Probabilités : introduction détaillée.

http://www.isima.fr/

∼

leborgne

Introdution aux probabilités

GillesLeborgne

16mars2016

Table des matières

1 Préambule 5

1.1 Lesdiérentesprobabilités. . . 5

1.2 Diultés liéesauvoabulaire. . . 5

1.3 Quelquesrappelsfontionnels . . . 6

1.3.1 Complémentaire . . . 6

1.3.2 Fontionréiproqueetfontioninverse. . . 6

1.3.3 Fontionindiatrie . . . 7

1.3.4 Mesure(oumasse)deDirasurlesensembles . . . 8

1.3.5 Mesure(oumasse)deDirasurlesfontions . . . 8

1.3.6 Abusdenotationfontionnelle . . . 9

1.3.7 Dénombrementdefontions . . . 9

1.3.8 Cardinalde

P (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10}

1.4 Quelquesrappelsombinatoires . . . 10

1.4.1 Arrangements

A ^k n = (n) k

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10}

1.4.2 Combinaisons

C n ^k = ⁿ _k

etoeientsbinomiaux . . . 11

1.4.3 Formuledubinme(Newton) . . . 12

1.4.4 TriangledePasaletformulespourlesoeientsbinomiaux . . . 13

1.4.5 Coeientsmultinomiaux . . . 13

1.4.6 Formuledumultinme(Newton) . . . 14

1.5 Gaussienneetsamasse . . . 15

1.6 Rappelssurles séries. . . 15

1.6.1 Dénitionsetpremièrespropriétés . . . 15

1.6.2 Sériesabsolumentonvergentes . . . 16

1.6.3 Sériessemi-onvergentes . . . 17

1.6.4 Exemples . . . 18

2 Espaeprobabilisé 19 2.1 Universetévénements,premièresdénitions. . . 20

2.2 Tribuetévénement:dénitionsmathématiques. . . 21

2.3 Tribuengendrée. . . 22

2.4 Probabilité . . . 22

2.4.1 Dénitiondesmesures(d'ensembles) . . . 23

2.4.2 Premièrepropriété . . . 23

2.4.3 Probabilité=mesuredeprobabilité . . . 24

2.5 Equiprobabilité . . . 24

2.6 Probabilitésdisrètes etontinues . . . 26

2.6.1 Probabilitésdisrètes. . . 26

2.6.2 Probabilitésontinuessur

R

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

2.6.3 Probabilitésontinuessur

R ^d

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

2.6.4 Approximationd'uneprobabilitéontinueparuneprobabilitédisrète . . . 28

2.6.5 Autresprobabilités. . . 28

2.7 Fontionderépartitiond'uneprobabilité. . . 29

2.7.1 Dénition . . . 29

2.7.2 Fontionderépartitionenesalier . . . 29

2.7.3 Fontionderépartitionabsolumentontinue. . . 30

2.8 Introdutionàl'éhantillonnage . . . 30

2.8.1 Introdutionàl'éhantillonnage1. . . 30

2.8.2 *Introdutionàl'éhantillonnage2 . . . 32

2.9 Espaeproduitetproduitdeprobabilités . . . 32

2.10 Cas

Ω ⊂ R ^d

^{etloismarginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33}

3 Probabilité onditionnelle

P _| A

³⁴

3.1 Exemple . . . 34

3.2 Dénitiond'uneprobabilitéonditionnelle

P _| A

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35}

3.3 Premièrespropriétés . . . 36

3.4 Relationentre

P _| B (A)

^et

P _| A (B)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38}

3.5 Règledemultipliation(formuledeprobabilitésomposées) . . . 39

3.6 PartitionetformuledeBayes(probabilitéstotalesetprobabilitésdesauses) . . . 39

3.7 Exemples . . . 40

3.8 Exeries . . . 41

3.9 Prévalene,sensibilitéetspéiitéd'untest . . . 42

3.10 Indépendanede2événements . . . 44

3.11 Indépendanede

n

^{événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45}

3.12 Lemmeduzéro-undeBorelCantelli . . . 46

3.12.1

lim sup

^et

lim inf

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46}

3.12.2 Lemmeduzéro-un . . . 48

4 Variablealéatoire réelleetloid'une v.a.r. 49 4.1 Dénition . . . 49

4.1.1 Rappel:fontionmesurable. . . 49

4.1.2 Variablealéatoireréelle(v.a.r.) . . . 50

4.1.3 Notationsensemblistes

{ X ∈ I }

^et

{ X = x }

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50}

4.2 Loi(deprobabilité)d'unevariablealéatoire:lesprobabilitésimages . . . 51

4.2.1 Loid'unevariablealéatoire . . . 51

4.2.2 Propositiondelamesureimage . . . 51

4.2.3 Probabilitéimage

P X

^(ouloide

X

^,oudistributionde

X

^{) . . . . . . . . . . . . . . . 52}

4.2.4 Fontionderépartitiondelaloid'unevariablealéatoire . . . 52

4.2.5 Variablealéatoiredeloidisrète . . . 53

4.2.6 Variablealéatoireontinueetsaloi. . . 54

5 Dépendaneetindépendanede variables aléatoires 54 5.1 Notations

f ⊗ g

^,

f (X)

