ etφ. Ceci prouve la proposition. ¤

32.2 Produit tensoriel : définition et propriété universelle SoientM, NdeuxA-modules. On veut définir unA-module, notéM⊗_AN ou simplementM⊗N, qui soit formé des sommes de “produits” m⊗nd’un élément de M par un élément de N. On veut de plus que ce “produit” ⊗ vérifie les deux propriétés suivantes.

1) bi-additivité :

½ (m+m⁰)⊗n = m⊗n+m⁰⊗n m⊗(n+n⁰) = m⊗n+m⊗n⁰. 2) “unicité de l’action deA” :

a·(m⊗n) = (am)⊗n=m⊗(an).

On forme donc leA-module libreA(M×N), qui est l’ensemble de toutes les sommes formelles finies

X

(m,n)∈M×N

a_m,ne_m,n,

avec a_m,n ∈ A et a_m,n = 0 sauf pour un nombre fini d’indices. Soit K le sous-A-module engendré par les éléments de l’un des types suivants :

(1) e_am+m⁰_,n−ae_m,n−e_m⁰_,n, (2) e_m,an+n⁰−ae_m,n−e_m,n⁰, poura∈A,m, m⁰ ∈M,n, n⁰∈N.

Définition 32.2.1 On pose M ⊗_AN = A(M ×N)/K et l’on notem⊗n l’image dee_m,n dansM⊗N.

Remarque 32.2.2 Il résulte des relations (1) et(2) que le produit m⊗n vérifie la condition 1) (bi-additivité) et la condition 2) :

a·(m⊗n) = (am)⊗n=m⊗(an).

En particulier, tout élément de M ⊗_AN est une somme finie d’éléments m⊗n.

Proposition 32.2.3 Soit (e_i)_i∈I, resp. (f_j)_j∈J, un système de générateurs de M, resp. N, comme A-module. Alors M ⊗_AN est engendré comme A- module par les éléments e_i⊗f_j, pour i∈I, j∈J.

Démonstration.Soientm∈M etn∈N. Par hypothèse,metns’écrivent comme des sommes finies

m=a₁e_i1+· · ·+a_re_ir, n=b₁f_j1+· · ·+b_sf_js,

avec les a_t etb_u dansA. D’après les relations (1) et (2), on a m⊗n=

Xr t=1

Xs j=1

a_tb_ue_it⊗f_ju.

Puisque tout élément deM ⊗_AN est une somme finie d’éléments m⊗n, il en résulte que lese_i⊗f_j engendrent M⊗_AN commeA-module. ¤

Théorème 32.2.4 (Propriété universelle de M⊗_AN, I) Pour toutA- module P, on a une bijection

Hom_A(M ⊗_AN, P)−→^∼= Bil_A(M ×N, P), φ7→B(φ),

où B(φ) est l’application (m, n) 7→ φ(m⊗n). Son inverse est l’application ψ7→T(ψ), oùT(ψ) est l’unique A-morphisme

T(ψ) :M⊗_AN −→P

tel que T(ψ)(m⊗n) =ψ(m, n) pour tout m∈M, n∈N.

En particulier, pour définir une application A-linéaire M⊗_AN →P, il suffit d’avoir une application A-bilinéaire M×N →P.

Démonstration.Montrons d’abord que l’application ψ 7→ T(ψ) est bien définie. Notons π la projection A(M ×N)→M⊗_AN.

Soit ψ ∈ Bil_A(M ×N, P). D’après la propriété universelle du module libreA(M ×N), il existe un unique morphisme de A-modules

ψe:A(M×N)−→P

tel que ψ(ee _m,n) = ψ(m, n), pour tout m ∈ M, n ∈ N. Il faut voir que ψe passe au quotient, c.-à-d., s’annule sur le sous-module K. Comme celui-ci est engendré par les générateurs de type (1) ou (2), il suffit de voir que ψe s’annule sur ces générateurs. Pour ceux de type (1), l’on a :

ψ(ee _am+m⁰_,n−ae_m,n−e_m⁰_,n) =φ(m+m⁰, n)−aψ(m, n)−ψ(m⁰, n) = 0, puisque ψ est A-linéaire en la 1ère variable. De même, la linéarité en la 2ème variable entraîne que ψes’annule sur les générateurs de type (2). Par conséquent, il existe un unique morphisme deA-modules

T(ψ) :M⊗_AN −→P

tel queT(ψ)◦π=ψ. On a alorse

T(ψ)(m⊗n) =ψ(ee _m,n) =ψ(m, n), pour tout(m, n)∈M ×N.

