Corrigé Des Travaux Dirigés De Physique Statistique 1 - Aux étudiants de licence de la filière SMP –
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- Complément de mécanique analytique - Rappel sur les Probabilité
- Distribution micro-canonique
- Distribution canonique
Complément de mécanique analytique.
1
un corps en mouvement est repéré par les coordonnées 𝑞𝑞1 ;𝑞𝑞2 ;𝑞𝑞3… …𝑞𝑞𝑆𝑆 sont énergie cinétique est T et son énergie potentielle est notée U . On définit deux fonctionsénergétiques de la manière suivante :
𝑯𝑯 = 𝑻𝑻 + 𝑼𝑼 c’est l’énergie totale ou Hamiltonien et 𝑳𝑳= 𝑻𝑻 – 𝑼𝑼 qui définit la fonction de Lagrange ou lagrangien. On admet qu’à chaque coordonnée généralisée 𝑞𝑞𝑗𝑗 , on associe un moment conjugué ou encore son impulsion généralisé 𝑝𝑝𝑗𝑗 par :
𝑝𝑝
𝑗𝑗=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗
avec
𝑞𝑞̇
𝑗𝑗=
𝜕𝜕𝑞𝑞𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗a) Appliquer cette définition aux exemples suivants :
( pour chaque exemple , on déterminera : le nombre de degrés de liberté S , les coordonnées généralisées 𝒒𝒒𝒊𝒊, le lagrangien 𝑳𝑳 ,les impulsion généralisées 𝒑𝒑𝒊𝒊 et l’Hamiltonien 𝑯𝑯 )
** Une seule particule libre dans l’espace.
** Une molécule (𝑨𝑨𝑨𝑨) libre dont on néglige le poids.
** Un oscillateur harmonique à une, deux et trois dimensions.
** Un pendule simple de masse 𝒎𝒎 et de longueur .
b) Le principe de moindre action (l’équivalent mécanique du principe de Fermat en optique)
stipule qu’entre deux instants (initial et final), la trajectoire réelle du système est telle que :
δ(∫
ttifL dt ) = 0
En déduire les équations du mouvement de Lagrange 𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝝏𝝏𝑳𝑳
𝝏𝝏𝒒𝒒̇𝒊𝒊
−
𝝏𝝏𝒒𝒒𝝏𝝏𝑳𝑳𝒊𝒊
= 𝟎𝟎
Appliquer ces équations aux exemples cités en (a)
c) Dans le cas d’un oscillateur harmonique (1D) , vérifier que l’intégrale suivante est invariante au cours du temps : (théorème de Liouville )
Γ
t= ∫ . . . ∫ dq
1(t) dq
2(t) . . . dq
s(t) dp
1(t)dp
2(t) … dp
s(t) Indications :
**
Détermination de s**
expression temporelle de q et p à un instant 𝒅𝒅 et à (𝒅𝒅+𝚫𝚫), ∀∆**
On montre que 𝚪𝚪𝐭𝐭 =𝚪𝚪𝐭𝐭+∆d) Un système de particules a s degrés de libertés, est caractérisé par son Hamiltonien H et son lagrangien L. le passage de l’un vers l’autre est possible grâce à un changement de variables :
𝑳𝑳(𝑞𝑞1,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑠𝑠,𝑞𝑞̇1,𝑞𝑞2̇ , … ,𝑞𝑞𝑠𝑠̇) → 𝑯𝑯(𝑞𝑞1,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑠𝑠,𝑝𝑝1,𝑝𝑝2, … ,𝑝𝑝𝑠𝑠) Avec toujours : pj =∂q̇∂L
j Déduire l’expression de H en fonction de L .
Probabilités et rappels.
2
un récipient de volume 𝑽𝑽 contient un gaz de 𝑵𝑵 molécules indépendantes (gazparfait) .on suppose que la probabilité de trouver une molécule est la même en tout point du récipient.
* Ecrire la probabilité pour qu’une molécule déterminée se trouve dans un petit domaine de volume 𝑽𝑽 .
* Calculer la probabilité 𝑷𝑷(𝒏𝒏) pour qu’il y ait exactement n molécules dans ce domaine ; en déduire le nombre moyen 𝒏𝒏� de molécules contenues dans 𝑽𝑽.
*Montrer si 𝑣𝑣 <<𝑉𝑉 , on peut écrire 𝑷𝑷(𝒏𝒏) sous la forme d’une distribution de poisson : 𝐏𝐏(𝐧𝐧) =𝐧𝐧�𝐧𝐧
𝐧𝐧!𝐞𝐞−𝐧𝐧�
calculer dans ce cas l’écart quadratique moyen
∆𝐧𝐧
3
On considère un ensemble de 𝑵𝑵 particules (fixées aux nœuds d’un réseau cristallin) de spin 12 et de moment magnétique 𝜇𝜇, indépendantes les unes des autres. On choisit un axe𝑶𝑶𝑶𝑶 ; chaque particule a deux états possibles : son moment magnétique peut pointer selon
𝑶𝑶𝑶𝑶 ou dans la direction opposée.
* on suppose d’abord que ces deux états ont même probabilité. Quelle est la valeur
moyenne du moment magnétique de l’ensemble et quel est son écart quadratique moyen ?
*En appliquant un champ magnétique 𝑨𝑨��⃗ suivant OZ, on modifie les probabilités des deux états, qui deviennent 𝒑𝒑+ et 𝒑𝒑−= 𝟏𝟏 − 𝒑𝒑+ .Calculer à nouveau la valeur moyenne et l’écart quadratique moyen du moment magnétique total.
