Inferring Positional Homologs with Common Intervals of Sequences

HAL Id: hal-00620367

https://hal-upec-upem.archives-ouvertes.fr/hal-00620367

Submitted on 4 Oct 2011

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Sequences

Guillaume Blin, Annie Chateau, Cedric Chauve, Yannick Gingras

To cite this version:

Guillaume Blin, Annie Chateau, Cedric Chauve, Yannick Gingras. Inferring Positional Homologs with

Common Intervals of Sequences. 4th Annual RECOMB Satellite Workshop on Comparative Genomics

(RECOMB-CG’06), Sep 2006, Montreal, Canada. pp.24-38. �hal-00620367�

?

1

!

2 , 3

"#$ %

2 , 3 , 4

&

$' (#)

3

1

*+,-./0*123- 4,5 6758 9:;<=41>?@AB>CD ,/A1@-E/-F/EED@

G

0HIJ@BK/AC@BLL;

G

; ,/A1@-E/-F/EED@ 6@H@M N=OA/1K@

PQRSTUVTSWXYRWZ [\

2

./6*,=41>?@AB>CD H] ^]D0@K _ ,31CAD/E

6` 9999=8]KKI6@1CA@-F>EE@=ab6 b`9=,31CAD/E c^6d=6/1/H/

e

fghijhVkfghVWjlURhfSYZVmhYZfh

3

6+.=41>?@AB>CD H] ^]D0@K_ ,31CAD/E

nPSTP

\

hoUnPSTP

\

hoZTji

4

J@p/ACq@1C32 ,/Cr@q/C>KB=8>q31 O A/B@A41>?@AB>Cs

999941>?@AB>Cs JA>?@=F Gt u

8v=w]A1/0s c w6d=6/1/H/

xyz{|}~{

*12@AA>1€ 3ACr3E3€3]B /1H p/A/E3€3]B €@1@B>B /1 >qp3AC/1C

pA30E@q >1 r3E@ €@13q@B K3qp/A>B31B= 03Cr 23A 2]1KC>31/E 3A @?3E]-

C>31/As BC]H>@BI*1 Cr>Bp/p@A=@ >1CA3H]K@ /1@ /ppA3/Kr 23A>12@AA>1€

K/1H>H/C@ p/>AB 32 3ACr3E3€3]B €@1@B 0@C@@1 €@13q@B= /EB3 K/EE@H p3-

B>C>31/E r3q3E3€B= 0/B@H 31 Cr@ K31B@A?/C>31 32 Cr@ €@13q>K K31C@MCI

‚

@ K31B>H@A €@13q@B A@pA@B@1C@H 0s Cr@>A €@1@ 3AH@A ƒ >I@I B@„]@1K@B

32 B>€1@H >1C@€@ABƒ /1H K3qq31 >1C@A?/EB32 Cr@B@ B@„]@1K@B /BCr@ /1-

Kr3AB32Cr@…1/E€@1@q/CKr>1€I

‚

@Br3 Cr/CCr@1/C]A/EK3q0>1/C3A>/E

pA30E@q32K3qp]C>1€/q/M>q/EK3?@A32Cr@C3€@13q@B]B>1€Cr@q>1-

>q]q 1]q0@A32 K3qq31 >1C@A?/EB>B †‡-K3qpE@C@/1H @ €>?@ /B>qpE@

r@]A>BC>K 23ACr>BpA30E@qI

‚

@>EE]BCA/C@Cr@@ˆ@KC>?@1@BB32Cr>B…ABC/p-

pA3/Kr]B>1€K3qq31>1C@A?/EB32B@„]@1K@B31C3H/C/B@CB=A@Bp@KC>?@Es

9

γ

^-pA3C@30/KC@A>/E€@13q@B/1H Cr@ r]q/1 /1H q3]B@ r3E@ €@13q@BI

‰ Š‹ŒŽ‘Œ’Ž‹

“! $”•#)””–!—”(”)

˜#)!!#!)')!”$”•#! )™$)

”–! #() š$”!")”#”›$")œ”#"#!” "!– ”””(”)()

! ! # •#) ”– () — ”) )™$ )#! ) )!#”( ”( !” )(()!

$”” $)!# (ž Ÿ”—%#

" !” ! %”!”# $ )) ! !

) • (”)   ###(!)

"•$!”)

¡

”! ”– (”$ )(!) ”# ”–

— ” (”)

(”)))”# !# !#)–#)  ”””(”)#!”) # ”–!

¡

(”)""” ”!"$$#”›!”›”#!”) •)

¡

!—()”–!

!—” (”) ¢£

¤

ž“)!"

”›!#%(–)

”$$##( )%#•”)!”)

” ”#

¡

”! (”)

' "¥$! !” ")!() •#)”–”#! ””(”)()ž

¦%#! ”") %

¡

•#”•”)"! !)! (”$$”!§!!” ")!()

?

^{‚3A¨B]pp3AC@H 0s €A/1CB2A3q +D13q@ ^]D0@K=78©56/1H 633pDA/C>31 O A/1K3-}

•#) ”– ()

$"

! ! # (””" $""!) !”

¡ •#)

”– ”#! ””(”) () ¢£¤ž “ ! ) ••# — ")$#

¡

— ••#”$ )( !

(”$ $”!§!

¡

)" ” ! ”!” ”– ž

# # !—” ••#”$ ) –”# –##( •”)!” ”””() )( !

(”$$”!§!ž“! ••#”$

!#”"$"

¡

¦'” ¢ ¤

–”#%#

”›!#% (–

¡

!”$”• $ (”#"!"ž •#”–

()! !)$”)#%"–”#$ –)$" •#”–

ž

••#”$ ) ”#(# )! ”—) !” $”)#%”# ! ”

$”•”–(–")')–”#

¡

(”)”›!”›”!$ (

¡

!—

! ) $”•) ¢¤ž”! ••#”$ ) % $”” ! ! !  " !” #•#)!

! !—” $”•#" (”)

¡

!—” •#!!”)ž ) •#!!”) $ !

¡

)" )%# $”!§!) $”•!( (”$ ")!$ ¢¤

• ”(!$

#$”)!#$!” ¢¤ ”# •#”•”)( $""!•#) ”– ”#! ””(”) () ¢

¤ž

“

¡

”! –) ”– ! ”")   §•# " ( !$ (  

)%# $”›

¡

!”# $#!# %

¡

$”)"#" ”#"# !” $#

¡

(”) ”””(

#!”)

¡

!— () ”– ! ) –ž

$))$ ••#”$ ) !” !# !”

˜" ! #)!( •# ”– •#!!”) ! ! — (% (”$ ")›

!$

¡

!— !

'! #%#) ")!$ ¢

¤”#! #%#)"

!#)”$!”")!$ ¢

¤

ž

”! # ••#”$ ””')–”#! •#”–•#!!”)

! ! §) ! $”)#%!” ”– )” $”

¡

!”# )!#$!#) ! !—”

#)!(•#!!”)

'" $$) ¢ ¤”#$””!#%)”–•#!!”)

¢¤ž Ÿ”—%#

! ) •”#!! !” ”! ! !

• !” "!

! ) •#”

¡

) %

¡

) ”— !”

¡

› #" ¢

! ¤

“ ! •#)! —”#'

— # !#)!" $”•!( ( !$ ( —!

! ”" ! ! ) )•#"

¡

 (”#! ) –”# (”

¡

(! ”– ”( (”$

)™$)ž“""

(% !—”(”)#•#)!"

¡

!—” )™$)”–!(#) 

— #$ !(#

¡

) (–   ( !$ ( )”! ( )!

(”

¡

(!”–! )!—” )™$)žŸ#—•#”•”)!” )! ”$$##$)

”– $”” !#%) ”– ! ) !—” )™$)

— $ # )(!) %( !

) ( $”!! —! ” $”)!#! ” ( ”#"# ”# !•$!