Alors, pour tout φ∈ Hom_A(M ⊗_AN, P), tout ψ ∈Bil_A(M×N, P) et toutm∈M,n∈N, l’on a

T B(φ)(m⊗n) =B(φ)(m, n) =φ(m⊗n) et BT(ψ)(m, n) =T(ψ)(m⊗n) =ψ(m, n).

Ceci montre queT B(φ) =φet BT(ψ) =ψ, pour tout φetψ. Le théorème est démontré.¤

On déduit du théorème, combiné avec la proposition 32.1.4, le corollaire suivant.

Corollaire 32.2.5 (Propriété universelle de M⊗_AN, II) Pour toutA- module P, on a une bijection

Hom_A(M⊗_AN, P)∼=Hom_A(M,Hom_A(N, P)).

32.3 Premières propriétés du produit tensoriel

Proposition 32.3.1 (Commutativité et associativité) Soient M, N, P des A-modules. On a des isomorphismes deA-modules

M⊗N ∼=N ⊗M; (1)

(M ⊗N)⊗P ∼=M⊗(N ⊗P). (2)

Démonstration.1) L’applicationM×N −→N⊗M,(m, n)7→n⊗mest A-bilinéaire donc induit unA-morphisme

σ :M⊗N −→N ⊗M,

tel que σ(m⊗n) = n⊗m pour tout m, n. On obtient de même un A- morphismeτ :N⊗M →M⊗N tel que τ(n⊗m) =m⊗npour toutm, n.

Alors, il est clair que

τ◦σ =id_M⊗N et σ◦τ =id_N⊗M. Ceci prouve le point 1).

2) Pour p∈P fixé, l’application (m, n) 7→m⊗(n⊗p) est A-bilinéaire, donc induit un A-morphisme

θ_p :M ⊗N −→M ⊗(N ⊗P),

tel que θ_p(m⊗n) =m⊗(n⊗p) pour tout m, n. Alors, l’application θ: (M ⊗N)×P −→M⊗(N⊗P),

(m⊗n, p)7→θ_p(m⊗n) =m⊗(n⊗p), est A-bilinéaire, donc induit un morphisme de A-modules

γ : (M⊗N)⊗P −→M ⊗(N ⊗P),

tel queγ((m⊗n)⊗p) =m⊗(n⊗p) pour toutm, n, p. On obtient de façon analogue un morphisme de A-modules

δ :M⊗(N ⊗P)−→(M⊗N)⊗P,

tel que γ(m⊗(n⊗p)) = (m⊗n)⊗ppour tout m, n, p. Il est alors clair que γ etδ sont inverses l’un de l’autre. Ceci prouve la proposition. ¤

Proposition 32.3.2 On a A⊗_AM ∼=M, pour tout A-module M.

Démonstration.D’abord, l’applicationφ:M →A⊗_AM,m7→1⊗m est A-linéaire. D’autre part, l’application

A×M →M, (a, m)7→am

est A-bilinéaire, donc induit une application A-linéaire φ : A⊗_AM → M telle que

φ(a⊗m) =am, ∀a∈A, m∈M.

Alorsφ◦ψ=id_M et, pour touta∈A,m∈M, l’on a ψ(φ(a⊗m)) = 1⊗am=a⊗m, d’oùψ◦φ=id_A⊗AM. Ceci prouve la proposition. ¤

Théorème 32.3.3 (⊗_A est un bifoncteur) Le produit tensoriel est un bi- foncteur, au sens suivant. Tout morphisme deA-modules

f :M →M⁰, resp. g:N →N⁰ induit un morphisme deA-modules

f⊗id_N : M⊗N −→M⁰⊗N, resp. id_M ⊗g : M⊗N −→M⊗N⁰ tel que

(f ⊗id_N)(m⊗n) =f(m)⊗n, resp. (id_M ⊗g)(m⊗n) =m⊗g(n), pour toutm∈M, n∈N.

Ces applications f 7→ f ⊗id_N et g 7→ id_M ⊗g sont fonctorielles, c.-à- d., préservent les morphismes identités et la composition. De plus, on a un diagramme commutatif

M⊗N −−−−→^f⊗idN M⁰⊗N

idM⊗g

 y

 y^idM0⊗g

M⊗N⁰ −−−−−→

f⊗id_N0

M⁰⊗N⁰.