^et

f − c

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54}

5.2 Dépendaneetindépendanede

2

^{variablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55}

5.3 Dépendaneetindépendanedeplusieursv.a.r. . . 57

5.4 V.a.r.indépendantesetidentiquementdistribuées(i.i.d.) . . . 57

5.5 *Indépendanedetribus . . . 57

5.5.1 Indépendanedev.a.r.versusindépendaned'événements . . . 58

5.5.2 Indépendanedetribusetindépendanedev.a.r. . . 58

6 Exemplesde lois 58 6.1 Loiuniforme . . . 58

6.2 EpreuvedeBernoullietloideBernoulli . . . 60

6.3 ProessusdeBernoulli . . . 61

6.4 Loibinomialeettiragesaveremise . . . 61

6.4.1 Appliationauxstatistiques:éhantillonsdetaille

r

^avereplaement.. . . 62

6.5 Loimultinomiale . . . 63

6.6 Loihypergéométrique:tiragessansremise,aveousansordre. . . 64

6.6.1 Casde2issues . . . 64

6.6.2 Cas

ℓ

^{issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66}

6.7 Loigéométrique(nombred'éhessuessifs,outempsd'attente) . . . 67

6.8 Loinormale(gaussienne)

N (m, σ ² )

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68}

6.9 Loiexponentielle(duréedevied'unepartiuleradioative) . . . 69

6.10 LoidePoisson(ouloidesévénementsrares). . . 70

6.11 Loi

γ

^{delafontionfatorielle}

Γ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72}

6.12 Loide

X ²

^,loidu

χ ²

^{(loiduki-2=loiduhi-2=loidePearsonà}

n

^{degrésdeliberté) . . . 73}

6.13 LoideCauhy . . . 74

7 Proessus stohastiques 75 7.1 Dénitions. . . 75

7.1.1 Dénitiond'unproessus . . . 75

7.1.2 Proessusi.i.d. . . 75

7.1.3 Trajetoires . . . 76

7.1.4 Appliation:marhealéatoire(oupromenadealéatoire) . . . 76

7.1.5 Probabilitésdetransition . . . 77

7.2 Proessusdisrets ethainesdeMarkovàtempsdisrets. . . 77

7.2.1 Dénition . . . 77

7.2.2 Matriestohastiqueetmatriedetransition . . . 78

7.2.3 Modèlegénétiquesimplié(WrightetFisher) . . . 79

7.3 Problèmederuinedujoueur . . . 80

7.3.1 Positionduproblème. . . 80

7.3.2 Modélisation . . . 80

7.3.3 Probabilitéderuinedujoueur . . . 81

7.3.4 Espéranedegaindujoueur . . . 82

7.3.5 Duréemoyennedelapartie . . . 83

7.4 Proessusontinusdeomptage. . . 84

7.4.1 Proessusàaroissementsindépendants. . . 84

7.4.2 HypothèsedeMarkoventempsontinu,espaed'étatsdisret . . . 85

7.4.3 Fontionetproessusdeomptage . . . 85

7.4.4 Proessusdeomptagestationnaire . . . 85

7.4.5 ProessusdePoisson . . . 86

8 Loidesommesetdeproduits 87 8.1 Loid'unesomme:onvolutiondisrètesiindépendane . . . 87

8.1.1 Loid'unesomme:asdisret . . . 87

8.1.2 Loid'unesomme:asontinu . . . 88

8.1.3 Convolutiondedeuxmesures . . . 89

8.2 Loid'unproduit . . . 90

8.2.1 Loid'unproduit:asdisret . . . 90

8.2.2 Loid'unproduit:asontinu. . . 91

9 Proposition dela mesureimage 92 9.1 Changementdevariablesdanslesintégrales:propositiondelamesureimage . . . 92

9.1.1 Rappel:mesureetintégrationd'unefontion(ausensdeLegesgue) . . . 92

9.1.2 Changementdevariablesdanslesintégrales . . . 92

9.1.3 Propositiondelamesureimagesurlesfontions . . . 93

9.2 Appliationauxprobabilités. . . 94

9.2.1 Probabilitéimage. . . 94

9.2.2 Casdisret . . . 95

9.2.3 Casontinu . . . 95

10Espérane,éarttype,variane, moments d'unev.a.r. 96 10.1 Momentd'ordre0:lamasseunité . . . 96

