Exercices corrigés
Théorème de Pythagore
4eExercice du losange
Le côté d’un losange mesure 27,4 cm et l’une de ses diagonales 42 cm.
Quelle est la longueur de sa seconde diagonale ? Correction :
SoitABCD un losange de centreO tel queAB = 27,4 cm etAC = 42 cm.
A
B
C
D O
XABCD est un losange.
Or : « Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales se coupent en leur milieu » . DoncO est le milieu de [AC] etAO=AC÷2 = 42÷2 = 21 cm.
XABCD est un losange.
Or : « Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires » . DoncAOB est un triangle rectangle.
XAOB est un triangle rectangle, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : AB2 =AO2+OB2
OB2=AB2−AO2
OB2= 27,42−212 = 309,76 OB=√
309,76 = 17,6
XCommeO est le milieu de [DB] :DB=OB×2 = 17,6×2 = 35,2 cm.
Finalement la seconde diagonale de ce losange mesure 35,2 cm.
Exercice du tremplin
Un tremplin sur un parcours de mini-golf a la forme d’un prisme droit à base triangulaire.
Le revêtement posé sur l’une de ses faces, en gris sur la figure, a coûté 128,52e.
Quel est le prix au mètre-carré de ce revêtement ? Justifier.
A
B
C
D E
F 1,8 m
2,4 m
0,7 m
Correction :
Le triangleBCF est rectangle enF, d’après le théorème de Pythagore : BC2=CF2+F B2
BC2= 2,42+ 0,72 BC2= 6,25 BC=√
6,25 BC= 2,5
Maintenant qu’on connait la longueurBC, on peut calculer l’aire du rectangleABCD : AABCD=DC×BC = 1,8 m×2,5 m = 4,5 m2
4,5 m2 de revêtement ont coûté 128,52e, calculons le prix d’un mètre-carré : 128,52÷4,5 = 28,56
Ce revêtement coûte donc 28,56
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e le mètre-carré.Exercices corrigés
Théorème de Pythagore
4eExercice du parallélogramme
EF GH est un parallélogramme tel que :EF = 36 ;EH = 77 ;HF = 85.
EF GH est-il un rectangle ? Correction :
Dans le triangleEF H, le plus grand côté est [HF].
HF2 = 852= 7 225
EF2+EH2 = 362+ 772 = 7 225
On constate queHF2 =EF2+EH2, donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle EF H est rectangle en E.
Le parallélogrammeEF GH a un angle droit en E.
On sait que : « si un parallélogramme possède un angle droit alors c’est un rectangle » donc EF GH est un rectangle.
Exercice de l’autre parallélogramme
ABCDest un parallélogramme tel que :AD= 6,5 ; BD= 6,6 ; AC = 11,3.
ABCDest-il un losange ? Correction :
ABCDest un parallélogramme. Or : « si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. » DonO est le milieu de [AC] et de [BD].
Ainsi,AO=AC÷2 = 11,3÷2 = 5,65 et DO=BC÷2 = 6,6÷2 = 3,3.
Dans le triangleAOD, le plus grand côté est [AD].
AD2= 6,52 = 42,25
AO2+DO2= 5,652+ 3,32 = 42,8125
On constate queAD26=AO2+DO2, il n’y a pas l’égalité de Pythagore donc le triangleAODn’est pas rectangle, autrement dit, les diagonales deABCD ne sont pas perpendiculaires.
On sait que « si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires ». Ici, les diagonales ne sont pas perpendiculaires doncABCD n’est pas un losange.
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Exercices corrigés
Théorème de Pythagore
4eExercice de la diagonale du pavé ABCDEF GH est un pavé droit tel que : AB= 12 cm ; BF = 3 cm ; GF = 4 cm.
Calcule la longueur d’une diagonale de ce pavé droit.
A B
D C
E F
G H
Correction :
Pour calculer la longueurAGde la diagonale du pavé , il faut d’abord déterminer la longueur AC.
La faceABCDdu pavé est un rectangle. Les rectangles ont quatre angles droits donc le triangleABC est rectangle enB et son hypoténuse est [AC].
D’après le théorème de Pythagore :AC2=AB2+BC2.
(Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur doncBC = GF = 4 cm.) AC2= 122+ 42
AC2= 160 AC=√
160
Dans un pavé droit, les faces sont perpendiculaires entre elles donc le triangle ACG est rectangle en C et son hypoténuse est [AG].
D’après le théorème de Pythagore :AG2=AC2+CG2.
(Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur doncCG = BF = 3 cm.) AG2= 160 + 32
AG2= 169 AG=√
169 AG= 13
Finalement, une diagonale de ce pavé mesure 13 cm.