4
Un ensemble statistique présente 𝒎𝒎 variables aléatoires {𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, …𝑥𝑥𝑛𝑛} dont la distribution de probabilités est {𝑃𝑃𝑖𝑖}𝑖𝑖=1,…,𝑚𝑚.Soit une grandeur physique définie par= −𝒌𝒌 ∑𝒎𝒎𝒋𝒋=𝟏𝟏𝒑𝒑𝒋𝒋𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒑𝒑𝒋𝒋 , déterminer la distribution des probabilités qui rend 𝑮𝑮 maximale. On utilisera la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Réf.(B .Diu …,P135)
Réf.(B .Diu …,P137)
.
Distribution microcanonique de Gibbs
5
Calculer l’intégrale𝑰𝑰(𝜶𝜶) =∫ 𝒆𝒆−∞+∞ −𝜶𝜶𝒙𝒙𝟐𝟐𝒅𝒅𝒙𝒙.
Onutilisera la procédure suivante :d’abord, on calcule 𝑱𝑱(𝜶𝜶) =∫ ∫ 𝒆𝒆−∞+∞ −∞+∞ −𝜶𝜶(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚 ≡ 𝑰𝑰𝟐𝟐(𝜶𝜶), ensuite on déduit l’intégrale cherchée .
*Calculer le volume
𝚪𝚪
𝐧𝐧 d’une sphère dans un espace àn
dimensions .pour cela , on commence par définir :𝜞𝜞
𝒏𝒏= ∫ … ∫
𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙
𝟏𝟏𝒅𝒅𝒙𝒙
𝟐𝟐… 𝒅𝒅𝒙𝒙
𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐…..+𝒙𝒙𝒏𝒏𝟐𝟐≤𝑹𝑹𝟐𝟐
, R
désigne le rayon de la sphère .dans le cas général , le volume est relie au rayon par la relation simple dépendante de la dimension de la sphère: 𝜞𝜞
𝒏𝒏= 𝑪𝑪
𝒏𝒏𝑹𝑹
𝒏𝒏.
le calcule du volume revient à évaluer la constante 𝐶𝐶𝑛𝑛 en utilisant une autre intégrale plus simple à calculer soit𝑰𝑰𝒏𝒏= � … . .
+∞
−∞
� 𝒆𝒆−𝜶𝜶�𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐…..+𝒙𝒙𝒏𝒏𝟐𝟐�
𝒅𝒅𝒙𝒙
𝟏𝟏𝒅𝒅𝒙𝒙
𝟐𝟐… 𝒅𝒅𝒙𝒙
𝒏𝒏 +∞−∞
6a
Un gaz parfait monoatomique est constitué de 𝑵𝑵 ≫ 𝟏𝟏 atomes et occupe un volume V.l'énergie d'un atome aura l'Expression 2mp��⃗2 ou m est la masse d'un atome et p son impulsion.
On suppose les atomes gaz sont identiques et on traite le problème par la statistique classique.
* Ecrire l'intégrale donnant le nombre d'états accessibles Φ(𝐸𝐸0 ) dans l’approximation semi-classique.
* Montrer que Φ(𝐸𝐸0) =𝐴𝐴(𝑉𝑉).𝐸𝐸0 3𝑁𝑁
2, ou A(V) est une fonction ne dépendant que du volume du gaz.
* Déduire l'entropie et la condition d'équilibre du gaz.
6b
Un gaz moléculaire diatomique parfait dont la molécule est constituée de deux atomes différents (𝑨𝑨𝑨𝑨) est en équilibre à la température 𝑻𝑻, la pression 𝑷𝑷 et le volume 𝑽𝑽.Pour une seule molécule :
* Représenter les degrés de liberté de translation et de rotation
* Ecrire le lagrangien de la molécule et calculer les impulsions généralisées.
* Déduire l'Hamiltonien de translation et de rotation de la molécule.
Pour un gaz de N>>1 molécules
* Ecrire l'Hamiltonien total du gaz
* Rappeler la. Valeur moyenne de l'énergie de translation totale
* Calculer𝚽𝚽(𝑬𝑬𝟎𝟎)associée au mouvement de rotation, déduire 𝛀𝛀(𝑬𝑬𝟎𝟎).
* Déterminer la valeur moyenne de 1'énergie totale de rotation du gaz.
* Calculer la pression et déduire l'équation d'état du gaz diatomique.
* Conclure
7
Deux corps (𝐴𝐴1) et (𝐴𝐴2) d'énergies totales respectives (𝐸𝐸1) et (𝐸𝐸2) se trouvent en équilibre statistique, l’ensemble étant suppose être ferme.- Montrer en général qu’à l'équilibre statistique, l'entropie totale S est maximale pour un système fermé (cours)
- A volume constant : la variable aléatoire est l'énergie 𝐸𝐸1ou 𝐸𝐸2. Montrer que la température est homogène.
A énergie constante: la variable aléatoire est e volume 𝑉𝑉1ou 𝑉𝑉2 . Déduire l'homogénéité de pression.
8
Un système est constitué de 𝑁𝑁 ≫1 particules indépendants de spin½
et de moment magnétique 𝜇𝜇0 chacune .Un champ magnétique est appliqué à l’ensemble donnant lieu à une énergie d’interaction totale𝑬𝑬 . On désigne par 𝒏𝒏 le nombre de moments magnétiques se trouvant dans l’état quantique |+> .* Ecrire l'expression de l'énergie d'interaction totale en fonction de la variable 𝒏𝒏, déduire nombre d'états accessibles du système 𝚽𝚽(𝑬𝑬𝟎𝟎) dont l'énergie est inferieure ou égale a une valeur 𝑬𝑬𝟎𝟎 .