10.2 Momentd'ordre1:l'espérane . . . 96

10.2.1 Dénition . . . 96

10.2.2 Calulàl'aidedelamesureimage:lemomentd'ordre

1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . 97}

10.2.3 V.a.r.entrée . . . 98

10.2.4 Premièrespropriétés . . . 98

10.2.5 Généralisation . . . 99

10.2.6 Espéraned'unproduit:asdev.a.r.indépendantes . . . 99

10.3 Exemplesdesloisusuelles . . . 100

10.3.1 Alternativesimpleetloi binomiale . . . 100

10.3.2 Loigéométrique . . . 101

10.3.3 Loigaussienne . . . 101

10.3.4 LoidePoisson . . . 101

10.3.5 Exeries . . . 101

10.4 Varianeetéarttype . . . 103

10.4.1 Dénitions . . . 103

10.4.2 Avelaloiimage . . . 104

10.4.3 Propriétés . . . 104

10.4.4 Exemples . . . 106

10.5 Momentsd'ordre

p

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108}

10.5.1 Dénitiondesmomentsd'ordre

p

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108}

10.5.2 InégalitédeJensen . . . 109

10.6 Intervalledeonane . . . 109

10.6.1 Dénitionetexempled'intervalledeonane. . . 109

10.6.2 FormuledeBienayméThebytheetintervalledeonane . . . 110

10.7 Fontiongénératried'unev.a.r.disrète. . . 111

11Veteuraléatoire,suite aléatoire,fontionaléatoire 113

11.1 Veteuraléatoiredans

R ⁿ

^{,loi onjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113}

11.2 Loismarginales . . . 113

11.3 Exemple:oupledev.a.r.(ouveteuraléatoiredans

R ²

^{). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114}

11.3.1 Casdisret:matriedelaloi . . . 114

11.3.2 Casontinu . . . 115

11.3.3 Fontionderépartition . . . 115

11.4 Remarque . . . 115

11.5 Loismarginalesindépendantes . . . 116

11.5.1 Dénition . . . 116

11.5.2 Casdisretetexemples . . . 116

11.5.3 Casontinu . . . 118

11.6 Fontionaléatoire. . . 118

12Espéraned'unveteur aléatoire réel,ovariane 118 12.1 Espérane . . . 118

12.2 Covarianededeuxv.a.r. . . 120

12.2.1 Dénition . . . 120

12.2.2 Bilinéaritédelaovariane(semi-produitsalaire) . . . 121

12.2.3 Propriétés . . . 121

12.2.4 Coeientdeorrélation . . . 122

12.2.5 Approximationlinéaired'unev.a.rparuneautre . . . 123

12.2.6 Varianed'unesomme . . . 123

12.3 Matrie deovariane . . . 124

12.4 Exemple:problèmed'éhantillonnage . . . 125

12.5 Méthodedesmoindresarrés:notationsprobabilistes . . . 127

13Espéraneonditionnelle de

Y

^sahant

X

¹²⁹ 13.1 Loionditionnelle

P _|X∈I

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129}

13.2 Espéraneonditionnelle

E(Y | X ∈ I) = P _| X ∈ I (Y )

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129}

13.3 Loionditionnelleimage

(P _| X ∈ I ) Y = P Y | X ∈ I = P _| X ∈ I ◦ Y ⁻¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130}

13.4 La v.a.r.espérane

E(Y | X )

^{:asdisret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131}

13.4.1 Lav.a.r.espérane

E(Y | X )

^surl'espaeprobabilisé

(R, T ^R , P X )

^{. . . . . . . . . . . . 131}

13.4.2 Notations . . . 132

13.5 Loionditionnelle:asontinu . . . 132

13.5.1 Dénitiondelaloionditionnelle

P Y |X=x

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133}

13.5.2 Dénitiondel'espéraneonditionnelle

E(Y | X = x)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133}

13.5.3 Lafontionespéraneonditionnelle

E(Y | X )

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133}

13.6 *Loionditionnelle:asgénéral . . . 134

13.6.1 Pull-bak . . . 134

13.6.2 Retoursurleasdisret . . . 134

13.6.3 Espérane

E(Y |A ) : Ω → R

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134}

13.6.4 Espérane

E(Y | X)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

13.6.5 Loionditionnelle

P Y | X=x

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136}

14Loisdesgrandsnombres 137 14.1 Convergeneenprobabilité(onvergenestohastique) . . . 137

14.2 Loifaible desgrandsnombresetthéorèmedeBernoulli. . . 139

14.3 Loifortedesgrandsnombres . . . 140

14.4 Théorèmedelalimiteentrale(onvergeneverslaloi deGauss) . . . 142

14.4.1 Convergeneétroiteetonvergeneenloi . . . 142

14.4.2 Théorèmedelalimiteentrale(onvergeneverslaloideGauss) . . . 143

14.5 Démonstrationduthéorèmedelalimiteentrale . . . 143

14.5.1 TransforméedeFourierd'unefontion . . . 144

14.5.2 TransforméedeFourierinverse . . . 145

14.5.3 TransforméedeFourierd'unegaussienne:unegaussienne . . . 145

14.5.4 TransforméedeFourierdemesuresbornéesetnotations . . . 145

14.5.5 LatransforméedeFourierd'uneprobabilitéestunemesurededensité . . . 148

14.5.6 Lafontionaratéristique

Φ X

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149}

14.5.7 Développementlimitéde

Φ X

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150}

14.5.8 Fontionaratéristiqued'unesommedev.a.r.indépendantes. . . 150

14.5.9 Démonstrationduthéorèmedelalimiteentrale . . . 150

15Annexe:les moments 151

15.1 Notations . . . 151

15.2 Momentd'ordre

0

^{:lamasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152}

15.3 Momentd'ordre

1

^{etleentredegravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152}

15.4 Momentd'ordre

2

^{,lavariane,l'éart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153}

15.5 Momentd'ordre

m

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154}

Entre rohet[...℄[squarebraket℄ondonnelatradutionanglaise.

1 Préambule

1.1 Les diérentes probabilités

Lesprobabilitésserventàdérireuneexpérienedontlerésultatest impossibleàprévoirave

ertitude.Ondistingue:

1- probabilitéexpérimentale =onnaissaneaposteriori.Exemple : dans une population, on

prendenompte tousleshabitants,etonendéduitlepourentage(= proportion)d'hommes.

2- Probabilité théorique = onnaissane a priori. Exemple, on lane une pièe équilibrée, et

laprobabilitéd'obtenir

pile

^est

¹ ₂

^{(unehanesur deux). La}probabilitéthéorique est engénéral diérentedelaprobabilitéexpérimentale,maisonmontrequesionreommeneetteexpérienedu

laneruntrèsgrandnombredefois,alorslesprobabilitésthéoriquesetexpérimentaless'aordent.

2'-Probabilitédédutive.Exemple,onfaitunsondagesurunepetitepartiedelapopulation,

d'oùunevraieonnaissaneaposteriorisuresondage,etonessaied'endéduireunrésultatthéo-

riquepourtoutelapopulation.Ceasdeprobabilitédédutiverentredansleadredesprobabilités

théoriques.

Ladémarhedesprobabilitésest:sionreproduituntrèsgrandnombredefoisuneexpériene

aléatoire (exempleunlaner de pile ou fae), on peut en déduire despropriétés (exemplepièe

équilibréeoupas,etpluspréisémentdonnerlepourentagemoyendepileobtenues).(Ilest lair

quesionnelanelapièequedeuxoutroisfois,onnepourrapasquantieretteinformationde

manièreable.)

D'où l'importane de laloi desgrand nombres et du théorèmeentral limite qui sont dé-

montrésàlandupoloyopié.

1.2 Diultés liées au voabulaire

Les diultés liées au voabulaire sont souvent liées à des motivations historiques, et sont

souventsouresdeonfusion,d'inompréhension,dedéouragement...