Démonstration. L’application M×N −→ M⁰⊗N, (m, n) 7→ f(m)⊗n estA-bilinéaire donc induit une application A-linéaire

T_N(f) =f⊗id_N :M⊗N −→M⁰⊗N,

telle que T_N(f)(m⊗n) = f(m)⊗n. Au vu de cette formule, il est clair que T_N(id_M) = id_M⊗N et que T_N(f⁰ ◦f) = T_N(f⁰)◦T_N(f), si f⁰ est un morphisme deA-modulesM⁰ →M⁰⁰. Ceci montre que la correspondance

T_N :M 7→M ⊗N

est un foncteur. Par conséquent, le produit tensoriel est fonctoriel en la 1ère variable. L’assertion analogue pour la 2ème variable (i.e., les morphismes g:N →N⁰) se démontre de façon analogue.

Enfin, le diagramme indiqué est commutatif car la composée (id_M⁰ ⊗ g)(f⊗id_N)envoie chaquem⊗nsurf(m)⊗g(n), et il en est de même pour (f⊗id_N⁰)(id_M ⊗g). Ceci prouve le théorème. ¤

Remarque 32.3.4 1) Si f : M → M⁰ est surjective, il en est de même de f ⊗id_N : M ⊗N → M⁰ ⊗N. En effet, si m⁰ = f(m), alors m⁰ ⊗n = (f⊗id_N)(m⊗n), pour tout n∈N.

2)Attention, sif :M →M⁰ est injective,f⊗id_N n’est pas nécessaire- ment injective. Par exemple, soient A=Z=M⁰ =M, soit f le morphisme injectifx7→2x, et soitN =Z/2Z. Alors,f⊗id_N est l’application nulle, car pour tout x∈Z on a

(f⊗id_N)(x⊗¯1) = 2x⊗¯1 =x⊗2¯1 = 0.

D’autre part, d’après la proposition 32.3.2, M⁰⊗_AN s’identifie à N, donc est non nul. Ceci montre que f⊗id_N n’est pas injective.

32.4 Applications multilinéaires et produits tensoriels itérés La notion d’application bilinéaire se généralise comme suit. Soit n un entier ≥2 etM₁, . . . , M_n etP desA-modules.

Définition 32.4.1 Soitφune application d’ensembles M₁× · · · ×M_n→P.

On dit que φ est A-multilinéaire si elle est A-linéaire en chacune des va- riables. On note Mult_A(M₁× · · · ×M_n, P)l’ensemble de ces applications.

Considérons leA-module libre A(M₁× · · · ×M_n), qui est l’ensemble de toutes les sommes formelles finies

X

(m1,...,mn)∈M1×···×Mn

a_(m1,...,mn)e_(m1,...,mn),

avec a_(m1,...,mn) ∈ A et a_(m1,...,mn) = 0 sauf pour un nombre fini d’indices.

Soit K le sous-A-module engendré par les éléments du type suivant, pour i= 1, . . . , n,

e_{(m1,...,ami+m}⁰_i,...,mn)−ae_{(m1,...,mi,...,mn)}−e_(m1,...,m⁰_i,...,mn). Définition 32.4.2 On pose

M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n=A(M₁× · · · ×M_n)/K

et l’on notem₁⊗ · · · ⊗m_n l’image de e_(m1,...,mn) dansM₁⊗_A· · · ⊗_AM_n. On obtient alors, exactement comme au paragraphe 32.2, le théorème suivant.

Théorème 32.4.3 (Propriété universelle de M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n) Pour toutA-module P, on a une bijection

Hom_A(M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n, P)−→^∼= Mult_A(M₁× · · · ×M_n, P), φ7→B(φ), oùB(φ) est l’application(m₁, . . . , m_n)7→φ(m₁⊗ · · · ⊗m_n). Son inverse est l’applicationψ7→T(ψ), oùT(ψ) est l’unique A-morphisme

T(ψ) :M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n−→P tel que T(ψ)(m₁⊗ · · · ⊗m_n) =ψ(m₁, . . . , m_n).

En particulier, pour définir une applicationA-linéaireM₁⊗_A· · ·⊗_AM_n→ P, il suffit d’avoir une application A-multilinéaireM₁× · · · ×M_n→P.

D’autre part, on a le théorème suivant.

Théorème 32.4.4 Pour tout i, on a un isomorphisme

M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n→^∼ (M₁⊗_A· · · ⊗_AM_i)⊗_A(M_i+1⊗_A· · · ⊗M_n).

Démonstration.PosonsM =M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n. L’application (m₁, . . . , m_n)7→(m₁⊗ · · · ⊗m_i)⊗(m_i+1⊗ · · · ⊗m_n) estA-multilinéaire, donc induit une applicationA-linéaire

φ:M →(M₁⊗_A· · · ⊗_AM_i)⊗_A(M_i+1⊗_A· · · ⊗_AM_n)

telle que

φ(m₁⊗ · · · ⊗m_n) = (m₁⊗ · · · ⊗m_i)⊗(m_i+1⊗ · · · ⊗m_n).