* Pour une fluctuation𝜹𝜹𝑬𝑬 ≪ 𝑬𝑬, calculer le nombre d'états accessibles 𝛀𝛀(𝐄𝐄) du système pour que l'énergie totale soit comprise entre 𝑬𝑬 et (𝑬𝑬+𝜹𝜹𝑬𝑬). Déduire l'expression de l'entropie du système en fonction de l'énergie.
* A l'équilibre du système calculer la valeur de la variable 𝒏𝒏.
* Déterminer l'équation d'état du système, c'est-a-dire, la relation existante entre la valeur du champ externe, le moment magnétique totale et la température d'équilibre. Discuter du résultat obtenu.
* Le système envisage n 'est pas ferme, l'utilisation de la distribution microcanonique est elle justifiée?
* L'énergie magnétique totale des spins est bornée. Quelles conséquences aura -t- on sur les variables physiques de l'équilibre ?
9
On considère une assemblée de N>>1 oscillateurs harmoniques a une dimension et indépendants, dont les propriétés en mécanique classique peuvent être décrites par la fonction D’Hamilton suivante:𝑯𝑯 = ∑
𝑵𝑵𝒊𝒊=𝟏𝟏(
𝒑𝒑𝟐𝟐𝒎𝒎𝒊𝒊𝟐𝟐+
𝟏𝟏𝟐𝟐𝒌𝒌𝒙𝒙
𝒊𝒊𝟐𝟐)
ou (xi, Pi) désigne l'état classique (position et impulsion) d'un oscillateur harmonique unidimensionnel, 𝒎𝒎 est sa masse et𝒌𝒌une constante caractéristique de l’oscillateur.* Calculer le nombre d'états accessibles pour que l'énergie totale du système soit comprise entre𝑬𝑬𝟎𝟎 et + 𝜹𝜹𝑬𝑬𝜹𝜹 .
* Déduire l'entropie de ce système ainsi que l'énergie totale moyenne en fonction de la température.
* En général, les oscillateurs auront une énergie quantifiée dont l'expression peut s'écrire a I ‘aide d'un nombre quantique 𝒏𝒏𝒊𝒊 , pour chaque oscillateur. L'énergie totale aura la forme:
𝑬𝑬 = ∑ ℏ𝝎𝝎(𝒏𝒏
𝒊𝒊 𝒊𝒊+
𝟏𝟏𝟐𝟐)
ou w représente la pulsation d'un oscillateur.* Calculer la quantité 𝛀𝛀(𝐄𝐄𝟎𝟎) ,c'est-à-dire, le nombre d'états accessibles du système pour que l'énergie totale soit comprise entre 𝑬𝑬𝟎𝟎 et 𝑬𝑬𝟎𝟎+𝜹𝜹𝑬𝑬𝟎𝟎 (𝜹𝜹𝑬𝑬𝟎𝟎 ≪ 𝑬𝑬𝟎𝟎).
Afin de simplifier les calculs, on définit le paramètre
𝝀𝝀 = ∑ 𝒏𝒏
𝑵𝑵𝒊𝒊 𝒊𝒊 .A chaque valeur l’énergie correspondra une seule valeur de ce paramètre et la recherche du nombre d’étatsaccessibles revient à trouver le nombre de configurations des nombres quantiques laissant ce paramètre constant.
* Déduire la nouvelle expression de l'entropie ainsi que l'énergie moyenne du système en fonction température d'équilibre.
* Retrouver résultats classiques par passage à la limite des hautes températures.
* Généraliser les résultats obtenus aux cas bi et tridimensionnel.
* Comparer le résultat obtenu dans cas (3D) a celui du gaz parfait. Généraliser au cas des systèmes physiques décrits par une fonction d'Hamilton quadratique des coordonnées et des impulsions.
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Physique statistique smp5 Page 1
Correction
Complément de mécanique analytique.
1
a) définitions :
** 1 seule particule libre : ∎ nombre de degrés de liberté
s=3 ; l’espace de configuration a six dimensions : {𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧; 𝑥𝑥̇; 𝑦𝑦̇; 𝑧𝑧̇}
𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 𝑞𝑞
3= 𝑧𝑧
∎ Lagrangien :
𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 ≡ 𝑇𝑇 ; 𝑈𝑈 = 0 Car particule est libre ⇒ 𝐿𝐿 =
12𝑚𝑚(𝑥𝑥̇
2+ 𝑦𝑦̇
2+ 𝑧𝑧̇
2) ∎ Impulsion généralisées:
𝑝𝑝
𝑖𝑖=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝐿𝐿𝑖𝑖
⇒ 𝑝𝑝
𝑥𝑥=
𝜕𝜕𝑥𝑥̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝
𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝
𝑍𝑍= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇ ⇒ 𝑝𝑝⃗ = 𝑚𝑚𝑟𝑟̇⃗
∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 ≡ 𝑇𝑇 𝐻𝐻 =
12𝑚𝑚𝑟𝑟̇⃗
2⇒ 𝐻𝐻 =
2𝑚𝑚𝑃𝑃�⃗2Conclusion
𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇, 𝑧𝑧̇) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑝𝑝
𝑥𝑥, 𝑝𝑝
𝑦𝑦, 𝑝𝑝
𝑧𝑧�
** Molécule AB :
∎ nombre de degrés de liberté
deux point matériels ont 6 dll et une seule liaison ���𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗�� =𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒������⃗� donc 𝑺𝑺=𝟓𝟓 le choix des coordonnées sera :
𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞
3= 𝑧𝑧 , 𝑞𝑞
4= 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞
5= 𝜑𝜑 suivant le schéma ci-dessous
Le référentiel (OXYZ ) est absolu, le mouvement de translation de la molécule est complètement
déterminé par le vecteur 𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗.
