Extensions cycliques de degré $\ell $ de corps de nombres $\ell $-réguliers

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

F

LORENCE

S

ORIANO

Extensions cycliques de degré ` de corps de

nombres `-réguliers

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

6, n

o

_{2 (1994),}

p. 407-420

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1994__6_2_407_0>

© Université Bordeaux 1, 1994, tous droits réservés.

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Extensions

_cycliques

de

_{degré l}

de

_corps

de nombres

_{l-réguliers.}

par FLORENCE SORIANO

ABSTRACT. - We determine all cyclic extensions L of _{prime degree l} over a _l-regular number field K _containing the l-roots of _unity which are also l-regular. We classify these extensions _according to the ramification index of the wild _{place L} in _L/K and to the l-valuation of the relative class number

hL/K

(which is the quotient hL/hK of the _ordinary class numbers of L and

K).

We study the case where the l is odd _prime, since the even case was

studien _by R. BERGER. Our genus theory methods rely essentially on G. GRAS and J.-F JAULENT’s results.

1. Introduction

Soit t un nombre

_{premier impair}

et soit K un _corps de nombres contenant

une racine

_{primitive fième}

de l’unité

(. D’après

G. GRAS et J.-F JAULENT

(cf.

[GJ])

nous avons _:.

1.1 DÉFINITION. Le _corps de nombres K est dit

_{£-régulier lorsque la}

f-partie

R2(K) du

noyau des

symboles réguliers

dans

K2 (K)

est nulle.

En

_fait,

comme nous avons

supposé

ici que K contient les racines

fières

de

_l’unité,

la notion de

_{-régularité}

se trouve coïncider avec celle de la

.-rationnalité introduite _{par T.} NGUYEN

_QUANG

Do et H. MOVAHHEDI

_(cf.

[JN]).

Plus

_{précisément, d’après}

_[GJ],

nous avons :

1.2

THÉORÈME.

Soit K un _corps de nombres contenant

_(,

les assertions suivantes sont

_{équivalentes :}

(i)

Le _groupe de

_gal(MIK)

de la £-extension abélienne f-

_ramifiée

oo-décomposée

maximale de K est un libre de _{rang cx} -f-

1,

où cK

désigne

le nombre de

_{places complexes}

de K.

(ii)

Le _corps K

_vérifie

la

_conjecture

de

_Leopoldt

_(pour

le nombre

_premier

.~),

et le sous-module de torsion

_TK

_de!gal(MIK)

est nul.

(iii)

Le _corps K

_possède

une

_unique

place £

au dessus de

_f,

et son

.-groupe des l-classes

Cf’ K

d’idéaux est nul.

(iv)

Le _corps de nombres K est

_l-régulier.

Les _corps

_{£-réguliers}

contenant les racines

lièmes

de l’unité forment une

classe de corps

particulièrement

intéressants du

point

de vue de

l’arithmé-tique

puisqu’ils

vérifient simultanément les

_conjectures

de

_Leopoldt

et de Gross pour des raisons

purement

algébriques

alors même

_qu’ils

ne sont nullement abéliens

_(en

_général)

ni même

_galoisiens

sur

Q.

Nous nous _proposons ici de déterminer toutes les extensions L d’un _corps

l-régulier K, cycliques

et

_{l-régulières,}

_puis

de les classifier en fonction de

l’indice de ramification de la

_place

sauvage ,C de K dans L et de la l-valuation du nombre de classes relatives. Nous nous

plaçons

ici dans

le cas où £ est

_impair,

le cas

(l=2)

_ayant

été traité _par R. BERGER dans

[B].

Notre

_point

de

_départ

est le résultat suivant établi dans

_{~GJ~ :}

1.3

THÉORÈME.

Soit K un _corps de nombres

_{contenant (,}

et soit L une l-extension

_galoisienne

de

_K,

les

_propriétés

suivantes sont

_{équivalentes :}

(i)

Le _corps L est

_l-régulier.

(ii)

Le _corps K est

_l-régulier,

et l’ensemble S des

_places

de K

_qui

se

ramifient

modérément dans l’extension

_L/K

est

_primitif

_(autrement

dit les

logarithmes

de Gras

_.~g(~)

des

_places

de S

_forment

une d’un

sous-module _pur du _groupe de Galois de la

_composée

Z des

_{Z/,-extensions}

de

K).