Ainsiertainesexpressionsquiseveulentillustrativessemblentêtreemployéesàontresens.

Un exemple agrantest l'expression: une variable aléatoire (v.a.r.) : qui n'est ni variable,

ni aléatoire... : une variablealéatoire réelle

X

^{est une fontionàvaleursréelles}

X : Ω → R

^bien

déterminée. (L'ensemble de dénition

Ω

^{est l'ensemble qui ontient tous les résultats possibles}

d'uneexpérienealéatoire.)

Exemple : on prend deux dés(à 6 faes numérotées de 1à 6). On les lane. L'ensemble des

résultatspossiblesest l'ensemble

Ω = { (i, j) ∈ [1, 6] ^N × [1, 6] ^N }

^{des ouplesrésultatsdes laners.}

(Exemple : le premier donne

2

^{et le seond dé donne}

5

^{, don le résultat est}

(2, 5) ∈ Ω

^{.) Et on}

s'intéresseàlasommedesrésultats.Onnote

X : R × R → R

^{lafontionsomme;}

X(a, b) = a + b

^.

Cettefontion

X

^estparfaitementdénie:en'estpasunevariable('estunefontion),etellen'a riend'aléatoire (elleest parfaitementdénie). Mais

X

^{seraappeléevariablealéatoire pareque}

leouple

(i, j)

^auquelons'intéresselorsqu'onalule

X(i, j)

^{,est issued'une expérienealéatoire}

(lelaner dedeuxdés).

Ainsisionobtient

(1, 1)

^(ledouble

1

^)alors

X(1, 1) = 2

(parfaitementdéterminé),etsiunseond lanerdonnelerésultat

(4, 5)

^alors

X (4, 5) = 9

(parfaitementdéterminé).Commeleséléments

(1, 1)

et

(4, 5)

^de

Ω

^{sontditsaléatoires(i.e.résultatsissusd'uneexpériene}aléatoire),lafontion

X

^est

appeléevariablealéatoire...Defait,en'estpasettefontion

X

^quinousintéresseradiretement, maissaloi deprobabilité

P X

^,i.e.laprobabilitéque,pourettefontion,onobtienneunrésultat donné après unlaner de dés (exemple

P X (2) = ₃₆ ¹

^{ar il n'y a qu'un ouple sur}

36

^{qui donne}

somme

= 2

^).

De pluslavaleurd'unev.a.r

X

^{est priseen}

ω

^{et est notée}

x = X (ω)

^...(usuellementlavaleur d'unefontion

f

^{est priseen}

x

^{etest notée}

y = f (x)

^...)

Autresexemplesdevoabulairequi peuts'avérerdéroutant:loimarginale(paragraphe2.10),

probabilitéonditionnelle (voirremarque3.3page34)...

Touteipeutdéourager...jusqu'àequ'ons'imprègne desdénitions.

N.B.:lathéoriedesprobabilitésestbaséesurlathéoriedesensemblespourlaquelleonemploie

dessynonymesrelatifsauxnomsdéjàonnu.Exemples:

-unsous-ensemble=unévénement;

-l'ensemblevide=l'événementimpossible;

-l'ensembletoutentier=l'événementertain;

-leomplémentaired'unsous-ensemble=l'événementontraire;

-unélémentd'unensemble=unévénementélémentaire=uneéventualité...

EnFrançais,unévénements'éritaussiévènement(depuis1990),etseprononedanslesdeux

asévènement.

Danslejeudepileoufae,lesmotspileetfaesonttousdeuxféminins(unepileetunefae).

1.3 Quelques rappels fontionnels

1.3.1 Complémentaire

Si

E

^{estunensemble,onnote}

P (E)

^{l'ensembledes}sous-ensemblesde

E

^.Don:

A ∈ P (E) ⇐⇒ A ⊂ E.

Enpartiulierl'ensemble vide,noté

∅

^{,est dans}

P (E)

^.

Si

A ⊂ E

^onnote

A ^C = E − A

^sonomplémentaire:

A ^C = E − A = { x ∈ E : x / ∈ A } .

Proposition 1.1 Si

(A i ) i ∈ I

^{estunefamillede}sous-ensemblesde

E

^(ave

I

^ensemblequelonque), ona:

( [

i ∈ I

A i ) ^C = \

i ∈ I

A ^C _i , ( \

i ∈ I

A i ) ^C = [

i ∈ I

A ^C _i .

^(1.1)

(Faireundessinave

I = { 1, 2 }

^.)

Preuve.

x ∈ ( S

i ∈ I A i ) ^C ⇔ x / ∈ S

i ∈ I A i ⇔ ∀ i ∈ I

^,

x / ∈ A i ⇔ ∀ i ∈ I

^,

x ∈ A ^C _i ⇔ x ∈ T

i ∈ I A ^C _i

^.

x ∈ ( T

i ∈ I A i ) ^C ⇔ x / ∈ T

i ∈ I A i ⇔ ∃ i ∈ I

^,

x / ∈ A i ⇔ ∃ i ∈ I

^,

x ∈ A ^C _i ⇔ x ∈ S

i ∈ I A ^C _i

^.

1.3.2 Fontion réiproque etfontion inverse

Onsedonnedeuxensembles

E

^et

F

^.Soit

f : E → F

^{unefontion.Lafontionréiproquede}

f

estlafontion

f ^{− 1}

^{dénie par:}

f ^{− 1} :

( P (F ) → P (E)

B 7→ f ^{− 1} (B)

^déf

= { x ∈ E : f (x) ∈ B } ( ⊂ E),

(1.2)

etpour

B ⊂ E

^,lesous-ensemble

f ^{− 1} (B)

^de

E

^{estappelél'imageréiproquede}

B

^par

f

^.

Exemple1.2 Exemplefondamental: voirŸ1.3.3etremarque1.6.