)

–”#! ˜ (!$ (ž — #$#)%!$ $””!#%)

)(

)• #)!$ –”# ! "#$#%&% '$()*($+#,-( ./) 0/1(2#$3 •#”

¡  

— $ ) › #"•#”

¡

š )

••"§œ  !•”))

¡

•#)”–•”)!”

”””() %

¡

$ ”)žŸ$

””–! ”#(! ”– ”# ! ”" ) ! !

! "”) ”! !# !” $”•!! •# ”– •#!!”)! ! ) ”•! –”# (%

$”

¡

!”# $#!#”

¡

! # ” (#" ••#”$ ”– #$#)% !$ (

(”$ )(!) %( $”” $”

¡

!”# )!#$!#ž

4# ! ”" $

¡

) ) §!)” ”– •#%”) ( !$ ( ›

(”#!

! ! !#!% !$ ) ”()! $”” )

¡

)!#() š5¦œ ”– ! !—”

(”)  )$ 5¦#•#)!(•#–$!$”#)(!)”–()  ¢

¤

¡

!

)())$”)!#"”!””–$”)#%")!#$!#

¡

!—(”) š$””

!#%)%)ž5¦œž””!#%)”–)™$)#!#)!(—! #)•$!!”

5¦–”#!—” #)”)ž6 #” !

¡

””($•”!”–%—

! #”#"•!"!”

"!$! )™$)”– () ! ! %”%"–#” $”” $)!# )™$—!

%!)')(!”#!" "•$!”) ”#”$###(!)ž6 #” !

(”#! $ •”! ”– %—

! )! ”– $”” !#%) ”– !—” )™$)

$

¡

$”•!" ™"#!$ ! ¢¤ž ”! ”—%# ! ! ( "!”) ”#

)#!”)

! ! # !# %”!”# %!)

$ ")!#” $”” !#%)

" — ")$))! ) )) ¦$!” ž

“ ¦$!”

— ")$#

¡

•#$)”#! ”"!” $”•! (!$ (ž

“ ¦$!”

— •#)! !—” §•#! )!") ”– ”# ! ”"ž ˜#)! $”›

)"#

£

(”) ”–

γ

^{›•#”!”¡$!#" —$”•#! #)!)”–”# ! ”"}

—! ! 5¦ ! ”" ”– ¢¤

! ) §•#! #)) !#)!( –$!)

¡

”! !

•#”•#!)”–! )!—””!”)”–$”)#%")!#$!#)! $”•#)””–”#

! !—” (”)ž §!

— $”)"# ! " ”) (”) " —

$”•# ”# #)!) —! ! #)!) ”

¡

!" —! ! ¦4

! ”" ! !

!#) !” ˜" ! ”)! •#)””) •#) ”– •#!!”) –”# ! #%#)) "

!#)”$!”) ")!$ ¢¤ž “ ¦$!”

— ")$#

¡

)%# —) !” •#”%

”# ! ••#”$ ž

‹ ŒŽ

¡

!— !—” )™$) ”– !(#)

s ¹

^"

s ²

^{— # $ ”– ! )}

!(#) #•#)!) – ”– (!$ #'#)   () #  

) ”›!”›”

••(

¡

!— )

¡

)! ”– ! ˜#)! )™$ " )

¡

)! ”– ! )$”" )›

™$

)$ ! ! •#) ”– ••" #'#)

¡

”( !” ! ) – ¢¤ž “

! ! ”" — •#”•”)

— $”•! !$ ( –”# )!•)ž 6#)!

—

"˜ $""! $ ”#)–”#! (!

¡

!— ! (”) )( $””

!#%) ”– )™$)ž

¡

# #$ ! §! •#(#• )” "˜!”)

" •#”•#!)”–$””!#%)”–)™$)ž

—§$"$ ”#)! !

"” ”! §

¡

! ”( )!#$!# !” •#”"$ $$#! !$ (

)( )”

#)”

¡

)$!” $#!#ž 6 — §!#$! –#” ! #( $ ”#)

$”))!! )

¡ )!

" •• ! ! ”" #$#)% $ $ ”#

! —

#–! ” —! $ ”#)$”!( #'#) ”– )( –

! — !$

#'#) ! )

¡

”§)ž ˜ #)! ) !$ (

¡

!— ! !—” $”)"›

#" )™$) ! ! ")$#

¡

”›!”›” $”##)•”"$)

¡

!— ! () ”–

! !—” $”##)•”"( (”)ž

% )™$ ”– !(#)

A

^{#•#)!( (” ! • ¡!}

Σ

^{”– !)}

($”!!

" )

¡ )!

S

^”–

Σ

^{— "˜ ”–}

S

A

^{) )¡)!#(}

”–

A

^{! ! ) —”#" ”}

S

^{ž Ÿ$ –#” (”$ •”! ”– %— ”$!” ”–}

S

A

^{#•#)!) $”!(”) #(”}

A

^{—! ( $”!! §$!}

S

^ž

”$!” ) – ! ) )

¡

)!#( $”!

¡

§!"" ” ! #( ! ”# ” !

–!

( ! ! ! $”!(”)$ #$!#)#”!

S

^{ž ¡!— !—”}

(”) ) )

¡ )! ”–

Σ

^{— $ ) ! )! ” ”$!” $ (”ž ”!}

! ! –”# (% –$!”# ! # $ )%# ”$!”) ! ) (”ž

“ ! –””—(

— #–# !” )! ”– !—” § ”$!”)

”

$ (”

–”# –$!”#

S

^{! ! ) $" ! ”– ! ¡”§ž ¡”§ )}

)" !”

¡

– !) •

¡

! ) $#"!

1

^{ž #•#)! ¡”§ ¡ !}

™"#•!”–! $””#"!) ”–! !—” $”##)•”"( ”$!”)ž

§•

S = {7, 8, 9, 10, 11}

^{) –$!”# ¡!—}

A

^"

B

^{—! ””$!”}

A

^{" !—”}

B

^{— $ (%) !—” ¡”§)–”#}

S

(5, 10, 4, 8)

^"

(5, 10, 12, 16)

^ž

A

B

˜#)! )!• ”– ”# ! ”" $”))!) ! $”•!!” ”– !

¡

Ӥ)

¡

!— ! !—” $”)"#" (”)

! ! — ) ) !

¡

)$ )!#$!#) !”

"˜ ! ˜ !$ (ž” $”•! ! )! ”– •”))

¡

¡

Ӥ)

— ) !

™"#!$›! (”#! ”– ¦$ "! " ¦!” ¢

¤

ž

4# §•#!) —! ! 5¦ ! ”" ) ”—" ! ! )(˜$!

¡

# ”–

–)•”)!%)!$ "(•#)š#”( )•'(

•#)”–!$ "()! !

$”!!—” "#!()$$”#"(!”()! •#”!"!

¡ )

)

¦$!” –”#”#"!)œ—)#”%"— 5¦”–) ”#!(! —#")$#""

–#” ! ))ž ) )(()!) ! ! )

¡

)™$) ”– ! !—” (”) ! ! "”

”! §

¡

! )!#”( $”” $”

¡

!”# )!#$!# š # )#" !#)

”– ! (! ”– ! 5¦œ # ”# ' !” •#”"$ —#”( •#) ”– !$ "

()ž

) ) —  — "$"" !” !#”"$ )# –!# ”# ! ”"

! !

")$#") •!!%$ ”#)

#

¡

Ӥ)

! ! "” ”!§

¡

! ”( $”

¡

!”#

)!#$!#ž 6”# 5¦

! !# •#!# ! ! "˜) )$ )!#$!# ) !

(!

" !” ! $”)#%!” ”– ! ”#"# 5¦ž Ÿ”—%# ! ) ) ”! !

$)—!

¡

Ӥ)

"!” ! ))$”)!#")!#$!#! !"˜)!

))

! ! — ")$)) ¦$!” ž

“ ! ) ˜#)! %)!(!” ”– )( $”” !#%) ”– )™$) ! ! —

•#)! ! ) —”#'

— $ ”) !” ) )• (”!#$ $#!#” !” §$"

¡

Ӥ)

! ! ) ! (! ”– ! )# ”$!” –”# (%

¡

Ӥ

$" !