Remarque.

les

_{places p}

de la caractérisation

_(ii)

ci-dessus sont donc néces-sairement des

_{places ultramétriques étrangères}

à ~. Nous les

_appelons

modérées dans ce

qui suit,

_par

opposition

avec la

place

_sauvage ,C.

1.4

DÉFINITION.

_Lorsque

l’ensemble des

_places

de K

_qui

se

ramifient

mo-dérément dans l’extension

_L/K

est

_primitif,

on dit _que

L/K

est

primitive-ment

_ramifiée.

Le théorème de

Cebotarev

montre que tout ensemble

_primitif

de

_places

de K de cardinal sK 1 + cK +

bx,

où

_6K

est le défaut de la

_conjecture

de

_Leopoldt,

_peut

être

_complété

d’une infinité de

_façons

en un ensemble

S

_primitif

maximal. Comme

_Qal(ZIK)

est un

Z/,-module

libre de _rang

cx + 1 +

ÔK,

et _que tout _corps de nombres

_régulier

vérifie la

_conjecture

de

Leopoldt,

le cardinal d’un tel S dans ce cas est

_toujours

1 +

-régulier,

et on retiendra

_qu’une

extension

L/K

cyclique

de

degré

est

£-régulière

si et seulement s’il existe un ensemble

primitif

maximal S tel _que

L soit incluse dans la £-extension

M8

£-élémentaire S-modérément ramifiée

oo-décomposée

maximale de K.

2. Etude de la structure de

_puis

de

2.1 STRUCTURE DU GROUPE DE GALOIS.

Désignons

par

MS

la £-extension S-modérément ramifiée

(oo-décomposée)

maximale du corps de nombres

K;

nous avons évidemment:

D’après

(cf.

[JN]

Th

_2.3),

nous avons donc:

où

_désigne

le .~-adifié du _groupe

_{multiplicatif}

_K§

du

_complété

_{en p du}

corps de nombres K.

Et la

_{décomposition canonique}

_gO

x

( 1 + p)

x

7r~

où est le _groupe des racines de l’unité d’ordre

_{(Np - 1)}

dans et _7rp une uniformisante

de

_{Kp ,}

nous donne alors

_{l’isomorphisme :}

puisque

le terme médian _1+P)e est _{trivial pour p}

_’

_l,

et que

_IÀO

_p contient

évidemment les racines

fièmes

de l’unité dès

_qu’il

en est de même de K.

2.2 PROPOSITION. Si K est un _corps de nombres

£-régulier

_qui

contient les

racines

fièmes

de

_l’unité,

pour tout ensemble

f-primitif

maximal S de

places

modérées,

le _groupe de Galois

gal(M

_K

de la f-extension ,S-modérément

2.3 STRUCTURE DE

Si le

_quotient

du groupe

_ES

des S U

_tf-1-

unités au sens

ordinaire,

par sa

_puissance

l’isomorphisme

de dualité

(cf.

[GJ]

Cor

4.2.)

s’écrit aussi

_grâce

au

§2.1:

Lorsque x

est un

représentant

du _groupe

_quotient

l’extension

est

_{oo-décomposée}

_(puisque

K est totalement

_imaginaire)

et non

ramifiée en dehors des

_places

de S et de celles divisant î. Le

_quotient

E’S/E’Se

est donc un _sous-groupe du radical de l’extension

MS/K.

La

théorie de KUMMER établissant une dualité entre les _groupes

Qal(MS / K)

et

Rad(Ms 1 K),

de

_{l’égalité}

des ordres nous obtenons enfin:

2.4

THÉORÈME.

Soient K un _corps de nombres

£-régulier

contenant une

racine

_primitive

de

_l’unité,

f- sa

_place

_sauvage, S un ensemble

primitif

maximal de

_places

de

_K,

il existe exactement

( ~_1 )

extensions non

triviales

_{£-régulières}

de

_degré

Ê.