A et B sont deux atomes différents. G est le centre de masse de la molécule. Le référentiel ( Gxyz ) est lié à la molécule ou elle effectué uniquement des mouvements de rotation. On suppose que la molécule est rigide (pas de vibrations) 𝜃𝜃
G
O 𝜑𝜑
Physique statistique smp5 Page 2
∎ Le Lagrangien et toutes les énergies se décomposent : 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡+ 𝐿𝐿
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝐿𝐿
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 12𝑚𝑚(𝑥𝑥
̇
𝑂𝑂2 +𝑦𝑦̇
𝑂𝑂2+ 𝑧𝑧̇
𝑂𝑂2) ≡ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝐿𝐿
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 = 12mAV���⃗
A2 +12mBV���⃗
B2 dans le référentiel lié à G on doit alors exprimer V����⃗A2et V����⃗B2en fonction des vitesses et coordonnées généralisées .L’atome B est repéré dans (Gxyz) :
𝑉𝑉����⃗𝐴𝐴2 = 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟐𝟐𝒍𝒍𝑩𝑩𝜽𝜽̇𝒍𝒍𝑩𝑩𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽+ 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩 𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽+𝟐𝟐𝒍𝒍𝑩𝑩𝜽𝜽̇𝒍𝒍𝑩𝑩𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽+
𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽
𝑉𝑉����⃗𝐴𝐴2 = 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽+ 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽
𝑉𝑉����⃗𝐴𝐴2 = 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽( 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋 + 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 ) +𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 (𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝝋𝝋 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝝋𝝋) + 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 𝑉𝑉𝐴𝐴
����⃗2= 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 + 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽= 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝜽𝜽̇𝟐𝟐+𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒎𝒎𝑽𝑽 �����⃗
𝑩𝑩𝟐𝟐=
𝑰𝑰𝟐𝟐𝑩𝑩�𝜽𝜽̇
𝟐𝟐+ 𝝋𝝋̇
𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟐𝟐𝜽𝜽 �
Pour calculer la contribution de l’atome A ; il suffit de changer 𝑙𝑙𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑙𝑙𝐴𝐴 ; 𝜃𝜃 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟(−𝜃𝜃) ; 𝜑𝜑 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 (−𝜑𝜑)𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑽𝑽 �����⃗
𝑨𝑨𝟐𝟐= 𝑰𝑰
𝑨𝑨𝟐𝟐 �𝜽𝜽 ̇
𝟐𝟐+ 𝝋𝝋̇
𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟐𝟐𝜽𝜽 �
𝒙𝒙 𝒙𝒙=𝒍𝒍𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 B 𝒚𝒚 𝒚𝒚= 𝒍𝒍𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 𝒛𝒛 𝒛𝒛=𝒍𝒍𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 𝑮𝑮𝑨𝑨=𝒍𝒍𝑨𝑨 ; 𝑮𝑮𝑩𝑩= 𝒍𝒍𝑩𝑩
𝒍𝒍𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 − 𝒍𝒍𝑩𝑩 𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 𝑽𝑽𝑩𝑩
�����⃗ 𝒍𝒍𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩 𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 − 𝒍𝒍𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽
𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑽𝑽�����⃗𝑩𝑩𝟐𝟐= 𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝜽𝜽̇𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑’𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑰𝑰𝑩𝑩 =
𝒎𝒎𝒍𝒍
𝑩𝑩𝟐𝟐Physique statistique smp5 Page 3 On pose
𝑰𝑰
𝑮𝑮 =𝑰𝑰
𝑨𝑨 +𝑰𝑰
𝑩𝑩 le moment d’inertie de /𝑂𝑂 .
𝑳𝑳
𝒓𝒓𝒄𝒄𝒓𝒓 =𝑰𝑰
𝑮𝑮𝟐𝟐
�𝜽𝜽
̇𝟐𝟐+ 𝝋𝝋
̇𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟐𝟐𝜽𝜽
�∎ Les impulsions généralisées :
𝑥𝑥𝑂𝑂 → 𝑝𝑝𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦𝑂𝑂 → 𝑝𝑝𝑦𝑦 ; 𝑧𝑧𝑂𝑂 → 𝑝𝑝𝑧𝑧 ; 𝜃𝜃 → 𝑝𝑝𝜃𝜃 ; 𝜑𝜑 → 𝑝𝑝𝜑𝜑
𝑝𝑝
𝑖𝑖=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝐿𝐿𝑖𝑖
⇒ 𝑝𝑝
𝑥𝑥=
𝜕𝜕𝑥𝑥̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝
𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝
𝑍𝑍= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇
𝑝𝑝
𝜃𝜃=
𝜕𝜕𝜃𝜃̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝐼𝐼
𝑂𝑂𝜃𝜃̇ 𝑝𝑝
𝜑𝜑=
𝜕𝜕𝜑𝜑̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝐼𝐼
𝑂𝑂𝜑𝜑̇
sin2θ∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡+ 𝐻𝐻
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝐻𝐻
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 12m
�
ẋ
G2+ ẏ
G2 +𝑧𝑧̇
𝑂𝑂2�
= (𝑝𝑝𝑥𝑥2 +𝑝𝑝𝑦𝑦2+𝑝𝑝𝑧𝑧2) 2𝑚𝑚𝐻𝐻
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 = Lrot = Pθ22IG + Pφ2 2 IG sin2θ on a négligé l’énergie potentiel de la molécule
𝑼𝑼
= 𝐦𝐦𝐀𝐀𝐠𝐠𝐙𝐙𝐀𝐀 + 𝐦𝐦𝐁𝐁𝐠𝐠𝐙𝐙𝐁𝐁𝐔𝐔
= 𝐦𝐦𝐁𝐁𝐠𝐠𝒍𝒍𝑩𝑩𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 − 𝐦𝐦𝐀𝐀𝐠𝐠𝒍𝒍𝑨𝑨𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 ce qui donne :𝐿𝐿 =1
2𝑚𝑚�𝑥𝑥̇𝑂𝑂2 +𝑦𝑦̇𝑂𝑂2+𝑧𝑧̇𝑂𝑂2�+𝐼𝐼𝑂𝑂
2 �𝜃𝜃̇2 +𝜑𝜑̇2𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡2𝜃𝜃 �– (𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙𝐴𝐴− 𝑚𝑚𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙𝐴𝐴)𝑔𝑔𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝜃𝜃 𝐻𝐻 =(𝑝𝑝𝑥𝑥2 +𝑝𝑝𝑦𝑦2 +𝑝𝑝𝑧𝑧2)
2𝑚𝑚 +𝑃𝑃𝜃𝜃2
2𝐼𝐼𝑂𝑂 + 𝑃𝑃𝜑𝜑2
2 𝐼𝐼𝑂𝑂 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡2𝜃𝜃+ (𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙𝐴𝐴)𝑔𝑔𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝜃𝜃
** oscillateur harmonique :
pour un oscillateur harmonique 1D