”– !

¡

”§ž !!” –”# ! ) $ ”$ ) ! ! ! ) •#!#

§!")!#! $#!#””–(! ! !—)"—! ! 5¦! ”"ž )

˜!#( )!•

—! ! )• $#!#” — $”)"#

$

¡

"” #›!

!

¡

# ”–

¡

”§)ž

) ”— ¦$!”)”§•#!))("!)!”–£

¡

$!#(”)

! ! )!#!! •$! ”–! ) ˜!#( )!• ” ! #)!( !$ ()ž

! #")!•”–! ! ”"—•#”•”)$”))!)! $”•!!””–! (

!$ (

¡

 #$#)% •#”$))

! ! !') ) •!) !

¡

”§) ! ! —# ”!

")$#"" "#( ! )$”" )!•ž

–”# ")$#

¡

( ! ) •#”$))

— "˜ )” $”

¡

!”# ”!”)

¡

”!

)!) ”–

¡

Ӥ)

“!!%

¡

Ӥ

(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )

^{"˜) #$!( ! •}"˜"

¡

! •”!)

(x 1 , y 1 ), (x 1 , y 2 ), (x 2 , y 1 ), (x 2 , y 2 )

^ž

—”

¡

”§) # )" !”

¡

–! # §)!) ” %#!$ ”# ”#”!

! ! $ $#”))

¡

”!

¡

”§) ! ”$ž 6 ”#

B = (x ¹ , x ² , y ¹ , y ² )

^"

B ⁰ = (x ⁰ 1 , x ⁰ 2 , y ⁰ 1 , y 2 ⁰ )

^{# $”•!¡ –}

[x ¹ , x ² ] T

[x ⁰ 1 , x ⁰ 2 ] = ∅

^"

[y ¹ , y ² ] T [y 1 ⁰ , y ⁰ 2 ] = ∅

^ž

¡

Ӥ

B

^{" )" !” ¡ ¡”§}

B ⁰

^{– ! #$!(}

B

^{) $”•!}

$"" ! #$!(

B ⁰

^{ž 6”#}

B = (x ¹ , x 2 , y 1 , y 2 )

^{) $”)"}

B ⁰ = (x ⁰ 1 , x ⁰ 2 , y ⁰ 1 , y 2 ⁰ )

^–

[x ¹ , x 2 ] ⊆ [x ⁰ 1 , x ⁰ 2 ]

^"

[y ¹ , y 2 ] ⊆ [y ⁰ 1 , y ⁰ 2 ]

^ž

% )!

B{B 1 , . . . , B n }

^{”– ¡”§) )¡)!}

B ⁰

^”–

B

^{”– ¡”§) ! ! #}

•#—)$”•!

¡

))"!”

¡

– %#

¡

”§”–

B

^{! ! "”)”!}

¡

”( !”

B ⁰

^{)”! $”•!¡—! ! )! ” ¡”§ ”–}

B ⁰

^ž

•#$• ”– ! ) ! #" )!• ) !” )$! )

¡

)!

B ⁰

^{”– ¡”§) ! ! )}

§!)

¡

" ”– $#"! —! #)•$! !” ! ) •#”•#! ”–

¡ (

§!)

¡

! !” #$#)%#•! ! ) •#”$)))" $

¡

”§ ”–

B ⁰

^ž

” §!#$!! )!

B ⁰

^{”–¡”§)—$”)"#! "#$#%&% '$()*($+#,-( ./)}

0/1(2#$3 š"'.0œ ”•!!” •#”

¡

(% )!”–

n

^¡”§)

B = {B 1

B 2

žžž

B n }

^{˜" )¡)!}

B ⁰ ⊆ B

^{”– $#"! )$ ! ! šœ  •#}

(B i , B j )

^{”– ¡”§) ”–}

B ⁰

^{) •# ”– $”•!¡ ¡”§)" š œ}

B ⁰

^{) §!)¡ž}

”! ! ! ! ) •#”

¡

) %#! ”– ! ")#%&% 0/%%/$ *2#$3 2

*#*#/$ •#”

¡

š"0œ ! ! ”$$#) !# $”•!( ( !$ (

! ! ) !

¡

# ”–

¡

#'•”!) ! #)!( •#!!”) ¢

¤ž

) )! #)” ! ! " ) !” !#”"$( ! ) •#”

¡

–”# $”•!(

( !$ ()

) — ! ' ! ) %# !# — !” $”•! #$#)%

( !$ ( –#” )! ”–

¡

”§)ž Ÿ”—%#

! •#”

¡

"0 ) › #"

¢

¤

" ! ) ! ”! )#•#)( ! ! ! ) #)! ”") –”# ! •#”

¡

"'.0 š! •#””–) (%

••"§œž

"#$#%&% '$()*($+#,-( ./) 0/1(2#$3

) #")) #)! ") ) !” "%”• )• (#" #)!$

)•#"

–#” ! "'.0•#”

¡

! ! )$!)§!)

¡

)! ”–•#—)$”•!

¡

¡

Ӥ)

¡

 !#!% )$!( !

¡

”§ —! § #ž

gjV

\

SoiSf

TVi oji [

Qjo

\

jhij hT jYin oji [

Qjo

gSRj

So Ti jYin

jRjfi igj QSPPjoi Q

Sk ST ij

\

Yo [

h

\

jhk ST

S i

jYWj jWj

\

n Q

[

gSfg So STfYhiSQRj

Sig

S

jiV

\

T

) #)!$ •#”$"#) )" #$#)% ! ” !#% ”§)#–!ž

YhST

TVi oji [

Qjo

ji

g SRj

fTihST

o hi

Rjhoi T

j TTXi

\

SWShR Q

\

jWj

\

n TT i

\

SWShR Q

S [

jY Wj

S [\

Y

ji

Qj igj oji [

hRR Qjo [

jTfRoj

ST

S

i

jiV

\

T

!$”•§! ”–! ))!•)•”” !

¡

# ”–

¡

Ӥ)(%

•!

— $ ) !)– ™"#!$ ! )”–! !—” $”)"#" (”)ž

4$ ! ! #" )!• ) $”•!"

— ”

¡

! )™$ ”–!#%

¡

Ӥ)

! ! )

¡

”§)”– •

¡

! ”–)

! !–”#)! $”#”–! ˜ !$ (ž“""

–”#

)™#" !#%

¡

”§) ”– )" (!

! ! #

¡

”§) ”– #

— "" !

•# ”–$”##)•”"( ()!” ! ˜ !$ (ž

$)”–

¡

”§))$ ! ! ”#! !—” () # %”%" ) ”#•#”

¡

›

!$

)! ##)%#—)!”!$ ! ()”–)$

¡

”§)ž“! •#)!

—”#'

—)" ! %)!#!(! ! !$ )() $#)( ”#"# ”–! #

•”)!”) ! !—” )™$)#•#)!(! !—” (”)ž")$))

¡

#

¦$!” ! $ ”–! ) )!#!("

¦$!”

—")$#

¡

)%#

)!#!()!” •#”%˜ !$ ( )" ! !#%

¡

”§)ž

’‹Œ Œ

•!" ”# ! ”" )”–!—# $" “

5 š”” “!#%)

”

¡

5(#œ

" —”— ")$))!—” §•#! )!")” !—” "!)!)

˜#)!

£

(”) ”–

γ

^{›•#”!”¡$!#! ! " ”)(”)ž}

$”)"#" ! (”) ”– ! –””—( ”#())

! ! )• —" )•$›

!# ! • ”( ”–

γ

^{›•#”!”¡$!# ¢ ¤}

š ' $$))”

¡

# £œ

š œ

š

!

œ

š œ

š œ

š

!