Ce sont exactement les extensions de la

_forme

_K(

~)

où u est un

représentant

de l’une

_quelconque

des

_{(£2(CK+l) -}

₁₎

classes non triviales

de

Plus

_{précisément,}

si f- est la

_place

_sauvage de

_K,

si les

_1,...,

cK +

_2}

sont les

_(cK

+

₂₎

_{uniformisantes}

associées auac

_places

de Su

~,C~

de

_{K, puis}

si =

_{1, - - - ,}

cx - 1 }

_{est un}

_système

de

(CK - 1)

unités

fondamentales

de

_K,

les extensions L cherchées sont les extensions de la

forme

où les entiers

_{i, kj}

et

_h

sont non simultanément

_multiples

de

_i,

et tels

3. Les extensions

_L/.K

non modérément ramifiées

Désormais,

L/K

est une extension

cyclique

de

degré

non ramifiée en

les

_places

_modérées,

de _corps de nombres

_{.~-réguliers}

contenant une racine

primitive

de l’unité. Le lemme

_{d’approximation}

simultanée _par les S-unités

_(cf

_[JN],

Cor.

_4.3),

nous donne

_{l’ isomorphisme :}

ce

_qui

nous

_permet

de considérer le

quotient

du _groupe des -unités _par le

"’

R.

sous _groupe de ses

puissances

.e’ternes

(soit

comme un _sous-groupe

de Il existe ainsi une classe

{3

=

cl(T)

de vérifiant :

f- G G G

L =

K( $1) .

Par

suite,

notons G le _groupe de Galois de l’extension _et

hr

l’ordre du

_-groupe

des classes

_ambiges

de L. L’extension

_L/K

étant

.e-régulière,

les classes d’idéaux de L sont

_engendrées

_par la classe de la seule

place

sauvage, et sont ainsi des classes

_ambiges.

La formule des classes

ambiges:

où

_{ep (L 1 K)}

est l’indice de ramification de la

_{place finie p}

dans

est le

_degré

de l’extension locale associée à la

_place

infinie p de

K,

EK

est le _groupe des unités de

_K,

et est le groupe des normes

dans

_L/K,

devient donc:

l- 1--l

3.1 LEMME. Les unités de K sont toutes normes

_globales

dans l’extension

L/K.

Preuve.

_{Si p}

est une

_{place ultramétrique}

_modérée,

_{alors p}

est non

ramifiée,

si bien _que

_d’après

la théorie du _corps de classes

_locale,

les unités de K sont

normes locales en _p. On déduit de la formule du

produit

_que toute unité est norme locale

_partout

et donc norme

_globale

de l’extension

La formule des classes

_ambiges

devenue

hL

=

hK

x

e~ ~L/K) ,

nous amène

cas : ~ ~

hK,

de sorte _que G est ramifiée dans l’extension

_L/K

et on

a (hL = hK).

2iè’’’’’’’e

cas :

flhK,

le _groupe de Galois

ClK

de la f-extension abélienne

maximale non ramifiée

oo-décomposée

C de K n’est _pas trivial.

Ainsi,

puisque

l’extension C n’est _pas confondue avec le _corps de nombres

K,

et

qu’elle

est de

_plus

contenue dans la £-extension ~-ramifiée maximale M de K

_qui

coïncide avec la

composée

Z des

Ze-extensions

de

K,

elle contient une

_unique

sous-extension

cyclique

de

degré

~,

non ramifiée et donc inerte

en

G,

et nous avons

(hL

=

hKlf).

3.2 THÉORÈME. Soit

_L/K

une extension

cycliques

de

degré ~;

non

ram-ifiée

en dehors de

Ê,

de _corps de nombres

£-réguliers,

contenant une racine

primitive fième

de l’unité. Alors il existe une classe

cl(T)

non triviale de

telle

_qu’on

ait L =

K(

Deux _{cas se}

présentent

alors :

(i)

Pour

_{(Ê t hK), la}

_place

_sauvage G est

_toujours

_ramifiée

dans

_L/K

et

on a

(hL

=

hK)

donc

(ii)

Pour il existe une

_unique

extension

LIK

inerte en G. Les

autres telles extensions sont donc

_ramifiées

en la

place

_sauvage en G.

4. Les extensions

_L/K

ramifiées en une

_place

modérée

A

_présent,

on _{suppose que}

L/K

est une extension

cyclique

de

degré

ramifiée en au moins une

_place

_modérée,

de _corps de nombres

_~-réguliers

et contenant une racine

_primitive

de l’unité. Il existe donc une classe

cl (u) =

~3

dans telle _que l’on ait L =

K(

~).

Notons

que l’extension

L/K

étant ramifiée et de

degré

premier,

l’ordre

hx

divise

hL,

et le nombre relatif de classes

_hL/K

est un entier.