Abusde notation.Quand

B = { y }

^(as

B

^estunsingleton),onnote:

f ^{− 1} ( { y } )

^noté

= f ^{− 1} (y).

^(1.3)

Etsi

f

^{estbijetive,alors}

f ^{− 1} (y)

^{estunsingleton}

{ x }

^,etonnote:

f ^{− 1} :

( F → E

y 7→ x = f ^{− 1} (y)

^quand

y = f (x),

(1.4)

et

f ^{− 1}

^{est appeléefontioninversede}

f

^(quand

f

^{est bijetive).}

Remarque 1.3 L'utilisation de la même notation

f ^{− 1}

^{pour (1.2) (dénie sur les ensembles) et}

pour(1.4)(déniessurlespoints)nedoitpasprêteràonfusion:leontextelèvelesambiguïtés.

En probabilité, lanotation

f ^{− 1}

^{est surtoututiliséesousla forme}ensembliste(1.2) :une pro- babilitéestune mesured'ensembles.

Don,sionnefaitpasallusionàlabijetivité(ommedansepolyopiéengénéral),quandon

utilise

f ^{− 1}

^{,'estdelafontionréiproque(1.2)dontils'agit(pasdelafontioninverse).}

Proposition 1.4 La fontion réiproque

f ^{− 1} : P (F) → P (E)

^{ommute ave les opérations de}

omplémentation,d'unionetd'intersetion:si

B ⊂ F

^,si

I

^{estunensembleninonvideet}

B i ⊂ F

pourtout

i ∈ I

^,alors:

f ^{− 1} (B ^C ) = (f ^{− 1} (B)) ^C , f ^{− 1} ( \

i ∈ I

B i ) = \

i ∈ I

(f ^{− 1} (B i )), f ^{− 1} ( [

i ∈ I

B i ) = [

i ∈ I

(f ^{− 1} (B i )).

(1.5)

Preuve. Montrons (1.5)

1

^{.Ilfautmontrer}

f ^{− 1} (B ^C ) T

(f ^{− 1} (B)) = ∅

^et

f ^{− 1} (B ^C ) S

(f ^{− 1} (B)) = E

^.

Ona

F = B ∩ B ^C

^{estpartitionde}

F

^,don

 



{ x ∈ E : f (x) ∈ B ^C } \

{ x ∈ E : f (x) ∈ B } = ∅ , { x ∈ E : f (x) ∈ B ^C } [

{ x ∈ E : f (x) ∈ B } = E.

 



Montrons(1.5)

2

^.

⊂

^:si

f ^{− 1} ( T

i B i ) = ∅

^{'esttrivial.Sinon,soit}

x ∈ f ^{− 1} ( T

i B i )

^:don

f (x) ∈ T

i B i

^,don

f (x) ∈ B i

pourtout

i

^,don

x ∈ f ^{− 1} (B i )

^pourtout

i

^,don

x ∈ T

i f ^{− 1} (B i )

^.

⊃

^:si

T

i (f ^{− 1} (B i )) = ∅

^{'esttrivial.Sinon,soit}

x ∈ T

i (f ^{− 1} (B i ))

^{: don}

x ∈ f ^{− 1} (B i )

^pourtout

i

^,

don

f (x) ∈ B i

^pourtout

i

^,don

f (x) ∈ T

i B i

^{, don}

x ∈ f ^{− 1} ( T

i B i )

^.

Montrons(1.5)

3

^.

⊂

^:si

f ^{− 1} ( S

i B i ) = ∅

^{'esttrivial.Sinon,soit}

x ∈ f ^{− 1} ( S

i B i )

^:don

f (x) ∈ S

i B i

^,donilexiste

i

telque

f (x) ∈ B i

^,donilexiste

i

^telque

x ∈ f ^{− 1} (B i )

^,don

x ∈ S

i (f ^{− 1} (B i ))

^.

⊃

^:si

S

i (f ^{− 1} (B i )) = ∅

^{'esttrivial.Sinon,soit}

x ∈ S

i (f ^{− 1} (B i ))

^:donilexiste

i

^t.q.

x ∈ f ^{− 1} (B i )

^,

donilexiste

i

^t.q.

f (x) ∈ B i

^,don

f (x) ∈ S

i B i

^,don

x ∈ f ^{− 1} ( S

i B i )

^.

Onrappelleque,pour

A ⊂ E

^:

f (A)

^déf

= { y ∈ F

^t.q.

∃ x ∈ A, y = f (x) } .

^(1.6)

Enpartiulier

f (E) =

^noté

Im(f )

^.

Proposition 1.5 Si

f : E → F

^et

g : F → G

^,alors:

(g ◦ f ) ^{− 1} = f ^{− 1} ◦ g ^{− 1} .

^(1.7)

Preuve.

g ◦ f : E → G

^{. Don}

(g ◦ f ) ^{− 1} : G → E

^.Pour

C ⊂ G

^ona

(g ◦ f ) ^{− 1} (C) = { e ∈ E : (g ◦ f )(e) ∈ C } = { e ∈ E : g(f (e)) ∈ C } = { e ∈ E : f (e) ∈ g ^{− 1} (C) } = { e ∈ E : e ∈ f ^{− 1} (g ^{− 1} (C)) }

1.3.3 Fontion indiatrie

Pour

A

^unsous-ensembled'unensemble

E

^,onnote

1 A

^{lafontionindiatriede}

A

^(oufontion

aratéristique,suivantlesauteurs),i.e.lafontion

1 A : E → R

^déniepar:

1 A (x) =

( 1

^si

x ∈ A,

0

^si

x / ∈ A.

^(1.8)

(Faireundessin.)

N.B. : la fontion indiatrie de

A

^{est aussi appelée} aratéristique en analyse, suivant les auteurs.En probabilitélafontionaratéristiqueseralatransforméedeFourierdelamesure.