Construisons l’application inverse. Pourm₁, . . . , m_i fixés, l’application (m_i+1, . . . , m_n)7→m₁⊗ · · · ⊗m_n

est A-multilinéaire donc induit

τ(m₁, . . . , m_i)∈Hom_A(M_i+1⊗_A· · · ⊗_AM_n, M) tel que

τ(m₁, . . . , m_i)(m_i+1⊗ · · · ⊗m_n) =m₁⊗ · · · ⊗m_n.

On voit de plus que l’application (m₁, . . . , m_i) 7→ τ(m₁, . . . , m_i) est A- multilinéaire. Donc il existe

τ ∈Hom_A(M₁⊗_A· · · ⊗_AM_i,Hom_A(M_i+1⊗_A· · · ⊗_AM_n, M)) tel que τ(m₁ ⊗ · · · ⊗m_i)(m_i+1 ⊗ · · · ⊗m_n) = m₁⊗ · · · ⊗m_n. D’après la propriété universelle du produit tensoriel (Corollaire 32.2.4), τ correspond à l’applicationA-linéaire

ψ: (M₁⊗_A· · · ⊗_AM_i)⊗_A(M_i+1⊗_A· · · ⊗_AM_n)→M

qui envoie(m₁⊗ · · · ⊗m_i)⊗(m_i+1⊗ · · · ⊗m_n)surm₁⊗ · · · ⊗m_n. Il est alors clair que φetψ sont inverses l’une de l’autre. Le théorème est démontré.¤ Corollaire et notation 32.4.5 Il résulte du théorème que tous les modules obtenus à partir de M₁, . . . , M_n en ajoutant des parenthèses pour former des produits tensoriels de deux modules, sont canoniquement isomorphes à M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n, par l’application qui consiste à “omettre les parenthèses”.

Par exemple, on a

(M₁⊗M₂)⊗(M₃⊗M₄)∼= (M₁⊗M₂⊗M₃⊗M₄)∼= (M₁⊗(M₂⊗(M₃⊗M₄)) via

(m₁⊗m₂)⊗(m₃⊗m₄) =m₁⊗m₂⊗m₃⊗m₄ = (m₁⊗(m₂⊗(m₃⊗m₄)).

Par conséquent, dans la suite, on omettra les parenthèses dans les produits tensoriels de plus de deux modules.

Signalons enfin la proposition suivante, qui résulte de l’identification pré- cédente et de la proposition 32.2.3, ou bien se démontre directement, comme la proposition 32.2.3.

Proposition 32.4.6 Pour r= 1, . . . , n, soit (e_i)_i∈Ir un système de généra- teurs de M_r commeA-module. Alors M₁⊗_A· · · ⊗_AM_n est engendré comme A-module par les élémentse_i1⊗ · · · ⊗e_in, avec i_r ∈I_r.

32.5 Produits tensoriels d’algèbres et produits de variétés Soitkun corps. Commençons par montrer que le produit tensoriel⊗_ka la propriété proposée comme motivation en 32.0, c.-à-d., que le produit tensoriel de deux algèbres de polynômes est une algèbre de polynômes. Soient m, n des entiers≥1etX₁, . . . , X_m etY₁, . . . , Y_n des indéterminées. Pour abréger, on note

k[X] :=k[X₁, . . . , X_m], k[Y] :=k[Y₁, . . . , Y_n] k[X, Y] :=k[X₁, . . . , X_m, Y₁, . . . , Y_n]

et l’on désignera parP(X), resp.Q(Y), un élément arbitraire dek[X], resp.

k[Y]. La multiplication définit une applicationk-bilinéaire k[X]×k[Y]→k[X, Y], (P, Q)7→P(X)Q(Y).

D’après la propriété universelle du produit tensoriel, ceci induit donc une applicationk-linéaire

φ:k[X]⊗_kk[Y]→k[X, Y]

telle queφ(P ⊗Q) =P(X)Q(Y), pour tout P ∈k[X],Q∈k[Y].

Pour µ= (µ₁, . . . , µ_m)∈N^m, on pose X^µ:=X₁^µ1· · ·X_m^µm,

et l’on définit de même Y^ν, pourν ∈Nⁿ. Alors les monômes X^µ, resp.Y^ν, resp.X^µY^ν forment une base dek[X], resp. k[Y], resp. k[X, Y].