4.1 LEMME. Sous ces

_hypothèses,

si t

_désigne

le nombre de

_places

modérées

ramifiées

dans l’extension

_LIK,

l’indice

_normique

_{(EK :}

EK

_{n NLK)}

est

4.2 PROPOSITION.

_Toujours

sous ces

_hypothèses,

l’une des assertions

sui-vantes est

_vérifiée:

(i)

La

_{place sauvage G}

se

ramifie

dans

LIK

et =

É) .

(ii)

La

_place

_sauvage G est inerte dans l’extension

_L/K,

et

_(hL~K

=

1).

Dieux cas sont alors à

_{envisager :}

. _ou bien

_auquel

cas

(.e hL).

. ou bien

(.~

{ hK ),

auquel

cas

(£

1 hL) si et

seulement si £ se

ramifie

dans l’extension

_L/K.

Preuve de la

_{Proposition :}

le lemme 4.1 et la formule des classes

_ambiges

donnent

_{l’égalité :}

_{hL = hK x}

d’où la

_proposition.

Preuve du Lemme

4.1 :

dans

_{l’isomorphisme}

(~/jR~ ),

p~5’

où S’ est un ensemble

primitif

maximal de

_places

de

K,

toute classe d’unité

o

globale x

de

_peut

être considéré comme un élément de

il

( ) .

Les

_places

de S étant nécessairement

_modérées,

dans la factorisation du _groupe des unités de

_~p~,

l’élément x

_peut

être identifié à un élément de

ilPES

Or, par la

théorie du _corps de classes

_locale,

le _groupe d’inertie de la

_{place p}

de S est

_isomorphe

au

quotient

du _groupe

des unités

_U~

de

_K~

par le sous _groupe de ses normes dans l’extension locale

Par

_conséquent,

l’indice

_{(Up :}

_U~

n est

_égal

_{à É dès que p} est ramifié dans

_L/K,

auquel

cas

!7~).

Par

suite,

il résulte

de

_{l’isomorphisme}

entre radicaux kummériens :

et de sa

propriété

de

compatibilité

avec la _{norme, que} l’indice dans le _groupe

des £-unités du sous-groupe des normes, est :

où 8° est l’ensemble des

_places

modérées de

_K,

ramifiées dans l’extension

L/K.

En d’autres termes, le

_quotient

est un _sous-espace de

codimension t du

_F£-espace

vectoriel Et son intersection

( EK

n

avec

_{l’hyperplan}

E K 1 E Ki

est donc de codimension inférieure

ou

égale

à t +

1,

de sorte _que le

_{JF i-espace}

vectoriel est de dimension au moins

égale

à t - 1 Le.

( EK :

EK

n

C’est le

_{monomorphisme}

_q déduit des

_symboles

de HASSE et établi dans

[J]

(p.

211,

Th

_111.2.7)

_qui

nous

_permet

de conclure. En

effet,

si

désigne

la somme restreinte

(à

la formule du

produit)

des _sous-groupes

d’inertie de l’extension

_L/K,

alors le

_{monomorphisme}

induit _par les

sym-boles de

_{Hasse 17 :}

_{EK IEK}

nous amène à considérer

-ou bien la

place

sauvage.c

est

inerte,

auquel

cas

(EK :

_EK

_{n NL/AK)}

=

-ou bien la

place sauvage C

est

ramifiée, auquel

cas

(EK :

EK

n

_NL/K)

prend

la valeur ou

~.

En tenant

_compte

de la

_régularité

de K et

L,

la formule des classes

ambiges

nous

_permet

d’écrire dans la seconde

situation

_HLIK

=

_1,

si bien

que les classes de la

place

sauvage de ces _corps

de nombres sont de même

_ordre;

ce

qui

ne

_peut

être en vertu de

_{l’hypothèse}

de ramification de L. Par

_suite,

seule la

_première

situation est

_{envisageable.}

5. Familles d’extensions de

_{degrés ~}

de _corps de nombres

totale-ment

_imaginaires

et

_~-réguliers

De

_{l’isomorphisme}

il

_apparaît

_que le _groupe

peut

être considéré comme un _sous-groupe de

5.1 DÉFINITION. Soit K un _corps de nombres

i-régulier

contenant une

racine

_primitive

de

_{l’unité (}

et une classe de

Un _corps de nombres L est dit "être membre de la

_{famille /3 ~}

_(notée

et seulement si L =

~(~~)~

où a est un

_{représentant}

de la

classe

_j3

dans

_{~~ / K;’}

1

est une extension de dans

laquelle

au moins une

place

modérée p de K se

rami fi e.