Remarque 1.6 Ainsi

1 ⁻ _A ¹ ( { x } ) = ∅

^pourtout

x 6 = 0, 1

^,et

1 ⁻ _A ¹ ( { 1 } ) = A = 1 ⁻ _A ¹ (R ^∗ )

^,et

1 ⁻ _A ¹ ( { 0 } ) =

A ^C = 1 ⁻ _A ¹ (R −{ 1 } )

^,et

1 ⁻ _A ¹ ( { 0, 1 } ) = E = 1 ⁻ _A ¹ (R)

^...

Proposition 1.7 Si

A, A 1 , A 2 ⊂ E

^alors:

1 _A ^C = 1 − 1 A , 1 A 1 ∩ A 2 = 1 A 1 1 A 2 , 1 A 1 ∪ A 2 = 1 A 1 + 1 A 2 − 1 A 1 ∩ A 2 .

^(1.9)

Faireundessin.Si

f : E → F

^{estune fontion,si}

B ⊂ F

^,alors

f ^{− 1} (B) ⊂ E

^et:

1 f − 1 (B) = 1 B ◦ f.

^(1.10)

(Lafontion

1 f − 1 (B)

^{estdénie sur}

E

^etlafontion

1 B

^{estdénie sur}

F

^.)

Preuve. (1.9) :immédiat.Pour(1.10): ona

{ x ∈ E : f (x) ∈ B } = { x ∈ E : x ∈ f ^{− 1} (B) }

^{, d'où}

pour

x ∈ E

^ona:

(1 B ◦ f )(x) = 1 B (f (x)) =

( 1

^si

f (x) ∈ B 0

^sinon

)

=

( 1

^si

x ∈ f ^{− 1} (B) 0

^sinon

)

= 1 f − 1 (B) (x).

^(1.11)

Proposition 1.8 Pour

A ⊂ E

^ona:

A ⊂ f ^{− 1} (f (A)),

^(1.12)

l'inlusioninverseétantfausseengénéral.

Preuve. Soit

x ∈ A

^{, et soit}

y = f (x)

^{. Dnn}

x ∈ f ^{− 1} ( { y } )

^{, ave}

f ^{− 1} ( { y } ) ⊂ f ^{− 1} (f (A))

^{, don}

x ∈ f ^{− 1} (f (A))

^.

Laréiproqueestfausse:soit

f : R → R

^donnéepar

f = 1 [0,1]

^{.Enpartiulier}

f (] − 1, 2[) = { 0, 1 }

^,

et

f ^{− 1} (f (] − 1, 2[)) = f ^{− 1} ( { 0, 1 } ) = R )] − 1, 2[

^.

1.3.4 Mesure (oumasse) de Dira sur lesensembles

Pour

a ∈ E

^{,lamesure deDira(oumassedeDira)}

δ a

^{est lafontion}

δ a :

( P (E) → R A 7→ δ a (A)

déniepar:

δ a (A)

^déf

=

( 1

^si

a ∈ A,

0

^si

a / ∈ A,

^don

= 1 A ( { a } ).

^(1.13)

Don

δ a

^{estdéniesurlesensembles.En}partiulier,

δ a ( { x } ) =

( 1

^si

x=a 0

^si

x 6 =a

^.

1.3.5 Mesure (oumasse) de Dira sur lesfontions

Puis ondénitlamesuredeDira

e δ a

^{surlesfontionsenommençantparladénitionsurles}

fontionsaratéristiques:pour

A ⊂ E

^ondénit:

e δ a (1 A )

^déf

= δ a (A),

^puis

e δ a (1 A )

^noté

= δ a (1 A ).

^(1.14)

Attention:onabusedesnotations:onutiliseralemêmesymbole

δ a

^{pourdésignerlamesured'un}

ensemble etlamesured'unefontion.Leontextelèvelesambiguïtésdenotation.

Puis,parlinéarité, ondénit lamesuredeDirad'unefontionen esalier[simplefuntion℄ :

si

f = P n

i=1 c i 1 A i

^alors:

δ a (f ) = δ a ( X n i=1

c i 1 A i )

^déf

= X n i=1

c i δ a (A i ) = X n i=1

c i 1 A i (a),

^don

δ a (f ) = f (a).

^(1.15)

D'où,pourtoutefontion

f : E → R

^ettout

a ∈ E

^{, voiroursintégraledeLebesgue :}

δ a (f ) = f (a).

^(1.16)

1.3.6 Abus de notation fontionnelle

Soit

id : R → R

l'appliationidentité :

id : x → id(x) = x,

^(1.17)

etsoit

f : x ∈ R → f (x) ∈ R

^{unefontiondonnée.Lafontionproduit :}

id f : x → (id f )(x) = id(x)f (x) = xf(x),

^(1.18)

estnotée:

id f

^noté

= xf.

^(1.19)

Ainsi

xf : R → R

^{est déniepar:}

(xf )(x)

^déf

= xf (x).

^(1.20)

Sous-entendu,quandonutiliseettenotation,lenomdelavariableest

x

^{(attentionauxnotations!).}

Sansabusdenotation,

xf

^{estlafontionproduit}

idf

^.

Remarque 1.9 Attention:

x

^{joueiideuxrles,eluiusueldevariableeteluiabusifdefontion}

(abusifmaispratique). Leontextedoitlevertouteambiguïté.

Exemple1.10

ωf

^{est lafontion}

ω → ωf (ω)

^.

Sansabusdenotation,'estlafontionproduit

idf : ω → id(ω)f (ω) = ωf (ω)

^.

Etonontinueàabuserdesnotationsennotant:

(id − x 0 1 R )f

^noté

= (x − x 0 )f,

^(1.21)

i.e.