D’après la proposition 32.2.3, les éléments X^µ⊗Y^ν engendrent k[X]⊗ k[Y] comme k-espace vectoriel. D’autre part, comme leurs images par φ sont les produits X^µY^ν, qui forment une base de k[X, Y], on en déduit la proposition suivante :

Proposition 32.5.1 Les X^µ⊗Y^ν forment une base de k[X]⊗k[Y], et φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels

k[X]⊗k[Y]→^∼ k[X, Y].

Définition et proposition 32.5.2 SoitA un anneau et B, C deuxA-algè- bres. Il existe sur le A-module B ⊗_AC une unique structure de A-algèbre telle que

(∗) (b⊗c)·(b⁰⊗c⁰) =bb⁰⊗cc⁰.

LaA-algèbre B⊗_AC s’appelle le produit tensoriel des A-algèbres B etC.

Démonstration.L’application B×C×B×C →B⊗_AC,(b, c, b⁰, c⁰)7→

bb⁰⊗cc⁰ est A-multilinéaire donc induit une application A-linéaire τ :B⊗_AC⊗_AB⊗_AC→B⊗_AC telle que

τ(b⊗c⊗b⁰⊗c⁰) =bb⁰⊗cc⁰.

Comme B⊗_AC⊗_AB⊗_AC= (B⊗_AC)⊗_A(B⊗_AC),τ correspond à une application de multiplication A-bilinéaire

(B⊗_AC)×(B⊗_AC)→B⊗_AC

telle que (b⊗c)·(b⁰ ⊗c⁰) = bb⁰ ⊗cc⁰. La commutativité et l’associativité sont alors immédiates pour les éléments de la forme b⊗c, et comme ces élé- ments engendrentB⊗_ACcommeA-module, on obtient que la multiplication est commutative et associative, et qu’elle est uniquement déterminée par la formule (∗). La proposition est démontrée.¤

Corollaire 32.5.3 L’isomorphismek[X]⊗k[Y]→^∼ k[X, Y]de la proposition 32.5.1 est un isomorphisme d’algèbres.

Démonstration.Laissée au lecteur !¤

Pour établir la proposition 32.5.1, on a montré que lesX^µ⊗Y^ν forment une base de k[X]⊗k[Y], en montrant que leurs images dans k[X, Y] sont linéairement indépendantes. Ceci est en fait un cas particulier du résultat général ci-dessous.

Théorème 32.5.4 Soient A un anneau, I, J deux ensembles, et M resp.

N le A-module libre de base (e_i)_i∈I, resp. (f_j)_j∈J. Alors M ⊗_AN est un A-module libre de base(e_i⊗f_j)_(i,j)∈I×J.

Démonstration. Ce théorème n’est pas facile à établir en partant direc- tement de la définition du produit tensoriel, mais il découle facilement des propriétés universelles du produit tensoriel et des modules libres.

SoitV =A(I×J) unA-module libre de base {v(i, j)}_(i,j)∈I×J. Il existe une unique application A-linéaire φ:V →M⊗_AN telle que

(1) φ(v(i, j)) =e_i⊗f_j, ∀i∈I, j∈J.

D’autre part, il existe une unique application A-bilinéaire θ :M×N → V telle que

θ(e_i, f_j) =v(i, j), ∀i∈I, j∈J;

explicitement, pour tout couplex =P

ia_ie_i,y=P

jb_jf_j, les deux sommes étant finies, on a

θ(x, y) =X

i,j

a_ib_jv(i, j).

Par conséquent, d’après la propriété universelle 32.2.4, il existe une unique applicationA-linéaireψ:M⊗_AN →V telle que

(2) ψ(e_i⊗f_j) =v(i, j), ∀i∈I, j∈J.

Comme les v(i, j), resp. e_i⊗f_j, engendrentV, resp. M⊗_AN, il résulte de (1) et (2) queψ◦φ=id etφ◦ψ=id. Donc φetψsont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre. Le théorème est démontré.¤

On va généraliser le corollaire 32.5.3 comme suit. Soit V, resp. W, une sous-variété algébrique fermée de k^m, resp. kⁿ, définie par des polynômes P₁, . . . , P_r∈k[X], resp. Q₁, . . . , Q_s∈k[Y].

Notons que k[X] et k[Y] sont de façon naturelle des sous-algèbres de k[X, Y]. Par exemple, si P ∈k[X] et si z= (x, y) est un élément dek^m+n, alorsP(z) =P(x). On a alors le lemme suivant.

Lemme 32.5.5 V ×W est une sous-variété algébrique fermée de k^m+n, définie par les polynômes P₁, . . . , P_r, Q₁, . . . , Q_s.