5.2

THÉORÈME.

Soit K un _corps de nombres

£-régulier

et contenant une

racine

_primitive

de

_{l’unité (.}

Pour

_chaque

de

une

_infinité

de _corps de nombres

_qui

sont membres de la

famille

Fam((3).

La clé de la preuve du résultat

précédent

est le théorème suivant :

5.3 THÉORÈME. Soient K un _corps de nombres

_i-régulier

contenant une

racine

_primitive

de l’unité

_~.

Il un

épimorphisme

_0,

de

A~

/ K;’£

dans le groupe de Galois de la fextension Af abélienne Éélémentaire

-ramifiée

maximale. De

_plus,

le noyau de

0

est Autrement

dit,

Preuve. la théorie du _corps de classes locale nous donne le

morphisme

canonique

de dans le groupe de Galois de la ~-extension M

abélienne t’-élémentaire f-ramifiée maximale. Comme le _groupe de Galois de la ~- extension M abélienne ~-ramifiée maximale

_(cf

_~J),

p. 29.Ex

1.1.17)

est

_isomorphe

à : 1

*IK

est le .~-adifié du groupe des idèles

est le _groupe des unités dans le

_complété

en _q du _corps de nombres

K

8RK

est le _groupe des idèles

_principaux

de

_K,

nous obtenons _par définition de

_M,

du _groupe des ~-unités et

_s£(£’)

sa

_projection

sur le tensorisé

K’,

ce

_qui

nous

_permet

d’établir

l’isomorphisme

suivant :

Le _noyau

_{de 0}

est clairement le

_quotient

et est donc

iso-morphe

à

Preuve du Théorème 5.2.

_Soit,3

une classe du _groupe

quotient .

résulte de l’uniforme

_répartition

des

_{automorphismes}

de

_{Frobenius. (}

_ , /

dans le _groupe de Galois de l’extension

_M/K,

et de

_{l’épimorphisme}

donné

par le théorème

5.3,

qu’à

la classe

/J({3)

correspond

une infinité de

_places

modérées p. Si de

plus /3 n’appartient

pas à son

_image

dans

le _groupe de Galois

_{gal(ZIK) = Cai(R/K) £i}

n’est _pas triviale. Par

_suite,

_{l’automorphisme}

de Frobenius

MIK

ne fixe _pas la

_

p )

t-extension

_Z,

si bien que le

premier

modéré p est

_-primitif

et

_peut

être

6. Classification des extensions

_cycliques

de

_{degré ~}

On considère à

_présent

les extensions

_cycliques

de

_degré

de _corps de nombres

_~-réguliers

contenant

₍

une racine

_primitive

de

_l’unité,

ramifiées en au moins une

_place

modérée de K.

6.1 PROPOSITION. Soit K un _corps de nombres

£-régulier

contenant une

racine

_primitive

de

_{l’unité (,}

0 si

_(~

_{t hK),}

alors la

_place

f- est inerte dans les membres L de l’une de

ces

_familles,

et se

ramifie

dans toute autre

_famille.

. Si alors la

place

f- se

ramifie

dans les membres de toutes les

familles

Preuve :

_Plaçons

nous d’abord dans le cas où

(~

t

hK);

en considérant

ESKIESK’

comme un

hyperplan

de

l’espace

vectoriel

Kg

nous sommes

assurés de l’existence de £

_applications

linéaires de

_7~~

IK."e,

triviales sur

l’hyperplan

et à valeurs dans le _{groupe Mi} des racines de l’unité. Par

_suite,

si

_{[. , .] c}

_désigne

la

_puissance

du

_symbole

de Hilbert en la

place

_sauvage

f-,

m/: étant l’ordre du groupe des racines de

l’unité de

_Kc

d’ordre une

puissance

de ~

[/3, est

l’une des £

applications

linéaires cherchées et est de

_plus,

non

_partout

triviale. Notons _que la classe

,3

ne

_peut

_appartenir

au

_quotient

EKIE’K 1,

puisque

les extensions

7~(

~F7

où T est un

représentant

d’une classe du _groupe sont ramifiées en la

_place

_sauvage f-. Les autres

_applications

linéaires sont clairement les

symboles

[/3B

.], pour

les i variant de 2

_{à ~}

d’où l’unicité et l’existence d’une seule famille d’extensions dont les membres L =

où /3

_est la classe

de a dans

Kx

IKx’,

sont inertes en la

_place

_sauvage.