(x − x 0 )f

^{estlafontionde}

x → ((x − x 0 )f )(x)

^donnéepar:

((x − x 0 )f )(x)

^déf

= (x − x 0 )f (x).

Exemple : lafontion

X − X

^{, qui à lafontion}

X

^{retranhe savaleurmoyenne, est un abus}

denotationusuel:onauraitdûnoter

X − X1 ^R

^{ettefontion,diérenedesfontions}

X

^et

X 1 ^R

(fontiononstante).Onadon

(X − X)(x) = X (x) − X

^.

Cela paraît trivial, mais la onfusion entre un réel et une fontion onduit à ertaines in-

ompréhensionsommelaonfusion entre une fontionet sesvaleurs.Dansle doute(et dansles

démonstrations),ilfautrevenirauxnotationsnonabusives.

1.3.7 Dénombrementde fontions

Soit

F (E; F)

^{l'ensembledesfontions}

f : E → F

^.

Proposition 1.11 Si

E

^et

F

^{sontdesensemblesnisnonvides,de ardinal}

| E | = m

^et

| F | = n

^,

alors

F (E; F )

^{estunensemblenideardinal}

|F (E; F ) | = n ^m

^.

En partiulier

|F ( { 1, 2, ..., m } ; { a, b } ) | = 2 ^m

^quand

a 6 = b

^.

Preuve.Notons

E = { a 1 , ..., a m }

^,

F = { b 1 , ..., b n }

^,et

f : E → F

^.Pour

f (a 1 )

^ona

n

^{hoixpossibles.}

Pour

f (a 2 )

^ona

n

^hoixpossibles...Pour

f (a m )

^ona

n

^{hoixpossibles.Autotal}

n ∗ n ∗ ... ∗ n = n ^m

ommeannoné.

Exemple1.12 Ave un alphabet de

n

^{lettres (de ardinal 26 en français), ombien de mots}

(ayantunsensoupas)de

k

^{lettrespeut-onformer?}

Réponse. Si

F

^{estl'ensembledes}

n

^{lettresdel'alphabet(deardinal26enfrançais),ona}

n

possibilités pourla1èrelettre,

n

possibilitéspourla2èmelettre,...,donautotal

n ^k

possibilités(soit

26 ^k

^{enfrançais).}

C'estleardinalde

F ( { 1, 2, ..., k } ; F )

^(leardinalde

F ( { 1, 2, ..., k } ; { a, b, ..., z } )

^{enfrançais).}

1.3.8 Cardinal de

P (Ω)

Proposition 1.13 Soit

Ω

^{estunensemblenideardinal}

| Ω | = n ≥ 0

^.Leardinalde

P (Ω) = 2 ⁿ

^.

Preuve. Ondonne2démonstrationsusuellesde

P (Ω) = 2 ⁿ

^.

1-Parréurrene.Vraipour

Ω = ∅

^(deardinal

n=0

^)puisque

P (Ω) = {∅}

^.Vraipour

Ω = { a }

(de ardinal

n=1

^{) puisque}

P (Ω) = {∅ , { a }}

^{. Supposons que e soit vrai pour}

Ω = { a 1 , ..., a n }

de ardinal

n

^{. Alorspour}

Ω = { a 1 , ..., a n+1 }

^{de ardinal}

n+1

^{, l'ensemble}

P (Ω)

^{ontient tousles}

sous-ensemblesneontenantpas

a n+1

^,aunombrede

2 ⁿ

^{,ettouseuxontenant}

a n+1

^,quisontles

préédentsauquelonaajouté

a n+1

^{,donaunombrede}

2 ⁿ

^{.Au total}

2 ⁿ + 2 ⁿ = 2 ⁿ⁺¹

^.

2-Caluldiret,àl'aidedesombinaison

C _n ^k = ⁿ _k

,f.Ÿsuivant.

P (Ω)

^ontient

∅

^(don

1 = C _n ⁰

élément), ontientlessingletons (don

n = C _n ¹

^{éléments),les}sous-ensemblesde2éléments(don

C _n ²

éléments),....,donautotal

P n

k=0 C _n ^k = (1 + 1) ⁿ = 2 ⁿ

^.

1.4 Quelques rappels ombinatoires

1.4.1 Arrangements

A ^k _n = (n) k

On rappelleque

n

^{fatoriel [}

n

^{fatorial℄ est l'entier}

n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1

^pourtout

n ∈ N ^∗

^{, et qu'on pose}

0! = 1

^{. (Motivation pour dénir}

0! = 1

^{: voirla formule du binme de}

Newtoni-dessouséquation(1.25).)

Question1- :soit

n

^objets

x 1 , ..., x n

^{deuxàdeuxdistints(ave}

n ≥ 1

^{).Combieny-a-t-ildema-}

nièresdelesarrangerentreeux,i.e.ombiende

n

^{-upletsordonnés}[permutations℄

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

peut-onformer?Autrementdit,ombieny-a-t-ildebijetions

ϕ

^entre

[1, n] ^N

^{et lui-même?}

Réponse:

n!

^.

Démonstration parréurrene: 'estvraipour

n = 1

^{. Puissupposonsquee soitvraipour}

n

objets.Prenonsunensemblede

n+1

^objets.Ilya

n+1

possibilitéspourlehoixdupremierobjet, etilrestealors

n

^objets,ave

n!

possibilitésdelesarrangerparhypothèsederéurrene.Donau total

(n+1)n! = (n+1)!

possibilités.

Remarque 1.14

A ⁿ n = n!

^{est le nombre de bijetions entre un ensemble de}

n

^{éléments et un}

autreensemblede

n

^{éléments.Ouenorelenombredebijetionsentre}

{ 1, ..., n }

^et

{ x 1 , ..., x n }

^.Ou

enorelenombredebijetionsentre

{ x 1 , ..., x n }

^{etluimême,unetelle bijetionétantdelaforme}

(x 1 , ...x n ) → (x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

^ave

ϕ

^{bijetionentre}

{ 1, ..., n }

^et

{ 1, ..., n }

^.