œ

!" š

££

œ

$%&! š œž

$”•!" ( –) ) ")$#

¡

" ¢ ¤ž 6”# $ ”– ! £ •#) ”–

(”)

—$”•!"

"#!(!$ ()˜#)!! #!$ ())(!

! ”" ")$#

¡

" ¦$!”

#)•$!%—! ” ˜!#( š! $”##)•”"(

!$ ( ) "”!" “œ

—! ˜!#(

¡

”§) ”– )" š“œ "

š“œ

! ! # !$ () )( ! 5¦ ! ”" ”– ¢ ¤

#)•$!% —! ”

˜!#( š 5¦œ

—! ˜!#( 5¦ ”– (! š5¦œ " š5¦œž

$”)"#"!—” —)!” ))))! ™!”–! ”

¡

!" (!$ ()

" $”•#! !—” ! ”")

” )))) ! $$#$ ”– ! !$ (

¡

!— ()

— $”•#" !

”–$”"( ()(%

¡

! "!

¡

) #”! ¢¤

" — "˜"

(•#) –

¡

”! () %! )”#)””)

)

–! ) #"#! " – ”

”– ! !—” () ) ”! •#)! #”!ž

” )))) ! !# $”))!$ ”–

¡

”! ! ”")

— $”)"#" ! £

•#—)!$ ()

¡

!— •#)”–(”))(#•

$"!

— ”)%#!$)#! ()”–! £(”)""()#

(%

¡

 ! !$ ()ž ! $”•!" ! •#”•”#!””–! $”$!"

$”•”!) ”–! ) (#• ! ! $”! ! )! !—” ()”– )(”

  —$ )$ $”•”! " $”•”!) —! !

”)!”(”–$ (” ž“"")$ )!!”

$

¡

) ) $”))!! —! #)•$! !” ! (” ”– –##( •”)!”

”””()! ! # $""!) !”

¡

”#! ””(”)()ž

¦

¡

)™!—$))˜"$”))!!$”•”!)!”!—”$!(”#)

– () $”•”! % ! )

" – ! )!

!—” () % "#! ) š”! ! ! — ")$#"" $”•”!) —!

() ! ! # ”! •#)! •#”!œž 6

— )!"" ! ")!#

¡

!”

”– •#–$! $”•”!) —! #)•$! !” ! # )ž

#)!) # (%

¡

) "

¡

”—ž

.68 u

.68N .68b 6* u

6*N 6*b

A]@ p3B>C>?@B

u

; G

;9 u

bvb G u

:LN<

u

;<

G

; uG

<:<

u

L u

9:

O/EB@ p3B>C>?@B 9N u

Lbv G

<v uuu

; u

vv u

N;bb

41¨131 p/>AB LN;:

G

bb< b GG

9 9:L9 <

u

N u uu

:b:

7]q0@A32 K3qp31@1CB b;b< b9 G

: bv:v b G

b< b;:9 b;9:

631B>BC@1CK3qp31@1CB N<:L bL:; b G

bL b uu

L b u

;L bb9N

5/C>332 K31B>BC@1CK3qp31@1CB :I 9 G

:I <v :I<9 :I99 :I <N :I<L

7]q0@A32 p@A2@KCK3qp31@1CB uG

b u u

LNb uG

b9 u

vN9 u

9 u

L u

<vN

5/C>3 p@A2@KCK31B>BC@1C :I G

b :I;L :I;b :I G

N :I G

9 :I G

9

7]q0@A32 >qp@A2@KC K3qp31@1CB N G

N N;:

u

<: bN:

GuG

v9L

5/C>3>qp@A2@KCK31B>BC@1C :I :< :I :v :I:

G

:I u

:I u

v :I N

}y 

^]/E>Cs 32 €@1@ p/>AB /1H K3qp31@1CBI

.68 u

.68N .68b 6* u

6*N 6*b

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ 9 N G

9 u

b9 L

u

N G

; N G

< Nvb

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ 9 u

<

uG

< N< b: bN

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ L N:<

uGG u

:: N u

9 NNL N;;

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ L b;

u

b < bL ; G

9v

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ v uG

L u

;

G u

:L u

LN u

9 G

N uG

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ v bN N;

u

< ;v G

L uu

;

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ G

N:v Nv<

u

<< NNN N Gu

N<<

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ G

bN b< N; ;; Lv u

b G

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ ; Nbv N<: N;v N G

b b;; bv9

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ ; v

G G

< ;< LL u

L9 u

9v

`@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ b ;v G

LNv 9 uG G

:<

GGu G

Lb

*qp@A2@KCK3qp31@1CB32 B> @ b L: <: 9: 9L u

N<

u

b;

}y 

J>BCA>0]C>31 32 p@A2@KC /1H >qp@A2@KCK3qp31@1CB0s B> @I

6#)!

!)!#)!(!” ”!$! !!

¡

#”–(•#)"$#))—

” #"$) ! (! ”– !$ " 5¦

— $ ) §•$!"

— !

$#)) — ” #"$) ! )" ”– ")$#""

¡

”§) — )(

$”” !#%)ž

) "#!

¡

%”#) •#”

¡

¡

"!” ! –$!! ! )”

¡

”§) —! ) ”#! )" $ % ”( )" " !

¡

((# #

" —”"

!

¡

•$'"

¡

 ”# #)!$–”# ! "'.0 •#”

¡

ž $ )” ”!$! !

!

¡

# ”–!#•”)!%(•#) $#))— ")$#"(

¡

”§) ”– ) ”#!

)"

!! •#$”–”#–)•”)!%) " '”—•#)žŸ”—%#

•## )!" ”– ! ) •#–$! $”•”!) ) ”—" ! ! )(˜$!

¡

# )) !”

¡

" !” ! –$! ! ! )” $))

— !$ ( !—”

”$$##$) ”– $”” !#%

” )!” " —! !• ”$$##$)”–

)–

• ”” ! ! "”)”! •• —! 5¦ )! (”#"#

) $”)#%"ž")$)) ”— !” •#”%”#! ”" ” ! )•”! ¦$!” ž

“ !#) ”– $”•”!)

" )•$ ”– $”))!! $”•”!)

! ! #

–#” ”# •”! ”– %—

”# •”#!! ! )( ( •#)

! )) ! !

)( $”” !#%) " !” ! ")$”%# ”– ”# š

¡

”! !#) ”– ›

¡

# " ”– #!”œ•#–$! $”•”!)

# ( ! ! •#$”–”# •#–$!

$”•”!)žŸ”—%#

!)!#)!(!” ”!$•”#!!"#$

¡

!—

¡

”! ! ”")

!#)”–! )”–! –##"•#–$!$”•”!)ž)$#"(

) ”#! 5¦ " !” ! ”))”–#($”))!! $”•”!)

•#!$# •#–$!

$”•”!)

— $ )•#”

¡

¡

"!”! –$!! ! 5¦#•#)!•#–$!$”›

)#%" $”#)(!)

"! ”( 5¦! !#•#)!)%#(”)

# ™! ## " )(˜$!žŸ$ ")$#"( ) ”#! 5¦ $# •#”%)!

$$#$ ”– ! #)!)

¡

! ! •#$ ) ! ! ) $”•”!) "”! !

$”

¡

" !$ () (#• ž 4 ! ”! # " )( $”” !#%) ”– )›

™$) ”—)!” ˜" ”#$”))!! •#–$! $”•”!)”–#( )  !!

•#$ ”– ”#•#–$! $”•”!)  " !” ! )) )!#$! $”)!#!) •”)"

” !$ " )(!)ž

6 #” ”#

¡

””($ •”!”–%—

—$ ”!$! ! ! #))!”

¡

)! ”– ••#”§!% () ! ! –”# § •#–$! $”•”!) !

$” " !$ ()(#• ”–! ) £ (”)ž“! —”" !#)!( !” )!"

”# •#$) ! ) () " !” $”•# ! —! ! )! ”– () )"

! • ”(”$)))”–

γ

^{›•#”!”¡$!# ")$#¡" ¢¤”#—! ! )!}

”– ))!