Supposons

à

_présent,

alors f- est inerte dans une seule extension non

triviale de la forme L = où T est un

représentant

d’une classe de

E’ K 1 E’ K/’.

En raisonnant comme dans le cas

précédent,

on voit _que la

place

sauvage £ est ramifiée dans les membres de toutes familles d’extensions.

6.2

THÉORÈME.

Soit K un corps de nombres

f-régulier

contenant une

racine

_primitive

de l’unité.

La liste

_complète

des L

_{cycliques f-régulières}

et de

_{degré î}

sur

K

_comprend:

,a d’une

_part

_les

_"

_{extensions L} =

J(

)

où _{T est un}

_{représentant}

de K se

ramifie.

. d’autre

_part

~2cK+2 -~cK+1

_{familles infinies}

_{d’extensions,}

dont les

mem-bres L se

_ramifient

en au moins un

_premier

modéré de K.

e Pour

(t t hK),

les extensions L =

K(

~)

où _T est _un

représentant

d’une classe du _groupe sont telles _que la

_place

_sauvage f- est

ramifiée

et _que l’ordre

_hL

du _groupe des classes de L n’est _pas divisible _par î. De

_plus,

il n’existe

_qu’une

seule

_famille

d’extensions dont les membres L sont inertes en f- et de _groupe de classes d’ordre

hL

non divisible _par £.

Pour toute autre

_famille,

l’ordre

hL

associé aux membres est un

_multiple

de Ê et la

_place

_sauvage est

_ramifiée.

,a Pour

(£lhK),

il _existe une

_unique

extension non triviale et non

ramifiée

L = où nécessairement _T est _un

représentant

d’une classe

du _groupe

E’KIE’Kl.

Et l’ordre

_hL

de son _groupe des classes est divisible

par î si et seulement si l’ordre

hK

l’est par

.~2.

Les autres extensions

cy-cliques £-ramifiées

de

_degré

_.~,

sont

_ramifiées

en la

_place

_sauvage f- et ont

pour ordre

hL

un

multiple

de £.

Enfin,

les membres de toutes les

_familles

se

ramifient

en la

place

_sauvage f- et eux

_aussi,

ont _pour ordre un

multiple

hL

de .~.

Preuve : Si t

_désigne

le nombre de diviseurs

_premiers

modérés ramifiés dans l’extension

_L/K,

_par la formule des classes

_ambiges,

nous obtenons:

d’où le théorème.

7.

_{L’exemple numérique}

On sait dans ce cas _que le _corps de nombres K est

_3-régulier

_(cf.

_[JN],

Cor.

_1.3)

_{et que} son anneau des entiers

ZU]

est euclidien de sorte _que son

groupe des classes

(au

sens restreint comme au sens

_ordinaire)

est trivial. Le théorème 6.2 nous _permet alors de dresser les résultats suivants:

~ il _{existe exactement}

32-i

= 4 extensions L

cycliques 3-régulières,

de

degré

3 sur K et telles

_{qu’aucun premier}

modéré se ramifie. Il

_s’agit

des

quatre

extensions:

-où j désigne

une racine

_cubique

non triviale de l’unité. Elles sont de

_plus

ramifiées en la

place

_sauvage et l’ordre de leur groupe des classes n’est pas

multiple

de 3.

a l’écriture de la liste des

représentants

des familles

d’extensions,

dont les membres L se ramifient en au moins un

_premier

modéré de

_K,

nous

conduit à déterminer un ensemble ,~

primitif

maximal de K

(nécessairement

d’ordre 1 + cK =

2,

cf.

[GJ]

_p.

346,

Sco.

1.2).

Pour

cela,

nous

_{notons p}

et

q deux

premiers

modérés de K au dessus de 7 et

_{13, puis D.~K}

le tensorisé

multiplicatif

7~3

Q9z

DK

du _groupe des diviseurs

_DK

de K. L’ensemble ,S’ =

q}

est

_primitif

si et seulement si les classes des

_logarithmes

de GRAS des uniformisantes

_globales

associées 7r7 =

2+H

_et

Tris =

1+2H

_sont

F3-linéairement

_{indépendantes}

dans le

_F3-espace

vectoriel

_log

_log

_VfK.

