Le théorème de Sard

Le théorème de Sard

A. Lesfari

Département de Mathématiques Faculté des Sciences

Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc.

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Un ensembleA⊂R^m est dit de mesure nulle si pour toutε >0, il existe un recouvrement dénombrable de cubes tels que leur volume total soit inférieur à ε. Dans ce cas, on dit que le complémentaireR^m\Aest un ensemble dense dans R^m. De même, pour une variété M de dimension m, un ensemble B ⊂M est dit de mesure nulle dansM si pour toute carte (U, ψ)deM, l'imageψ(A∩B) est de mesure nulle dansR^m.

Soient M, N deux variétés diérentiables etϕ:M −→N une application lisse. Un pointx∈M est dit critique de ϕsi la diérentielle

dϕ_x :T_x −→T_ϕ(x),

a un rang strictement inférieur à dimM, autrement dit si ϕ n'est pas une submersion au point x. Si C ⊂M est l'ensemble des points critiques (ou lieu critique) deϕ, alors on dira queϕ(C)est l'ensemble des valeurs critiques deϕ etN\ϕ(C) n'est autre que l'ensemble des valeurs régulières de ϕ. Notons que pourdimM <dimN, tout point de la variété M est un point critique deϕet dans ce cas les valeurs critiques sont les points de l'ensembleϕ(M). Nous allons étudier le théorème (ou lemme comme on l'appelle parfois) de Sard qui sera utilisé dans proposition 11.2.1. Il permet d'avoir des informations utiles sur l'ensembleϕ(C)des valeurs critiques. Nous verrons que celui-ci est négligeable même dans le cas où l'ensembleC des points critiques n'est pas négligeable ou même considérable.

Théorème 1 Soient ϕ : M −→ N une application lisse et C l'ensemble de ses points critiques. Alors l'ensemble des valeurs critiques ϕ(C) de ϕ est de mesure nulle dans N. En outre, l'ensemble des valeurs régulières N\ϕ(C) est dense dans N.

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Démonstration : Soit(U_j, ψ_j)une suite de cartes deM telle que les ouvertsU_j forment un recouvrement de M et pour tout j, ϕ(Uj) soit contenu dans une carte de N. Pour démontrer le théorème, il sut de montrer que pour tout j, l'ensemble ϕ(C ∩ U_j) est de mesure nulle. Il sut évidemment de prouver le résultat au cas où M = U est un ouvert de R^m et N = Rⁿ. La preuve va se faire par récurrence sur m. Pour m = 0, le résultat est évident car il y a au plus un point dans l'ensemble des points critiquesC ≡C₀ deϕ. En posant

C_k =

½

x∈ U : ∂^αϕ(x)

∂x^α = 0,∀α∈N^m tel que |α| ≤k

¾

, k ∈N^∗

on obtient une suite décroissante de fermés

C ≡C₀ ⊃C₁ ⊃C₂ ⊃ · · · ⊃C_k ⊃C_k+1 ⊃ · · · et on note queϕ(Ck\Ck+1) est mesurable.

(i) Montrons que ϕ(C₀\C₁) est de mesure nulle. En eet, soient ξ ∈ C₀\C₁ et ϕ₁, ..., ϕ_n les fonctions coordonnées de ϕ. Comme ξ /∈ C₁, alors parmi les dérivées partielles d'ordre1deϕ, il existe une qui est non nulle en ξ. On peut moyannant un changement de coordonnées supposer que c'est ^∂ϕ_∂x1¹(ξ). Le rang de l'application

f :U −→R^m, (x₁, ..., x_m)7−→(ϕ₁(x₁, ..., x_m), x₂, ..., x_m),

est égal à m au point ξ. D'après le théorème d'inversion local, il existe donc un voisinage ouvert V de ξ dans U tel que f induise un diéomorphisme de V surW ≡f(V) def(ξ) dans R^m. L'ensemble C₀\C₁ peut être recouvert par une famille dénombrable d'ensembles V. En remplaçant ϕ par l'application composée

g ≡ϕ◦f⁻¹ :W −→Rⁿ,

et U par W, l'application g envoie W sur Rⁿ. En outre, les valeurs critiques de g sont les mêmes que celles de la restriction de ϕ à V. Autrement dit, l'ensemble des points critiquesC⁰ deg coincide avec f(V ∩C)et doncg(C⁰) = ϕ(V ∩C)est l'ensemble des valeurs critiques deg. Dès lors, si prR^k désigne la projection canonique deR^k sur sa première composante, on peut supposer que prRⁿ.ϕ = prR^m. Autrement dit, chaque point (t, x2, ..., xm) ∈ W est envoyé par l'application g vers le point g(t, x₂, ..., x_m) de l'hyperplan t×Rⁿ⁻¹. Pour tout t, les dérivées partielles de l'application partielle

g^t :¡

t×R^m−1¢

∩ W −→t×Rⁿ⁻¹, induite parg vérient

det µ∂g_i

∂x_j

¶

= det

µ∂(g^t)_i

∂x_j

¶ ,

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où µ

∂gi

∂x_j

¶

=

à 1 0

? _∂x^∂git_j

! ,

est la matrice jacobienneg. Donc un point appartenant à t×R^m−1 est critique pourg^tsi et seulement si il est un point critique deg. En appliquant l'hypothèse de récurrence à l'application g^t, on en déduit que l'ensemble de ses valeurs critiques sont de mesure nulle dans t×Rⁿ⁻¹. Dès lors, l'intersection g(C⁰)∩ (t × Rⁿ⁻¹) est un ensemble de mesure nulle pour tout t ∈ R et d'après le théorème de Fubini, l'ensemble des valeurs critiques g(C⁰)est aussi de mesure nulle.