¡

$!# ()"˜" ¢¤ž

“ )$”" §•#!

— $”)"#" ! " ”) (”) " —

$”•#"! #)!)”– )( $”” !#%) —! ! ! ”"

¡

)"” 5¦

" —! ! #$! ¦4

(”#! ¢¤ž "”—”"" ! !—” (”)

–#” ! ¦4

—

¡

)!" — )" ! ( •#) ”– ! ¦4

š) ¢

¦$!” ž¤œ " )(›'( $)!#( !” "˜ (–)ž “

)

¡

)™! )!•

— "!" –#” ! !—” (”) ()! !

¡

”(" !”

– •#)! ” ”(”ž

—$”•!"

( !$ () )(

¡

”! ! $”” !#%) ›

! ”" " ! 5¦ ! ”")ž

)!$ () # "”!" “

“

“

5¦

5¦ " 5¦ ) ! •#%”) §•#!ž — $))˜" •#) ”– •”›

)!” ”””() ) !# •”)!%) š œ " –) •”)!%) š6 œ” !

¡ ) ”–

! ( ) •#”!ž #)!) # )#"

¡

¡

”—ž

#)!)–”#¦4

—#$”•!"–#” ! #)! ˜%

¡

”! ¦4

—

¡ )!ž

,8 t

5 .68 u

.68N .68b 6* u

6*N 6*b

,/CKr@H p/>AB u

bN u

9 u

bb9:

u

Nb9v uu

Lv;

u

bb:

u u

NLbL u

Nb<;

7]q0@A32

` <N u

; <NNL 99v G

9;<

u

<

u

9v <::9 9L<N

5/C>3 32

` :IL :Iv< :I LN :I LN :Iv< :IL u

:I L u

7]q0@A32 O` NN;: Nb G

L u

<N u u

L;< NbNL N:L

u u

<<v

5/C>3 32 O` :I u

L :I u

9 :I u

v :I uG

:I u

L :I u

v :I u

v

}y 

6E/BB>…K/C>31 32 q/CKr@H p/>AB >1 Cr@ €@1@ q/CKr>1€B 0@C@@1 r]q/1 /1H

q3]B@I

“! ••#) ! ! # ( ! 5¦ ! ”" •#–”#)

¡

!!#

¡

! "”) ”)

–”#!” –)!# — ) ”#! 5¦ # ˜!#" $”•#)” !” ! $””

!#%••#”$ ž”#”%#

–”# ! )#)”)! ! — ")$#

¡

" ! •#›

%”) )$!”

— §•$! ! ! •#”%( ! !$ () ”– ()

¡

”(( !”

¡

”§) —! "•$!" () — •#”%! $$#$ ”– ! ! ”"

¡ )" ”

$”” !#%)ž “! —”" )”

¡

!#)!( !” "#)!" ! #)” — 

")$#"(

¡

”§) —! ) ”#! )" "”) ”! $#) !

¡

# ”–

(•#)

! ! $”"

¡

"! #!” )”•#”•#!)”–! ! ”"—)"”#

!” "#$) ! !—” $”)"#" "!)!)

¡

”! –#” ! $”

¡

!”#•”!

”– %— š£ (”) %)ž (”)œ”#!

¡

””($ •”!”– %—ž

Œ Ž

“ ! ) )$!” — •#)! )%# ") ! ! —”" •#”% ! ™! ”– !

!$ () $”•!" –#” $”” !#%) ”– )™$)ž“ •#!$# — ›

%! !! (# )!#$!#”–”#! ”" ”—)%# !#!” !(#!

! )$”#)”–! ›()!›)™$$”•#)”)"!” "˜(–)ž

6 ”#§•

•##))”–! –)•”)!%)

¡

”! §•#!)

•#)!" ¦$!” )(()!)! ! )(˜$!

¡

# ”– ! $”"

¡ $”#›

#$!"

¡

 )) % )!#!(–”# !$ ( () !#%

¡

”§) ! –”#!

)!• ”– ”# ! ”"ž

!# •#”%! $”" $”))! $”)"#( ! )›

™$ $”•#)” )$”#

¡

!— ! () ”– ! ) !#%

¡

Ӥ)

•$'( ”

•#) ”–() ! !–”#

¡ )!

¡

›"#$!” !ž

“ ! )$”" )!•

— )

¡

)$˜!#( $#!#” — $ #” ! )”–

!

¡

”§)ž!!—”"

¡

”–!#)!!” $”)"#”! #$#!#!” )$!!

¡ )!

$""!)ž“! $”"

¡

)–

–”# §•

!” !(#! # ( ! )™$

$”•#)”)$”#)))#”–™!”–

¡

”§)ž )—”"

¡

%#!#

— !”

¡

$ ! $!)”–! )(›'()!#!()" (#!” "˜

( –)ž 4 $”" )” ! ' !” ”#)”• )!$!" )#) ”– ™!

”–

¡

Ӥ)

¡

)" ” ! # $”

¡

!”# )!#$!# !#%

¡

”§ ”– )

3 × 3

⁾

”! $))#

¡

!!# $""! !

¡

”§ ”– )

2 × 2

^{—! • ¡! ”–}

)ž¦”§•)”–$#!#

' )!"))

"˜( — ! ) (””"(

$)!# –”# (” $”•#)”

$

¡

–”" ¢¤ž

“ ! ! #" )!•

—$”)"#" !# ”•!!” •#”

¡

! "'.0

•#”

¡

! ! %”%)” ! (”!#”–

¡

Ӥ)

¡

”! !) "˜!” "

! #)!$ — •#”•”)"ž“! —”"

¡

!#)!( !” !(#! ! ) )!• !

”!” ”– ™! ”– !

¡

Ӥ)

)" ! )$”" )!•

— $ —”" " !”

—( !" %#)””–! "'.0 •#”

¡ ž

6 #” $”$•! •”!”–%—

! ! ”" —")$#

¡

" $

¡

) )

§!)” ”– ! 5¦ ! ”" )" ¢¤

— # ! $”)!#!) ” ! ”!”

”– $”)#%" )!#$!# )" ) $ ”#) %

¡

#§" !” $$•! ###(›

!) " •#”()ž #%”) —”#') % #" #§" ! ”!” ”– 5¦

! ! $”##)•”" –#” (”$ •”! ”– %— !” •#–$! $”# )(!)

”—( )#!” ”# "!” ”– () $”# )(!) ¢

!

¤

ž“! —”"

¡

!#)!( !” !# !” $”

¡

! )!—” ”")" ) ) $ ”#)$”” )(›

!) —! ###(!)

•#”()

)#!”) " "!”)ž ¦%# ”")

§)!'$””!#%)—! ##”#) ¢¤”#(!)

! ! $

¡

$”•!"

•”” ! ! $)”–!—” (”) ¢£¤ž Ÿ”—%#

—! )$ #§"

”")

! ”!” ”– ™! ”–

¡

”§) —”"

¡

$” ”# •”#!! ”#"#

!” %”" !” )

¡

”§)—! —' )(

¡

! (””" (”!#$•#”•#!)ž

$”)"#( "!)! ”–”#! !—” (”)

! $ •• ! !

• ”(!$!#)'”—–”#! )"!)!ž“)$ $)

!—”"

¡

!#)!(

!” •#–”# ”# •#—) (”) $”•#)”) $$”#"( !” ! ) !#

) ! )

$))$!”"”!!•)™$)(!ž! '! !)$ ••#”$

$”" )(˜$!#"$ !

¡

# ”– •#–$! $”•”!)ž

6 )” $))

! —”"

¡

!#)!( !” $”)"# ! ! (

(” $

¡

!$ " —! ”# ! ””! # ( ! )$”" (”ž

4$ ! '–”# §•!” (”)! ! %"#(”””#)%#— ”

(”"•$!”

'! )!)(”)¢¤ž! '! !$””!#%)

Ž‹‘’Ž‹

•#)!" ! ) —”#' ˜#)! )!"