Ici,

pour

(x

e

_.C),

le

_logarithme

_3-adique

vérifie la _{congruence :}

et les calculs modulo

,C4 :

_ .... _ _.

nous montrent alors _que ces

logarithmes

sont effectivement

_{indépendants}

dans

_{G2 /G4 =}

_F3

0153

F3.

7.1

THÉORÈME.

Un

_système

de

_{représentants}

des extensions

_{3-régulières}

cycliques

de

_degré

3 du corps de nombres K =

~(~)

est donné _par les :

où les

_{entiers i,}

_{k, l,}

m ne sont _pas simultanément

multiples

de 3 et tels

qu’aucun 4-uplet

(i, l~, l, m)

ne soit

_{proportionnel}

à un autre.

Il

_s’agit

donc à

_présent

de déterminer la seule extension L non modérément

ramifiée,

inerte en la

place

_sauvage ,~ et dont l’existence est assurée _par le théorème 6.2.

Puisque

1 - j

est une uniformisante locale en

_3,

le _groupe

(Ug

= 1 +

,C)

des unités

_principales

de

_{Kc apparaît}

aussi comme le

produit

direct du

groupe des racines

cubiques

de l’unité par son _sous-groupe

(Uf2

= 1 +

,C2 ) .

Comme on a _par ailleurs

(U¿)3 =

ui,

le radical de l’extension abélienne

maximale de

_Kc

est donc donné par

l’isomorphisme :

Nous sommes ainsi conduits à considérer les caractères associés aux _groupes

le caractère

_cyclotomique

_(qui

à tout

_générateur

T de G associe la

racine

_-1),

. 1 le caractère unité

(qui

à T associe

~-1),

. 1 + cv le caractère

_régulier.

Le radical non ramifié est donc où a est une classe de

satisfaisant

_{(a’ =}

_{a-1 )}

et _que l’on

_peut

_imposer

être

_égal

à

Il

_s’agit

à

_présent

de

_préciser

pour

lequel

des

quadruplets

(i; k;

l;

m)

nous

obtenons : ....

Pour

_cela,

nous écrivons modulo

,C4

les _{congruences successives :}

-- 0

si bien

_qu’il

existe deux

entiers i

et k tels que :

1’)

-"

L’entier k étant nécessairement

_nul,

le dernier calcul :

montre que le radical Q est _{aussi congru} à

_{soit j21r131r7.}

En

_résumé,

il vient donc :

7.2 THÉORÈME. Les

_quatre

extensions L non modérément

ramifiées

sont

les extensions L = K

3 ’i 3k

. Elles sont

ramifiées

en la

p lace

sauvage

et l’ordre de leur _groupe des classes n’est _pas divisible _{par 3.}

Parmi les trente six autres extensions

_rami,fiées

en au moins une

place

modérée,

seule l’extension 1 est

inerte en

_,C;

de

_plus,

l’ordre

hL

de

son _groupe des classes n’est _pas

divi-sible _{par 3. Les} trente

_cinq

extensions restantes sont

_ramifiées

en la

_place

BIBLIOGRAPHIE

[B]

R. BERGER, Class number _parity and unit _signature, Arch. Math. 59

_(1993),

427-435.

[J]

J.-F. _{JAULENT, L’arithmétique} des l-extensions

_(Thèse),

Publ. Math. Fac. Sci.

Besançon, Théor. Nombres _{(1984/1985, 1985/1986 (1986)),} 13-43, 163-178.

[JN]

J.-F. JAULENT &#x26; T.NGUYEN QUANG DO, Corps p-rationnels, corps p-réguliers, et _ramification restreinte, J. Théor. Nombres Bordeaux 5 _(1994), 343-363.

[GJ]

G. GRAS et J.-F. _JAULENT, Sur les corps de nombres réguliers, Math.Z.202

(1989), 343-365.

[S]

J.-P. SERRE, Corps Locaux, Hermann, Paris _(1968), 17-34, 211-238.

Florence Soriano

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de Bordeaux

Université Bordeaux 1

351, cours de la Libération

F-33405 Talence Cedex