∎ nombre de degrés de liberté
s = 1
𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑥𝑥̇}
∎ Lagrangien :
𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1
2
𝑚𝑚𝑥𝑥̇
2 −1 2𝑘𝑘𝑥𝑥2∎ Les impulsions généralisées :
𝑥𝑥
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑥𝑥Physique statistique smp5 Page 4
𝑝𝑝
𝑖𝑖=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝐿𝐿𝑖𝑖
⇒ 𝑝𝑝
𝑥𝑥=
𝜕𝜕𝑥𝑥̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇
∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃
𝑥𝑥𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃
𝑥𝑥22𝑚𝑚
+1 2𝑘𝑘𝑥𝑥2
pour un oscillateur harmonique 2D
∎ Nombre de degrés de liberté
s = 2
𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇}
∎ Lagrangien :
𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1
2
𝑚𝑚�
𝑥𝑥̇
2+𝑦𝑦̇
2�
− 12𝑘𝑘
(
𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2)
∎ Les impulsions généralisées :
𝑥𝑥
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑥𝑥; 𝑦𝑦
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑦𝑦𝑝𝑝
𝑖𝑖=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝐿𝐿𝑖𝑖
⇒ 𝑝𝑝
𝑥𝑥=
𝜕𝜕𝑥𝑥̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝
𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇
∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑃𝑃
𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃
𝑦𝑦𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃
𝑥𝑥2+ 𝑃𝑃
𝑦𝑦22𝑚𝑚
+1
2𝑘𝑘
(
𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2)
pour un oscillateur harmonique 3D
∎ Nombre de degrés de liberté
s = 3
𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞
3= 𝑧𝑧 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇, 𝑧𝑧̇}
∎ Lagrangien :
𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1
2
𝑚𝑚�
𝑥𝑥̇
2 +𝑦𝑦̇
2 +𝑧𝑧̇
2�
− 12𝑘𝑘
(
𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 +𝑧𝑧2)
∎ Les impulsions généralisées :
𝑥𝑥
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑥𝑥; 𝑦𝑦
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑦𝑦; 𝑧𝑧
𝑂𝑂→ 𝑝𝑝
𝑧𝑧𝑝𝑝
𝑖𝑖=
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝜕𝜕𝐿𝐿𝑖𝑖
⇒ 𝑝𝑝
𝑥𝑥=
𝜕𝜕𝑥𝑥̇𝜕𝜕𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝
𝑦𝑦= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝
𝑧𝑧= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇
∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧, 𝑃𝑃
𝑥𝑥, 𝑃𝑃
𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃
𝑍𝑍𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃
𝑥𝑥2+ 𝑃𝑃
𝑦𝑦2+ 𝑃𝑃
𝑧𝑧22𝑚𝑚
+1
2𝑘𝑘
(
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 +𝑧𝑧2)
Physique statistique smp5 Page 5
** Pendule simple :
∎ nombre de degrés de liberté :
le point 𝑚𝑚 aura trois coordonnées cartésiennes x, y, z le nombre totale de liaisons est l = 2 , la première vient du fait que le point de suspension est fixe :Z = 0 est l’autre liaison provient de la constante de la longueur du fil de suspension soit d(o, m) = cte
𝑡𝑡 = 1 , On choisit l’angle 𝜃𝜃
𝑥𝑥 = 𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞
1= 𝜃𝜃 , 𝑃𝑃
𝜃𝜃=
𝜕𝜕𝜃𝜃̇𝜕𝜕𝐿𝐿L’espace de configuration �𝜃𝜃, 𝜃𝜃̇�
∎ Lagrangien : 𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈
𝑇𝑇 =
12𝑚𝑚(𝑥𝑥̇
2+ 𝑦𝑦̇
2)=
12𝑚𝑚𝑙𝑙
2𝜃𝜃̇
2𝑈𝑈 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑦𝑦 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃
𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 =
12𝑚𝑚𝑙𝑙
2𝜃𝜃̇
2+ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 ≡ 𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜃𝜃̇)
∎ Les impulsions généralisées :
𝜃𝜃 → 𝑃𝑃𝜃𝜃
𝑝𝑝
𝜃𝜃= 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜃𝜃̇ = 𝑚𝑚𝑙𝑙
2𝜃𝜃̇
∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 (𝜃𝜃, 𝑃𝑃
𝜃𝜃)
𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃
𝜃𝜃22𝑚𝑚𝑙𝑙
2− 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 ≡ 𝐻𝐻 (𝜃𝜃, 𝑃𝑃
𝜃𝜃)
𝑋𝑋⃗
𝑌𝑌�⃗
𝜃𝜃
𝒍𝒍
Physique statistique smp5 Page 6
b) principe de moindre action :
𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
= 0 ; 𝐿𝐿(𝑞𝑞
1, 𝑞𝑞̇
1)
𝛿𝛿𝐿𝐿 = � 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖+
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
� 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞̇
𝑖𝑖; 𝛿𝛿𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
= 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝛿𝛿𝐿𝐿 = �( 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖+ 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖̇
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖)
𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
= � � 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
+ � � 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖̇ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
�����������
𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒
𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
= � � 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
+ �� 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
�
𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑓𝑓
− � � 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑖𝑖=1 𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖(𝑒𝑒
𝑖𝑖) = 𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖�𝑒𝑒
𝑓𝑓� = 0 L’état initial et final.
𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑓𝑓
𝑒𝑒𝑖𝑖
= � �( 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖− 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞̇
𝑖𝑖)
𝑖𝑖
𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0 ∀𝛿𝛿𝑞𝑞
𝑖𝑖𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞̇
𝑖𝑖− 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞
𝑖𝑖= 0 ∀ 𝑖𝑖 ∈ {1,2, … . . , 𝑡𝑡}
On applique les équations différentielles obtenues aux exemples cités en (a) : 𝐿𝐿 =
12𝑚𝑚(𝑥𝑥̇
2+ 𝑦𝑦̇
2+ 𝑧𝑧̇
2) ; 𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞
3= 𝑧𝑧
On obtient 3 équations différentielles : 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 0 ⇒ 𝑥𝑥̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒
Physique statistique smp5 Page 7
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑦𝑦̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑦𝑦̈ = 0 ⇒ 𝑦𝑦̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑧𝑧̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑧𝑧̈ = 0 ⇒ 𝑧𝑧̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 C'est-à-dire : 𝑉𝑉�⃗ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 ������⃗ le mouvement est rectiligne uniforme .
** Molécule AB : 𝐿𝐿
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 12𝑚𝑚
�
𝑥𝑥̇
𝑂𝑂2 +𝑦𝑦̇
𝑂𝑂2+𝑧𝑧̇
𝑂𝑂2� ; 𝐿𝐿
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒 =𝐼𝐼
𝑂𝑂2 �𝜃𝜃̇
2+ 𝜑𝜑̇
2𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡
2𝜃𝜃 � 𝑞𝑞
1= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞
2= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞
3= 𝑧𝑧
�����������������
𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡
, 𝑞𝑞 �����������
4= 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞
5= 𝜑𝜑
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡
Dans ce cas on a un système de 5 équations différentielles ( 3 translation ;2 rotation ) les équations différentielles de translation sont similaire à la particule libre :
𝑚𝑚𝑥𝑥̈
𝑂𝑂= 0 ; 𝑚𝑚𝑦𝑦̈
𝑂𝑂= 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑧𝑧̈
𝑂𝑂= 0 ⇒ 𝑉𝑉 ����⃗
𝑂𝑂= 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 ������⃗
Le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme Pour la rotation ; deux équations différentielles :
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜃𝜃̇ − 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝐼𝐼
𝑂𝑂𝜃𝜃̈ − 𝐼𝐼
𝑂𝑂2 𝜑𝜑̇
2cos 𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜃𝜃̈ − 1
2 𝜑𝜑̇
2cos 𝜃𝜃 = 0 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜑𝜑̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜑𝜑 = 0 ⇒ 𝐼𝐼
𝑂𝑂𝜑𝜑̈ sin
2𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜑𝜑̈ sin
2𝜃𝜃 = 0
** oscillateur harmonique : on prend le cas de (3D) 𝐿𝐿 = 1
2
𝑚𝑚�
𝑥𝑥̇
2 +𝑦𝑦̇
2+ 𝑧𝑧̇
2�
−12𝑘𝑘
(
𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 +𝑧𝑧2) On trouve 3 équations différentielles :
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑦𝑦̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑦𝑦̈ + 𝑘𝑘𝑦𝑦 = 0 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑧𝑧̇ −
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑧𝑧̈ + 𝑘𝑘𝑧𝑧 = 0
Physique statistique smp5 Page 8
** Pendule simple : 𝐿𝐿 =
12𝑚𝑚𝑙𝑙
2𝜃𝜃̇
2+ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃
Une seule équation différentielle : 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜃𝜃̇ − 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑙𝑙
2𝜃𝜃̈ + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜃𝜃̈ + 𝑔𝑔
𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 = 0 c) théorème de Liouville: (OH 1D)
On vient de montrer que 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 ;cherchons l’autre équation par l’impulsion :
avec 𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̇
on pose 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
0cos 𝑤𝑤𝑒𝑒 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝
0sin 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑝𝑝 = 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥̇ = 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ⇒ 𝑝𝑝̇ = 𝑚𝑚𝑥𝑥̈
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝 − 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑝𝑝̇ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0
𝑝𝑝̇ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑝𝑝̈ + 𝑘𝑘
𝑚𝑚 𝑝𝑝 = 0
𝑥𝑥̈ + 𝑤𝑤
2𝑥𝑥 = 0 𝑝𝑝̈ + 𝑤𝑤
2𝑝𝑝 = 0
(𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒)
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
0cos 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝
0sin 𝑤𝑤𝑒𝑒
Évolution
(𝑥𝑥, 𝑝𝑝) (𝑥𝑥′, 𝑝𝑝′)
𝛤𝛤
𝑒𝑒= � 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 Volume de phase à
l’ instant t
𝛤𝛤
𝑒𝑒+Δ= � 𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑝𝑝′
𝑉𝑉𝑟𝑟𝑙𝑙𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝ℎ𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 à 𝑙𝑙’ 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 (𝑒𝑒 + Δ)
(𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒+∆)
𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥
0cos 𝑤𝑤(𝑒𝑒 + ∆)
𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝
0sin 𝑤𝑤(𝑒𝑒 + ∆)
Physique statistique smp5 Page 9
avec 𝑥𝑥