¡

”! )( $”” !#%) ”– )›

™$) –”# $”•!( •”)!” ”””()ž §•#! #)!) — ”

¡

›

!" # %# $”#((

")•! )( %# )• ••#”$ ) –”# $ ”–

! –”#)!•)”–”#! ”"ž“•#!$#

! $”•#)””–£

¡

$!#(”)

)) !” "$! ! ! ! ) ••#”$ ”#) (””"

¡

)) –”# ! $”•#)” ”–

!• (”) "!)!)ž

Ÿ$

¡

)" ” ! ) •## )!"

—

¡

% ! ! $”” !#%)

”–)™$)) ”"

¡

$”)"#" ) (””" ”" –”# ! $”•#)” ”– — ”

(”)

— $ "#)–#” ! #! ••$!”)($)!#”" ¢¤ž

”#”%#

) — ")$#

¡

" ! ¦$!”

! %# •#(!$ ••#”$ —

•#”•”)"

¡

)"” –”#)!•)

”—)!” !(#!)”#)”• )!$!"!$ ›

$)

" — # $##! "%”•( )” ”– ! ) §!)”)

! ! —

¡

%

¡

! ˜#)! #)”– “

5

”# ”” “!#%) ”

¡

5(#ž

! ' ž6 –”#•#”%"( ! ! (#• ”– ¦4

¢¤ž

‹‘

u

I t

Iw/>A3Kr $# '(I

r@ 41>?@AB/E `A3C@>1 5@B3]AK@ c41>`A3CdI ($" " )$)

bbJ uG

;ƒJ uG

<= N::

G

I

NI ©Iw@EH/= t

I ,3s/=OII8>E?/I +@13q@ A@/AA/1€@q@1C H>BC/1K@B /1H €@1@ 3AH@A

prsE3€@1s >1

γ

^-pA3C@30/KC@A>/I ("(&(=NNc vd u

; G

vƒ

u

;vL= N::

G

I

bI +IwE>1=6I6r/]?@=/1H +IO@AC>1I

r@0A@/¨p3>1CBH>BC/1K@23AB>€1@H B@„]@1K@BI

*1 "$#) (%"# ) #'#"!'( $# )% "$ "'( '!

$&(#"!'% !$#%)=?3EIb32 $ #)"! (%"# ")=pIbƒ

u

vI >1€!B63EEI`]0I=

.31H31=N::;I

;I +I wE>1= 5I 5> >I 631B@A?@H >1C@A?/E H>BC/1K@ K3qp]C/C>31 0@C@@1 131-CA>?>/E

€@13q@BI *1 #"! '! "!'#%")" ### !!'( $!#$%!'#"!'( !$%%

$!$" &&& '" (! "!" "!'" )# #)%*" '"+%$$ "!)= ,-

b G

<

G

NNƒb u

I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::

G

I

G

I +I wE>1= 6I 6r/]?@=+IO @AC>1I +@1@ 3AH@A /1H prsE3€@1@C>K A@K31BCA]KC>31 /p-

pE>K/C>31 C3

γ

^-pA3C@30/KC@A>/I*1 '%'#"&$ .$! ")"& '$!#$%!'%

#"!'( /%)".'"0("!"$%$('! "-$#$ $% #1%"'"+%$$ "!)=

,-2,$=bvL9 uu

ƒN:I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::

G

I

vI +I w3]A„]@= 3I 3/K@2= 7I ©E-,/0A3]¨I ,/M>q> >1€ Bs1C@1s 0E3K¨B C3 >H@1-

C>2s /1K@BCA/E r3q3E3€BI *1 '%'#"&$ .$! ")" & ' $!#$%!'%

#"!'( /%)".'"0("!"$%$('! "-$#$ $% #1%"'"+%$$ "!)=

,-2,$=bvL9N u

ƒb;I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::

G

I

LI JI wAs/1CI

r@ K3qpE@M>Cs 32 K/EK]E/C>1€ @M@qpE/A H>BC/1K@BI *1 '%'#"&$

.$! ") "%"'( '! !'(#"'( %'$) # .$!$ &% $% 0!' ")" '

(" ! $!#"'! #$&(#"! .$!$4' "("$)=pIN:LƒN u

NI E]@A t

K/HI`A@BBI=

J3AHA@KrC=N:::I

9I *IIw]A€@C =8I8r/A>ˆ= t

I`/1€=©I5I,I

>EE>@AI `3B>C>31/Er3q3E3€s >1 0/KC@A>/E

€@13q@BI &(#"!'% ""!% '#") &!("!$=N;Nƒ

GG

= N::vI

<I I `I wsA1@= = a=

‚

3E2@I

r@ 3@/BC +@1@ AH@A wA3B@A K3q0>1>1€ K]A/C@H

r3q3E3€s /1H Bs1C@1>K K31C@MC A@?@/EB €@1@ 2/C@ >1 p3EspE3>H Bp@K>@BI .$! $

uG u u G u u G

u

:I 8IwI 6/1131= t

I 3 >¨=wI 6r/1=5I,>Kr@Eq3A@=7IJI33]1€I J>/€a]1C@A/1H

+@13`>MNJ pA3€A/qB 23A €@13q>K K3qp/A>B31B= E/A€@-BK/E@ r3q3E3€s H>BK3?@As

/1H ?>B]/E> /C>31I .$! $ "(;5v9= N::bI

uu

I 6I6r/]?@=+IO@AC>1=5I5> >=8IF>/E@CC@I+@13q@BK31C/>1>1€H]pE>K/C@B/A@r/AH

C3 K3qp/A@I *1 #'#"!'( -"$!$ % $- )" )# $!#$%!'#"!'( !$%%

$!$"$ ' "!" ("' 1%#")"+%$$ "!)"+'%#$$=,-=b<<NL9bƒL<:I

8pA>1€@A=w@AE>1=N::vI

u

NI I 6r@1=I r@1€= I O ]= `I 7/1= 3I r31€= 8I .31/AH>=

I >/1€I t

BB>€1q@1C

32 3ACr3E3€3]B €@1@B ?>/ €@13q@ A@/AA/1€@q@1CI $2 %'!)'#"!) !

#'#"!'("( '! ""!% '#")=Nc;db:Nƒb uG

= N::

G

I

u

bI 6I6r/]?@=3IJ>@¨q/11=8Ia@00@A=I,>MC/K¨>=8I5/rq/11=I8C3s@I1 63q-

q31 *1C@A?/EB >Cr ©AA3AB 5@p3AC N::v-:N=

@Kr1>BKr@ O/¨]ECC H@A 41>?@AB>CC

w>@E@2@EH= t

0C@>E]1€ *123Aq/C>31BC@Kr1>¨I N::vI

u

;I IO]= I6r@1= FIF/K>K=`I7/1=3Ir31€= I

/1€I t

p/AB>q31s /ppA3/Kr C3

€@13q@->H@ 3ACr3E3€ /BB>€1q@1CI *1 $)$ '% "! #'#"!'(($ ('% "(%

" ## !!'( $!#$%!'#"!'( !$%$!$" & )" $!"$" $#'(" %"(

%'" )"+%$$ "!)= ,-2,$=b<:<

G

L9ƒ

G

<;I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::vI

uG

I I *I +E/BB $# '(I ©BB@1C>/E €@1@B 32 / q>1>q/E 0/KC@A>]qI +%'#(' -"