Démonstration. Il est clair que ces polynômes s’annulent sur V ×W. Réciproquement, soitz= (x, y) un point de k^m+n sur lequel ces polynômes s’annulent. Alors0 =P_i(z) =P_i(x), pouri= 1, . . . , r, et ceci entraînex∈V. On obtient de même quey∈W. Ceci prouve le lemme.¤

Posons I = I(V), J = I(W), et K = (V × W). Alors k[V ×W] = k[X, Y]/K. Observons queK∩k[X] =I; en effet, si P ∈k[X]s’annule sur V×W, alors pour toutx∈V, y∈W, on a0 =P(x, y) =P(x), et doncP ∈ I. Par conséquent, l’inclusion naturelle k[X] ⊂ k[X, Y] permet d’identifier k[V]à une sous-algèbre de k[V ×W]: si f ∈k[V]et(v, w)∈V ×W, alors f(v, w) =f(v). De même,k[W]s’identifie à une sous-algèbre dek[V ×W].

Alors, la multiplication

k[V]×k[W]→k[V ×W], (f, g)7→f g, estk-bilinéaire, donc induit une applicationk-linéaire

φ:k[V]⊗_kk[W]→k[V ×W]

telle que φ(f⊗g) =f g, pour toutf, g. Alors,

φ((f⊗g)·(f⁰⊗g⁰)) =φ(f f⁰⊗gg⁰) =f f⁰gg⁰ =f gf⁰g⁰=φ(f⊗g)φ(f⁰⊗g⁰), et comme les tenseursf⊗gengendrentk[V]⊗_kk[W]commek-espace vecto- riel, on en déduit queφest un morphisme d’algèbres. De plus,φest surjectif puisque k[V ×W]est engendré par les images des monômes X^µY^ν.

Théorème 32.5.6 φ est un isomorphisme dek-algèbres k[V]⊗_kk[W]→^∼ k[V ×W].

Démonstration.D’après ce qui a déjà été dit, il suffit de montrer que φ est injectif. Soit α∈Kerφ.

Soit {e_i}_i∈B, resp. {f_j}_j∈C une base de k[V], resp. k[W]. Comme les e_i⊗f_j forment une base de k[V]⊗k[W], alors α peut s’écrire comme une somme finie

α=X

i

e_i⊗ψ_i, avec ψ_i ∈k[W].

(On écrit x=P

i,ja_ije_i⊗f_j etψ_i =P

ja_ijf_j). Fixonsw₀ ∈W. Pour tout v∈V, on a

0 =α(v, w₀) =X

i

e_i(v)ψ_i(w₀), et donc l’élément P

iψ_i(w₀)e_i est identiquement nul sur V. Comme les e_i sont linéairement indépendants dans k[V], ceci impliqueψ_i(w₀). Comme w₀ était arbitraire dans W, ceci montre queψ_i = 0pour touti, et doncα= 0.

Ceci montre queφ est injectif. Le théorème est démontré.¤ 32.6 Produits et sommes directes

Le but de ce paragraphe est d’introduire la notion de somme directe arbitraire (c.-à-d., pour un ensemble d’indices infini) et de montrer que le produit tensoriel “commute aux sommes directes” (Théorème 32.6.9). Ce résultat n’est pas utilisé dans les Sections 33 et 34. Ce paragraphe peut donc être omis en première lecture. (Seul le corollaire 32.6.8 est utilisé à la fin du chapitre, lors de la construction des algèbres symétriques et extérieures.)

SoitAun anneau commutatif et soitI un ensemble quelconque. On sup- pose donné unA-module M_i, pour tout i∈I. On veut définir unA-module appelé la somme directe des M_i. Pour ceci, il est commode d’introduire d’abord le module produit desM_i.

Définition 32.6.1 LeproduitdesM_i est leA-module, notéQ

i∈IM_i, dont les éléments sont les familles (m_i)_i∈I telles que m_i ∈ M_i pour tout i ∈ I.

La structure de groupe abélien et de A-module est définie composante par composante, c.-à-d.,

(m_i)_i∈I+a(m⁰_i)_i∈I= (m_i+am⁰_i)_i∈I. Définition 32.6.2 Lasomme directedesM_i, notéeL

i∈IM_i, est le sous- A-module deQ

i∈IM_i formé des familles qui sont nulles presque partout, c.- à-d., les familles(m_i)_i∈Itelles quem_i = 0sauf pour un nombre fini d’indices.

Il est clair que ceci est bien un sous-A-module.

Remarque 32.6.3 Si l’ensemble I est fini, on voit que M

i∈I

M_i =Y

i∈I

M_i (I fini).

SiI a néléments i₁, . . . , i_non écrira aussi M

i∈I

M_i =M_i1 ⊕ · · · ⊕M_in.