(ii) Supposons maintenant que k ≥ 1 et montrons que ϕ(C_k\C_k+1) est de mesure nulle. En eet, soitξ ∈C_k\C_k+1. Dès lors, il existe une dérivée partielle v d'ordre j de ϕ qui est non nulle au point ξ et que l'une de ses dérivées premières n'est pas nulle :

v(ξ) = 0, ∂v

∂x_j(ξ)6= 0.

Par un changement de coordonnées, on peut supposer quej = 1. L'application dénie par

f :U −→R^m, (x₁, ..., x_m)←→(v(x₁, ..., x_m), x₂, ..., x_m),

est de rang m au point ξ. D'après le théorème d'inversion local, f est un diéomorphisme d'un voisinage ouvert V de ξ dans U sur un voisinage W de (0, ξ₂, ..., ξ_m) dans R^m. L'image f(C_k∩ V) par f est contenu dans l'hyperplan v(ξ) = 0. Dès lors, l'application f envoie C_k∩ V dans 0×R^m−1. Considérons comme précédemment l'application

g ≡ϕ◦f⁻¹ :W −→Rⁿ, et sa restriction

g_r :¡

0×R^m−1¢

∩ W −→Rⁿ.

L'hypothèse de récurrence entraîne que l'ensemble des valeurs critiques de gr

est de mesure nulle dans Rⁿ. Les points critiques de l'application g sont les mêmes que ceux de la restriction g_r; tout point de l'ensemble f(C_k ∩ V) est un point critique de gr puisque toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à k s'annulent en ces points et en particulier le rang de ϕest inférieur à n. Dès lors, l'ensemble g_r ◦f(C_k ∩ V) est de mesure nulle dans Rⁿ et cet ensemble n'est autre queϕ(Ck∩ V). Comme l'ensembleCk\Ck+1 peut être recouvert par une famille dénombrable de voisinagesV, on en déduit que ϕ(C_k\C_k+1)est de mesure nulle.

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(iii) On montre enn que l'ensemble ϕ(C_k) est de mesure nulle pour k su- samment grand ; k > ^m_n −1. En eet, soit K un cube de longueur d'arête d dans U. Il résulte de la formule de Taylor et de la dénition de C_k que

ϕ(ξ+h) = ϕ(ξ) +R(ξ, h), où

kR(ξ, h)k ≤αkhk^k+1, (α =constante)

pour tout ξ ∈ C_k ∩K et tout point ξ +h ∈ K. Divisons chaque arête du cubeK en l sous-intervalles de longueur ^d_l. On obtient ainsi une partition de K en l^m cubes, chacun d'arête ^d_l et de volume ^d_l^mm . Désignons par K₁ l'un de ces cubes qui contient le point ξ ∈ C_k. Pour tout point ξ +h ∈ K₁, on a khk ≤ √

m^d_l. Dès lors, l'ensemble ϕ(K₁) est contenu dans un cube d'arête

β

l^k+1 oùβ ≡2α(√

md)^k+1 et de centreϕ(ξ)dansRⁿ. L'ensembleϕ(C_k∩K)est donc contenu dans la réunion desl^m cubes dont le volume totalV satisfait à

V ≤l^m µ β

l^k+1

¶_n

=βⁿl^m−n(k+1).

Par hypothèse, on ak+ 1 > ^m_n, donc pour d → ∞, le volume V tend vers 0, d'ou le résultat.

Passons maintenant à la preuve que l'ensemble des valeurs régulièresN\ϕ(C) est dense dans N. En eet, raisonnons par l'absurde en supposant que l'en- sembleN\ϕ(C)n'est pas dense dansN. Dans ce cas, on peut trouver un ouvert

∅ 6= Ω ⊂ N dont tous les éléments sont des valeurs critiques. Par hypothèse, la variété N est lisse, donc Ω est diéomorphe à un ouvert ∆ de R^p. Comme

∆ n'est pas de mesure nulle, l'ouvert Ω est aussi de mesure non nulle ce qui est en contradiction avec le fait que l'ensemble des valeurs critiques de ϕ est de mesure nulle. Ce qui achève la preuve du théorème.¤

Exemple 1 La fonction f :R→R dénie par

ϕ(x) =

½ e^−x12 si x >0 0 si x≤0

est lisse. L'ensemble des points critiques deϕest]−∞,0]tandis que l'ensemble des valeurs critiques de ϕ n'est autre que {0}.