′= 𝑥𝑥′(𝑥𝑥, 𝑝𝑝) et 𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝′(𝑥𝑥, 𝑝𝑝)
D’autre part : ∬ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 = ∬ |𝕁𝕁|𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑝𝑝′
Ou 𝕁𝕁 est le Jakoubien de la transformation (𝑒𝑒) → (𝑒𝑒 + ∆)
𝕁𝕁 = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 �
𝜕𝜕𝑥𝑥′
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥′
𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝑥𝑥′
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑝𝑝′
𝜕𝜕𝑝𝑝
� 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑡𝑡𝑉𝑉𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑙𝑙𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑙𝑙𝑐𝑐𝑉𝑉𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑥𝑥’𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝’𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑡𝑡𝑐𝑐𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝 En effet :
𝕁𝕁 = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 ��
𝜕𝜕𝑥𝑥 ′
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥 ′
𝜕𝜕𝑥𝑥 ′ 𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑝𝑝 ′
𝜕𝜕𝑝𝑝
�� = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 �
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥
0𝑝𝑝
0𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
𝑝𝑝
0𝑥𝑥
0𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆ 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ � = 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡
2𝑤𝑤∆ + 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡
2𝑤𝑤∆= 1
|𝕁𝕁| = 1 ⇒ 𝛤𝛤
𝑒𝑒= 𝛤𝛤
𝑒𝑒+ΔAu cours du mouvement; le volume de phases se conserve.
𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥
0𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥
0𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝
0sin 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝
0𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆ 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒
𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 �����
0𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒
𝑥𝑥
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥
0𝑝𝑝
0𝑝𝑝 �����
0𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒
𝑝𝑝
𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝 �������
0sin 𝑤𝑤𝑒𝑒
𝑝𝑝
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝
0𝑥𝑥
0𝑥𝑥 �����
0𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒
𝑥𝑥
𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
𝑥𝑥′ = 𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥
0𝑝𝑝
0𝒑𝒑 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
𝑝𝑝′ = 𝒑𝒑 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝
0𝑥𝑥
0𝒙𝒙 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆
Physique statistique smp5 Page 10
d) Hamiltonien:
𝑳𝑳(𝑞𝑞1,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑡𝑡,𝑞𝑞̇1,𝑞𝑞2̇ , … ,𝑞𝑞𝑡𝑡̇) → 𝑯𝑯(𝑞𝑞1,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑡𝑡,𝑝𝑝1,𝑝𝑝2, … ,𝑝𝑝𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝐿𝐿=�
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
�𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖+ 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖� On exprime 𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖 en fonction de 𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖 .
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒
𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖 = 𝑝𝑝̇𝑖𝑖 ; 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖 =𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑑𝑑𝐿𝐿 = �
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
�𝑝𝑝̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞
𝑖𝑖+ 𝑝𝑝 ���
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝒅𝒅(𝒑𝒑𝒔𝒔𝒒𝒒̇𝒔𝒔)−𝒒𝒒̇𝒔𝒔𝒅𝒅𝒑𝒑𝒔𝒔
� 𝑑𝑑𝐿𝐿 = �
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
(𝑝𝑝̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞
𝑖𝑖− 𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑝𝑝
𝑖𝑖) + 𝑑𝑑 � 𝑝𝑝
𝑖𝑖𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝑡𝑡
𝑖𝑖=1
𝑑𝑑 �� 𝑝𝑝
𝑖𝑖𝑞𝑞̇
𝑖𝑖− 𝐿𝐿
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
��������� �
𝐻𝐻
= �
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
(𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑝𝑝
𝑖𝑖− 𝑝𝑝̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞
𝑖𝑖)
𝑑𝑑𝐻𝐻 = �
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
(𝑞𝑞̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑝𝑝
𝑖𝑖− 𝑝𝑝̇
𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞
𝑖𝑖)
Les équations canoniques d’Hamilton.
d) particule relativiste libre: (𝐸𝐸𝑥𝑥𝑡𝑡𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡)
Une particule de masse 𝑚𝑚 , de vitesse 𝑣𝑣⃗ et dont la fonction de Lagrange est donnée par :
𝐿𝐿=−𝛼𝛼 �1−𝑣𝑣2
𝑐𝑐2 ; 𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡.
∎ 𝑡𝑡 = 3 ;
𝜀𝜀
𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑓𝑓= �𝑥𝑥; 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑣𝑣
𝑥𝑥, 𝑣𝑣
𝑦𝑦, 𝑣𝑣
𝑧𝑧� ≡ {𝑟𝑟⃗, 𝑣𝑣⃗}.
𝜕𝜕𝐻𝐻
𝜕𝜕
𝑞𝑞
𝑖𝑖=−𝑝𝑝
̇𝑖𝑖𝜕𝜕𝐻𝐻
𝜕𝜕
𝑝𝑝
𝑖𝑖=𝑞𝑞
̇𝑖𝑖Physique statistique smp5 Page 11
∎
Calcul de 𝛼𝛼 : on sait que ; lorsque
𝑣𝑣𝑐𝑐→ 0 ; la particule devient classique de lagrangien.