Définition 32.6.4 Pour tout i, soit

π_i:Y

j∈I

M_j −→M_i

la projection sur lai-ème composante et soit

τ_i:M_i −→M

j∈I

M_j

l’insertion à lai-ème place, c.-à-d., pour tout m ∈ M_i, τ_i(m) est la famille (m_j)_j∈J telle quem_i=metm_j = 0 sij6=i.

De plus, désignons parσ l’inclusionL

j∈IM_j ⊆Q

j∈IM_j et posonsp_i = π_i◦σ : c’est la projection deL

j∈IM_j surM_i.

Proposition 32.6.5 π_i et τ_i sont des morphismes de A-modules. De plus, on a

π_j ◦σ◦τ_i =

½ id_Mi sij=i;

0 sinon.

En particulier,τ_i est injectif etπ_i◦σ et π_i sont surjectifs.

Démonstration.C’est clair.¤

Théorème 32.6.6 (Propriété universelle de la somme directe, et du produit)

SoitN un A-module.

1) Pour avoir un morphisme φ : L

i∈IM_i → N, il suffit d’avoir un mor- phisme φ_i:M_i →N pour touti. De façon plus précise, l’application

α:Y

i∈I

Hom_A(M_i, N)−→Hom_A ÃM

i∈I

M_i, N

!

, (φ_i)_i∈I7→M

i∈I

φ_i

est une bijection, dont l’inverse β est donnée par β(φ) = (φ◦τ_i)_i∈I. De plus, si chaque φ_i est surjectif,

2) Pour avoir un morphisme ψ : N → Q

i∈IM_i, il suffit d’avoir un mor- phisme ψ_i:N →M_i pour touti. De façon plus précise, l’application

γ :Y

i∈I

Hom_A(N, M_i)−→Hom_A Ã

N,Y

i∈I

M_i

!

, (ψ_i)_i∈I 7→Y

i∈I

ψ_i

est une bijection, dont l’inverse δ est donnée par δ(ψ) = (π_i◦φ)_i∈I.

Démonstration.Il est clair que l’application β :φ7→ (φ◦τ_i)_i∈I est bien définie. D’autre part, étant donné une familleφ= (φ_i)_i∈I, on définit

α(φ) =M

i∈I

φ_i par la formule suivante : pour tout m=P

i∈Im_i, (M

i∈I

φ_i)(m) =X

i∈I

φ_i(m_i) =X

i∈I

φ_iπ_i(m).

Ceci fait sens, car seul un nombre fini dem_i sont6= 0et donc on peut former dans N la somme finie P

i∈Iφ_i(m_i). Ayant ainsi vu que α est bien définie, on obtient pour toutφet tout m:

(α◦β)(φ)(m) =α((φτ_i)_i∈I) (m) =X

i∈I

φτ_iπ_i(m) =X

i∈I

φ(m_i) =φ(m).

Ceci prouve que α◦β(φ) =φpour toutφ.

Réciproquement, si φ = (φ_j)_j∈J alors, pour tout i ∈ I, la i-ème com- posante de la famille (β ◦α)(φ) est l’application de M_i vers N qui à tout m∈M_i associe :

(∗) (α(φ)◦τ_i)(m) =X

j∈I

φ_jπ_j(τ_i(m)) =φ_i(m),

où dans la dernière égalité l’on a utilisé la proposition précédente. Alors, (∗) montre que (β◦α)(φ) = φpour toute famille φ= (φ_j)_j∈J. Ceci prouve l’assertion (1).

La preuve de l’assertion (2) est analogue (en fait, plus facile), et est laissée au lecteur.¤

Le théorème ci-dessous et son corollaire seront utilisés à la fin de ce chapitre, dans la construction de l’algèbre symétrique ou extérieure d’un A-module.

Considérons, pour tout i∈I, un morphisme deA-modules f_i:M_i →M_i⁰,

et définissonsτ_i⁰ :M_i⁰ →L

j∈IM_j⁰ comme précédemment.

Théorème 32.6.7 1) Les morphismes τ_i⁰◦f_i induisent un morphisme M

i∈I

M_i −→M

i∈I

M_i⁰, noté L

i∈If_i. De plus, ce morphisme est surjectif (resp. injectif) si chacun des f_i l’est.

2) Les morphismes f_i◦π_i induisent un morphisme Y

i∈I

M_i −→Y

i∈I

M_i⁰, noté Q

i∈If_i. De plus, ce morphisme est injectif (resp. surjectif) si chacun des f_i l’est.

Démonstration. Dans les deux cas, l’existence du morphisme résulte du théorème précédent.

