Méthodologie : équations trigonométriques
,→ Compétence visée : savoir résoudre des équations trigonométriques.
,→ Prérequis : aucun.
On s'intéressera tout au long de la che méthode aux trois équations suivantes :
(A) : cos(2x) =−1
2 (B) : sin(3x) = cos(3x) (C) :−cos(−x) = sin(x+ 1)
1 Etape 1 : mise en forme
Je transforme si possible l'équation sous une des formes suivantes :
cos(x) = cos(α) ou sin(x) = sin(α)
=⇒ à l'aide des relations entre cos et sin données dans le formulaire.
Un exemple où cela n'est pas possible : cos(x) =−2 Pourquoi ?
Quelle conclusion en tirer sur l'équation ? Mettre sous forme désirée
∗ l'équation(A) avec des cos:
∗ l'équation(B)avec des sin:
∗ l'équation(C) :
2 Etape 2 : résolution dans R
Je trouve toutes les solutions de l'équation trigonométrique
=⇒ à l'aide des formules des solutions données dans le cours.
Il s'agit ensuite de résoudre en x les deux équations obtenues.
Les solutions de cos(x) = cos(α) :
x=α+ 2kπ, k ∈Z ou x=−α+ 2kπ, k ∈Z.
Application : les solutions de (A) dans R s'écrivent
S ={ }
Les solutions de sin(x) = sin(α) :
x=α+ 2kπ, k ∈Z ou x=π−α+ 2kπ, k∈Z.
Application : les solutions de (B) dans R s'écrivent
S ={ }
Application : les solutions de (C) dans Rs'écrivent
S ={ }
3 Etape 3 : restreindre l'intervalle des solutions
Je cherche si c'est demandé les solutions seulement dans un intervalle donné
=⇒ en particularisant les k (k=−1,0,1,2...) dans les solutions générales.
Pour trouver les solutions de (A) dans [0,2π[, on particularise à des k bien choisis k =. . . :
k =. . . : k =. . . : k =. . . :
S[0,2π[={ }
Pour trouver les solutions de (B)dans [0, π[, on particularise à des k bien choisis k =. . . :
k =. . . : k =. . . : k =. . . :
S[0,π[={ }
Pour trouver les solutions de (C) dans [−π2 ,1], on particularise à desk bien choisis k =. . . :
k =. . . : k =. . . : k =. . . :
S[−π
2 ,1]={ }