-= u

:bcNd;N G

ƒ;b:= N::vI

u

vI t

I+3EHBC@>1= `I 3Eq/1=Ir@1€I ,>1>q]q K3qq31 BCA>1€ p/AC>C>31 pA30E@q

r/AH1@BB/1H /ppA3M>q/C>31BI *1 (%"# )'! #'#"!"#'# $!#$%!'#"!'(

- )" "$- "!(!" "!'"0$ $ $% %" "+%$$ "!)=

,-=bb;

u

;Lbƒ;9;I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::;I

u

LI wIIa//B= t

I.IJ@KrE@A=I5I

‚

3ACq/1=8I.I8/E 0@A€I J t

+Kr/>1@A/ C33E 23A

q>1>1€ B@€q@1C/E €@13q@ H]pE>K/C>31 /1H Bs1C@1sI ""!% '#")= N:c u

9dbv;bƒ

bv;v=N::;I

u

9I I a@= ,IaI +3EH/BB@AI *H@1C>2s>1€ K31B@A?@H €@1@ KE]BC@AB >1 Cr@ pA@B@1K@ 32

r3q3E3€s 2/q>E>@BI #"(=

u

Nc vdvb9ƒv G

v=N::

G

I

u

<I 5Ia30@Aq/1=JIJ]A/1HI

r@ >1K3qp/C>0E@ H@B>H@A/C/32 €@1@ KE]BC@ApA3p@AC>@BI

*1 '%'#"&$ .$! ")" & ' $!#$%!'#"!'( /%)" . '"

0("!" $%$('! " -$#$ $% #1%" '" +%$$ "!)= ,-2,$= bvL9 Lbƒ9LI

8pA>1€@A=w@AE>1=N::

G

I

N:I ©I.@A/C= FIJ/]0>1=7I t

I,3A/1I O A3q €@1@ CA@@BC3 3A€/1>Bq/E prsE3€@1s >1

pA3¨/As3C@BCr@ K/B@ 32 Cr@

γ

^{-`A3C@30/KC@A>/I +,- "(=ucud©u<=N::bI}

N u

I JI8/1¨3ˆI+@13q@A@/AA/1€@q@1C>Cr€@1@2/q>E>@BI""!% '#")=

uG

c uu

d<:<ƒ

<

u

L=

u

<<<I

NNI

I 8Krq>HC=I 8C3s@I ^]/HA/C>K C>q@ /E€3A>CrqB23A …1H>1€K3qq31 >1C@A?/EB >1

C3 /1H q3A@ B@„]@1K@BI *1 "!'#%"'( +'##$%! '#"!" #'# !!'(- %

)" " + "$)#'!("%$" ('%""+%$$ "!)=,-=b u

:< <Lƒ

u

:9I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::;I

NbI I,I8@1B31=,I,/AA31=IF ©/A1@BC-J@33]1€=wI,I©I,3A@CI t

ppA3M>q/C-

>1€Cr@CA]@@?3E]C>31/As H>BC/1K@0@C@@1 C3€@13q@BI*1 +%$$ "!)#$ -$&%

$!# /%) ! (%"# !"!$$%"! '! $%" $!#) '! #$ -$ ! /%%

) ! !'(#"(%"# ")'! "!'#%") ,2,& =pI u

N u

ƒ

u

N<I 8*

t

, `A@BB=7@ 33A¨=N::

G

I

N;I I ,I 8@1B31= 7I JI`/CC@1€/E@= wI ,I ©I ,3A@CI t

2A/q@3A¨ 23A 3ACr3E3€s

/BB>€1q@1C2A3q €@1@ A@/AA/1€@q@1C H/C/I *1 '%'#"&$ .$! ")"&

'$!#$%!'#"!'( /%)".'"0("!"$%$('! "-$#$ $% #1%"'"

+%$$ "!)=,-2,$=bvL9 uu

ƒN:I 8pA>1€@A=w@AE>1=N::

G

I

b

ŽŽ Ž ‘ŽŒ‹ Ž

$”)"# #! "$)” %#)”) ”– ! •#”

¡

) "'.0 " "0ž

˜#)! )!! –”# ! "0 •#”

¡

ž “ ! –””—(

(% )!#(

S

^!

S[i]

^"

S[i..j]

^{"”! #)•$!% !}

i ^th

^{$ #$!# ”–}

S

^{" ! )¡)!#(}

)!#!( !•”)!”

i

^{" "( !•”)!”}

j

^”–

S

^{ž% !—” )!#()}

S

^"

T

”–

S

^"

T

^{) "˜" ¡ ™"#•!}

(i, j, k, l)

^{)$ ! !}

S[i, j] = T [k, l]

^{ž —” )!#()}

S

^"

T

^{# – %# !!# ••#) !}

)

¡

# ”– !)

S

^"

T

^{ž $$”#"( !” ¢¤ ”– )!#(}

S

) )™$

P = (P 1 , P 2 , . . . , P m )

^{”– )!#() — ”) $”$!!” ) ™ !”}

S

^{ž 5!}

P

^š#)•ž

Q

^{œ ¡ •#!!” ”– )!#(}

S

^š#)•ž

T

^{œž •#}

(P, Q)

⁾

”–

S

^"

T

^–

Q

^{) •#!!” ”–}

P

^{ž % •#!!”}

P = (P 1 , P 2 , . . . , P m )

^{”– )!#( $ )!#(}

P i

) $" ”–

P

^ž

) ! !

¡

”$'

P i = S[k..l]

^{ )¡)!#( ”–}

S [k..l]

^{ž —” ¡”$')}

P i

"

P j

# – !  "” ”!

¡

”! $”%# ! ) $ #$!#ž

$””

•#!!”

(P, Q)

^”–

S

^"

T

^{$ ¡ !# !#•#!" ) ¡$!% ••(}

–#”

P = (P ¹ , P 2 , . . . , P m )

^!”

Q = (Q ¹ , Q 2 , . . . , Q m )

^{ž% $”” •#!!”}

(P, Q)

^—”!

π(i) = j

^–

P i

)••"!”

Q j

ž › #"•#”

¡

¢

¤

"0

) ! –””—( (% !—”

¡

$" )!#()

S

^"

T

^{" •”)!% !(#}

s

˜" $”” •#!!”

(P, Q)

^”–

S

^"

T

^{—! ! ”)!}

s

^¡”$')ž

6 ”#! )'”–$#!

—#$ #! %#)” ”–! "'.0 •#”

¡

! !

— $”)"#

¡

”— % )! ”–

n

^¡”§)

B = {B ¹ , B ² , . . . , B n }

^{" •”)!%}

!(#

s ⁰

! •#”

¡

)')!” ˜" )

¡ )!

B ⁰ ⊆ B

”– $#"!”—#! ”#

™ !”

s ⁰

)$ ! ! šœ(%  •#

(B i , B j )

^{”– ¡”§)”–}

B ⁰

B i

"

B j

#

$”•!

¡

" š œ(% 

¡

Ӥ

B m ∈ B

)$ ! !

B m 6∈ B ⁰

∃B i ∈ B ⁰

)$

! !

B i

"

B m

# ”!$”•!

¡ š

B ⁰

^{) )"!” ¡ œž}

#

"'.0 •#”

¡

) )$(% )!

B ⁰

^{”–¡”§)”$ $ $'}

•””›!–

(1)

^{•#”–¡”§)”–}

B ⁰

^)$”•!¡

(2) B ⁰

^)§

"

(3) |B ⁰ | ≤ s ⁰

^{ž ) ”— ! ! (%  )!$}

(S, T, s)

^{”– "0 •#”¡}

—$ $”)!#$! •””›! )!$

(B, s ⁰ )

^{”– "'.0 •#”¡ )$}

! !! #§)!) $”” •#!!”

(P, Q)

^”–

S

"

T

—! !”)!

s

^¡

”$')

! # §)!) § )

¡

)! ”– $”•!

¡

¡

Ӥ)

B ⁰ ⊆ B

^{”– $#"! ”—#}

! ”# ™ !”

s ⁰

^ž

"!! ) $”)!#$!” #–!#ž5!

(S, T, s)

^{¡)!$”– "0}

•#”

¡

ž 6”# $ $”” )

¡ )!#(

(i, j, k, l)

^”–

S

^"

T

^{— $#! ¡”§}

(i, j, k, l)

B

^{ž ) $ ¡ "” •””›! ¡ ! ) ”– (#"}

)¥§›!#–”#)!$ž“ ”#"#!”$”•!! "˜!””–! "'.0•#”

¡

)!$

— "˜

s ⁰

s ⁰ = s

^{ž "”! ¡  $”)!#$!”}

”–! )!•ž

)!#!” ”–

¡

”§›$”)!#$!” ) (% 6(# ž

”— !#!”•#”%(! !”#$”)!#$!”)•””›!#"$!”