Supposons que chaquef_i soit injectif, et soitm= (m_i)_i∈I un élément de kerQ

i∈If_i. Alors

0 = ÃY

i∈I

f_i

!

(m) = (f_i(m_i))_i∈I.

Comme chaque f_i est supposé injectif, on obtient m_i = 0 pour tout i, et donc m = 0. Ceci montre que Q

i∈If_i est injectif, et l’on obtient de même que L

i∈If_i l’est aussi.

Supposons maintenant chaquef_isurjectif. CommeL

i∈IM_i est engendré par ses sous-modules M_i, pour montrer que L

i∈If_i est surjectif il suffit de voir que chaque M_i est contenu dans l’image de L

i∈If_i. Or ceci est clair puisque chaque f_i est surjectif.

Montrons que f := Q

i∈If_i est surjectif. Soit m⁰ = (m⁰_i)_i∈I un élément du produit desM_i⁰. Comme chaquef_i est surjectif, il existe pour chaqueiun élément m_i ∈M_i tel quef_i(m_i) = m⁰_i. (Ici, on a utilisé l’axiome du choix.) Alors (m_i)_i∈I est un élément du produit des M_i qui s’envoie parf sur m⁰. Ceci prouve que f est surjective. Le théorème est démontré.¤

Le point 1) du corollaire ci-dessous est déjà contenu dans le théorème précédent, mais on le répète en raison de son importance.

Corollaire 32.6.8 Pour tout i∈I, soit N_i un sous-module deM_i. Alors, 1) L

i∈IN_i est un sous-module deL

i∈IM_i, et 2)

L

i∈IM_i L

i∈IN_i ∼=M

i∈I

M_i N_i.

Démonstration.1) D’après le théorème précédent, les inclusionsN_i ⊆M_i induisent un morphisme injectif

η:M

i∈I

N_i ,→M

i∈I

M_i, qui permet d’identifierL

i∈IN_i au sous-module : {(m_i)_i∈I∈M

i∈I

M_i | ∀i∈I, m_i ∈N_i}.

2) Pour touti∈I, notons π_i la projectionπ_i :M_i →M_i/N_i. D’après le théorème précédent, les π_i induisent un morphisme surjectif

π :M

i∈I

M_i −→M

i∈I

M_i/N_i.

Le noyau de π est formé des familles presque partout nulles m = (m_i)_i∈I telles que

0 =π(m) = (π_i(m_i))_i∈I. Par conséquent, kerπ = L

i∈IN_i. Le corollaire découle alors du Théorème fondamental d’isomorphisme. ¤

Théorème 32.6.9 (⊗ commute aux sommes directes) SoientN etM_i, i∈I, des A-modules. On a un isomorphisme deA-modules :

ÃM

i∈I

M_i

!

⊗N ∼=M

i∈I

(M_i⊗N) Démonstration. Posons S = L

i∈IM_i et notons τ_i l’inclusion M_i → S, pour touti.

D’après le théorème 32.3.3, chaqueτ_i induit unA-morphisme τ_i⊗id_N :M_i⊗N −→S⊗N,

qui envoie chaquem_i⊗nsurτ_i(m_i)⊗n. D’après la propriété universelle de la somme directe, ces morphismes induisent un morphisme deA-modules

ψ:M

i∈I

M_i⊗N −→S⊗N, tel queψ(P

i∈Im_i⊗n) = (P

i∈Iτ_i(m_i))⊗n.

D’autre part, tout élément deSs’écrit de façon unique comme une somme finieP

i∈Iτ_i(m_i), avecm_i ∈M_ietm_i = 0sauf pour un nombre fini d’indices, et l’application

S×N −→M

i∈I

M_i⊗N,

ÃX

i∈I

τ_i(m_i), n

! 7→X

i∈I

m_i⊗n,

est bien définie etA-bilinéaire, donc induit un morphisme de A-modules φ:S⊗N −→M

i∈I

M_i⊗N, tel queφ((P

i∈Iτ_i(m_i))⊗n) =P

i∈Im_i⊗n. Il est alors clair queφetψsont inverses l’un de l’autre. Ceci prouve le théorème.¤

Remarque 32.6.10 On retrouve ainsi le fait que le produit tensoriel de A-modules libres A(I)etA(J) est leA-module libreA(I×J). En effet,

A(I) =M

i∈I

M_i, A(J) =M

j∈J

N_j,

oùM_i=A=N_j pour touti, j. D’après le théorème précédent et le fait que A⊗_AA=A, on obtient que

A(I)⊗_AA(J)∼=M

I×J

A=A(I×J).