𝐿𝐿
𝑐𝑐𝑙𝑙𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑞𝑞𝑉𝑉𝑒𝑒= 1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗
2⇒ lim
𝑣𝑣𝑐𝑐→0
𝐿𝐿 = 1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗
2𝑣𝑣
lim
𝑐𝑐→0
𝐿𝐿 ≈
−𝛼𝛼�
1−12 𝑉𝑉2
𝐶𝐶2
�
≡ −𝛼𝛼+𝛼𝛼 2𝑉𝑉2 𝐶𝐶2 Or 𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿+𝛼𝛼 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑉𝑉𝑖𝑖𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡
𝑣𝑣
lim
𝑐𝑐→0
𝐿𝐿 ≅
𝛼𝛼2 𝑉𝑉2 𝐶𝐶2 =
1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗
2⇒
𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2𝑳𝑳= −𝒎𝒎𝒄𝒄𝟐𝟐�𝟏𝟏 −𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝑝𝑝⃗ = 𝜕𝜕𝐿𝐿
𝜕𝜕𝑉𝑉�⃗= 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗
�𝟏𝟏 − 𝒗𝒗𝒄𝒄𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑙𝑙
′ℎ𝑡𝑡𝑚𝑚𝑖𝑖𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑡𝑡 ∶ 𝐻𝐻
2= (𝑝𝑝⃗𝑣𝑣⃗ − 𝐿𝐿)
2= 𝑝𝑝⃗
2𝑐𝑐
2+ 𝑚𝑚
2𝑐𝑐
4𝑆𝑆𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑐𝑐
2≪ 𝑝𝑝𝑐𝑐 ⇒ 𝐻𝐻 ≅ 𝑝𝑝. 𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒
Physique statistique smp5 Page 12
Probabilités et rappels.
2 puisque la probabilité est la même en tout point, alors la densité de probabilités est la une constante.
𝜌𝜌 = 𝑑𝑑𝒫𝒫
𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑝𝑝
𝑣𝑣 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑣𝑣 𝑉𝑉
n molécule se trouvent dans le volume , (𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑡𝑡 ) et le reste (N-n) sont a l’extérieur de 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 (1− 𝑝𝑝)𝑡𝑡
nous avons deux événements à réaliser ;il reste à définir les n molécule parmi N : 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑡𝑡 = 𝑁𝑁!
𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)!
𝒫𝒫 (n) = 𝑁𝑁!
𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝
𝑡𝑡(1 − 𝑝𝑝)
𝑁𝑁−𝑡𝑡𝑞𝑞𝑉𝑉𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑟𝑟𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑙𝑙𝑒𝑒 On montre que 〈𝑡𝑡〉 = 𝑁𝑁𝑝𝑝
𝑡𝑡� = � 𝑡𝑡𝒫𝒫(n) =
𝑁𝑁 𝑡𝑡=0
� 𝑡𝑡 𝑁𝑁!
𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝
𝑡𝑡(1 − 𝑝𝑝)
𝑁𝑁−𝑡𝑡𝑁𝑁
𝑡𝑡=0
𝑡𝑡� = � 𝑁𝑁!
(𝑡𝑡 − 1)! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝
𝑡𝑡(1 − 𝑝𝑝)
𝑁𝑁−𝑡𝑡𝑁𝑁 𝑡𝑡=1
, 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚 = 𝑡𝑡 − 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 + 1
𝑡𝑡� = � 𝑁𝑁!
𝑚𝑚! (𝑁𝑁 − 1 − 𝑚𝑚)! 𝑝𝑝
(𝑚𝑚+1)(1 − 𝑝𝑝)
(𝑁𝑁−1−𝑚𝑚)𝑁𝑁−1 𝑚𝑚=0
, 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑁𝑁
′= 𝑁𝑁 − 1
𝑡𝑡�= 𝑁𝑁𝑝𝑝 � (𝑁𝑁 −1)!
𝑚𝑚! (𝑁𝑁 −1− 𝑚𝑚)!𝑝𝑝𝑚𝑚(1− 𝑝𝑝)(𝑁𝑁−1−𝑚𝑚)
𝑁𝑁−1 𝑚𝑚=0
=𝑁𝑁𝑝𝑝 � 𝑁𝑁′!
𝑚𝑚! (𝑁𝑁′ − 𝑚𝑚)!𝑝𝑝𝑚𝑚(1− 𝑝𝑝)�𝑁𝑁′−𝑚𝑚�
𝑁𝑁′
𝑚𝑚=0�����������������������
(𝑝𝑝+1−𝑃𝑃)𝑁𝑁′
〈𝑡𝑡〉 = 𝑁𝑁𝑝𝑝 la fluctuation statistique de n :
𝛿𝛿𝑡𝑡 =�𝑡𝑡��� − 𝑡𝑡�2 2�1�2 𝑡𝑡2
���= �
𝑡𝑡
2𝑁𝑁!
𝑡𝑡!
(𝑁𝑁 − 𝑡𝑡
)! 𝑝𝑝
𝑡𝑡�1 − 𝑝𝑝
�𝑁𝑁−𝑡𝑡 𝑁𝑁𝑡𝑡=0
=
�𝑡𝑡 𝑁𝑁!
�
𝑡𝑡 − 1
�!
(𝑁𝑁 − 𝑡𝑡
)! 𝑝𝑝
𝑡𝑡�1 − 𝑝𝑝
�𝑁𝑁−𝑡𝑡 𝑁𝑁𝑡𝑡=1
𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚= 𝑡𝑡 −1 ,𝑡𝑡= 𝑚𝑚+ 1