–#” "0 •#”

¡

!” "'.0 •#”

¡ ž

(S, T, s)

^"0

(B, s ⁰ )

"'.0

(S, T, s)

(P, Q)

S

T

s

c

a b a

d d

c

c a

a b

d d c

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

T S



t

BKr@q/C>K ?>@ 32 Cr@ B@C32 03M@B

B

^{30C/>1@H 0s /0}3M-K31BCA]KC>31 32

S = cdabcda

^/1H

T = abcadcd

^{IO3A >1BC/1K@=Cr@ E/A€@BC 03M >B H@…1@H 0s Cr@ „]/HA]pE@C}

(3, 5, 1, 3)

^I

B ⁰ ⊆ B

s ⁰

(⇒)

^{¦••”) — % $”” •#!!”}

(P, Q)

^”–

S

^"

T

^—!

m

¡

”$') š

m ≤ s

^{œž ””'–”# )¡)! ”–$”•!¡¡”§)}

B ⁰ ⊆ B

^”–$#"!

”—# ! ”# ™ !”

s

^{ž "˜ ! ) )! ”– ¡”§) ) –””—)ž 6 ”# $ •#}

(P i , Q j )

^{)$ ! !}

P i = S[s i ..e i ]

Q j = T [s j ..e j ]

π(i) = j

1 ≤ i, j ≤ m

1 ≤ s i , s j , e i , e j ≤ |S|

^{"" ! ¡”§}

(s i , e i , s j , e j )

^!”

B ⁰

^ž

$”)!#$!”

”!$! !! )!

B ⁰

^{)”–$#"!™!”}

m

^{— $ )¡}

"˜!””—#!

s

^{ž)!” )!” •#”%! !}

(1) B ⁰

^{) )! ”–$”•!¡}

¡

Ӥ) "

(2) B ⁰

^{) §ž "˜!” )$}

(P, Q)

^{) ¡$!% ••(}

–#”

P

^!”

Q

^{–”# }

1 ≤ i ≤ m

^{! # §)!) ” ”}

1 ≤ j ≤ m

^{)$ ! !}

π(i) = j

^{ž ”#”%# )$}

P

^š#)•ž

Q

^{œ ) •#!!” ! ¡”$') $”•”)(}

P

š#)•ž

Q

^{œ # ")”!ž #–”#(%  ¡”§}

(s i , e i , s j , e j )

^”–

B ⁰

^{! # ) ”}

¡

Ӥ

(s k , e k , s l , e l )

B ⁰

^{)$ ! !}

[s i , e i ] T

[s k , e k ] 6= ∅

^”#

[s j , e j ] T

[s l , e l ] 6= ∅

^ž

)

B ⁰

) )! ”– $”•!

¡

¡

”§)ž

5!)”— •#”%! !

B ⁰

)§ž¦••”) !) ”! ! $)ž )

! #

§)!)

¡

Ӥ

(s i , e i , s j , e j )

^”–

B

^{! ! $ ¡} """ !”

B ⁰

^{)$ ! !}

B ⁰

^{) )!}

)! ”– $”•!

¡

¡

”§)ž

¡

 $”)!#$!”

! $”##)•”"( )

¡ )!#()

S[s i , e i ]

^"

T [s j , e j ]

^{# ”! $”%#" ¡  ¡”$' ”–}

P S

Q

^{ž #–”#}

P

^"

Q

^{# ”! •#!!”) ”–}

S

^"

T

^{$”!#"$!”ž #–”# – ! # §)!)}

$”” •#!!”

(P, Q)

^”–

S

^"

T

^{—! ! ”)!}

s

^{¡”$') ! ! # §)!)}

§ )

¡

)! ”– $”•!

¡

¡

Ӥ)

B ⁰ ⊆ B

^{”– $#"! ”—# ! ”# ™}

!”

s ⁰

^ž

(⇐)

^{¦••”) — % § )¡)! ”– $”•!¡ ¡”§)}

B ⁰ ⊆ B

^”–

$#"! ™ !”

m

^š

m ≤ s

^{œž ””' –”# !—” •#!!”)}

P

^"

Q

^”–

S

^"

T

^{$ —! ! ”)!}

s

^{¡”$')ž "˜}

P

^"

Q

^{) –””—)ž 6”# $ ¡”§}

(s i , e i , s j , e j )

^”–

B ⁰

^{— "˜ ¡”$'}

P i = S[s i ..e i ]

^{" ¡”$'}

Q j = T [s j ..e j ]

^ž

5!

P = (P ¹ , P ² , . . . , P m )

^"

Q = (Q ¹ , Q ² , . . . , Q m )

^ž

 $”)!#$!”

–”# $

¡

Ӥ

(s i , e i , s j , e j )

^”–

B ⁰

^{! # §)! ¡”$'}

P i = S[s i ..e i ]

^{" ¡”$'}

Q j = T [s j ..e j ]

^{ž"˜!” ”– ¡”§›$”)!#$!”}

S[s i ..e i ]

"

T [s j ..e j ]

^{#$””)¡)!#()”–}

S

^"

T

^š

S[s i ..e i ] = T [s j ..e j ]

^{œž #›}

–”#”$

¡ !

¡

$!%••(”–

P

^!”

Q

^{— #–”#$ ¡”§}

(s i , e i , s j , e j )

”–

B ⁰

^{! $”##)•”"( ¡”$')}

P i

"

Q j

# ••" š

i.e. π(i) = j

^{œž #}

Q

) ! ) •#!!” ”–

P

ž ”#”%#

! •#!!”)

P

"

Q

# $”•”)"

”– §$!

m

^¡

”$') — $ )

¡

 "˜!” ”—# ! ”# ™ !”

s

ž “ ”#"# !”

•#”% ! !

(P, Q)

^{) $”” •#!!” ”–}

S

"

T

! #) !” ) !” •#”%

! !

P

^š#)•ž

Q

^{œ ) •#!!” ”–}

S

^š#)•ž

T

^œž

6#)!

”!$ ! ! )$

B ⁰

^{) )!”– $”•!¡¡”§)}

P

^š#)•ž

Q

^œ¡”$')

# ")”! !—”

¡

 !—”ž 5! ) •#”% ! ! !

¡ ”$') ”–

P

^š#)•ž

Q

^{œ $”%# !}

)!#(

S

^š#)•ž

T

^{œž ¦••”) ! ) ”! ! $)ž ¦$}

S

^"

T

^{# ¡$"}

)!#()

! #§)! •”)!”

i

^š#)•ž

j

^œ

S

^š#)•ž

T

^{œ)$ ! !}

S[i]

^š#)•ž

T [j]

^œ

) ”! $”%#"

¡

 

¡

”$' ”–

P

^š#)•ž

Q

^œ"

S[i] = T [j]

^{ž "˜!” )$}

S[i] = T [j]

^{” ¡”§}

B ⁰

^$”%#)

S[i]

^"

T [j]

^{ž”#”%#¡ $”)!#$!”! #}

§)!)

¡

Ӥ

(i, i, j, j)

B

^{— $ $”" ¡} """ !”

B ⁰

^{)$ ! !}

B ⁰

^{— )!}

¡

)! ”–$”•!

¡

¡

”§)ž #–”#

B ⁰

^{) ”! § $”!#"$!”ž}

)! •#”% ! ! – ! # §)!) § )

¡

)! ”– $”•!

¡

¡

Ӥ)

B ⁰ ⊆ B

^”–

$#"!”—#! ”#™!”

s ⁰

^{! ! #§)!) $”” •#!!”}

(P, Q)

”–

S

^"

T

^{—! ! ”)!}

s

^¡”$')ž

u t