Question2- :soit

n

^objets

x 1 , ..., x n

^{deuxàdeuxdistints(ave}

n ≥ 1

^).Soit

k ∈ [1, n] ^N

^.Combien

de

k

^{-uplets ordonnés}[permutations℄

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(k) )

^{peut-onformer?Autrementdit, ombien y-}

a-t-ild'injetions

ϕ

[permutations℄de

[1, k] ^N

^dans

[1, n] ^N

^?

Réponse: 'est lenombred'arrangementsde

k

^objetsparmi

n

^{[numberofordered arrange-}

mentsof

k

^{objetstakenfrom}

n

^℄:

A ^k _n

^déf

= n!

(n − k)! = n × (n − 1) × ... × (n − k+1).

^(1.22)

Enpartiulier

A ⁿ _n = n!

^.

English

A ^k _n = (n) k

⁼

n

^down

k

⁼

n

^lower

k

⁼

P(n, k)

(permutations).

Démonstration par réurrene. C'est vrai pour

n = 1

^et

k = 1

^puisque

A ¹ ₁ = _{(1 −} ^1! _1)! = 1

^{. Si}

n = 2

^et

k = 1

^,alors

2 = A ¹ ₂

^{estlenombredemanièresdehoisir1objetparmi}

2

^,etpour

k = 2

^,

1 = A ² 2

^{estlenombredemanièresdehoisir2objetsparmi}

2

^.

Supposonsquelaformuleestétabliepour

n − 1 ≥ 1

^ettout

k ∈ [1, n − 1] N

^.Passonsà

n

^objets.Si

k = 1

^alors

n = A ¹ _n

^{estlenombredemanièresdehoisir1objetparmi}

n

^{.Supposonsquelaformule}

soit vraipour

k

^objetsave

1 ≤ k ≤ n − 1

^{. Passonsà}

k+1

^{objets. Ily a}

n

^{manières dehoisirle}

premier,etil reste

n − 1

^{objetsparmilesquelsondoitenprendre}

k

^{(entenantomptedel'ordre),}

don

A ^k _{n − 1}

^{manièresdelesarranger.Donautotal}

nA ^k _{n − 1} = n _(n ⁽ⁿ ₋ ⁻ _{1 −} ^1)! _k)! = _{(n − (k+1))!} ^n! = A ^k+1 _n

^.

Enpartiulierpour

k = n

^{onretrouveleasdelaquestion1-:}

A ⁿ _n = n!

^.(Pour

k = 0

^laquestion

2-n'apasdesens.)

Exemple1.15 (Tierédans l'ordre.)Parmi 20hevaux, ombien detriplets(ordonnés) peut-on

former?Réponse:

A ³ 20 = ^20! _17! = 18 ∗ 19 ∗ 20 = 6840

^.

Exerie 1.16 OndisposedeslettresBEEILRT.Enlestirantsuesivementauhasard,ave

quelleprobabilitéforme-t-onLIBERTE?

Réponse.L:1/7,I:1/6,B:1/5,E:2/4,R:1/3,T:1/2,E:1/1.Donprobabilité

P = _7! ²

^.Entermes

d'arrangements :il y a

7!

arrangements possibles (nombre de mots possibles).Et il 2 possibilités pour tirer

E

^{(deuxmotspossibles}indiéreniables).

Remarque 1.17 Anarrangementwhereorderisimportantisalledapermutation.An arrange-

mentwhereorderisnotimportantisalledombination.

1.4.2 Combinaisons

C _n ^k = ⁿ _k

etoeientsbinomiaux

Question 3- : soit

n ∈ N ^∗

^{et soit}

k ∈ [1, n] ^N

^{. Combien y-a-t-il de manièresde hoisir}

k

^objets

parmi

n

^{,sanstenirompte del'ordre?}

Autrement dit, si

E = { x 1 , ..., x n }

^{est l'ensemble des}

n

^{objets, ombien y-a-t-il de sous-}

ensemblesde

E

^ontenant

k

^objets?

Autrementdit,ombieny-a-t-ildepartitions

U 1 S

U 2

^de

E

^telque

| U 1 | = k

^?

Réponse:'estlenombredeombinaisons|ombinations℄de

k

^objetsparmi

n

^{[numberofways}

ofseleting

k

^objetsfrom

n

^,ornumberofsubpopulationsofsize

k

^{in apopulationofsize}

n

^{℄ :}

C _n ^k

^noté

=

n k

déf

= n!

k!(n − k)! = n × (n − 1) × ... × (n − k+1)

k! (= A ^k _n

k! ),

^(1.23)

et

C _n ^k

^{estunoeientbinomial(voirlaformuledubinmedeNewtoni-dessouséquation(1.25)).}

(

C _n ^k = ⁿ _k

=

n

^hoose

k

⁼

C(n, k)

^.)

Démonstrationavelesarrangements.

A ^k _n

^{estlenombrede}

k

^{-upletsordonnés,etpourunhoix}

de

k

^{éléments,il ya}

k!

^{manièresdelesarranger.Don}

k! C _n ^k = A ^k _n

^.

Démonstration par réurrene.C'est vraipour

n = 1

^et

k = 1

^puisque

C ₁ ¹ = _1!0! ^1! = 1

^{. Pour}

n = 2

^et

k = 1

^,ona

2 = C ₂ ¹

^{estlenombredemanièresdehoisir1objetparmi}

2

^{,et pour}

k = 2

^,

1 = C ₂ ²

^{estlenombredemanièresdehoisir2objetsparmi}

2

^.

Supposons que la formule est établie pour

n ≥ 1

^{et tout}

k ∈ [1, n] ^N

^{. Passons à}

n+1

^objets.

C'est vrai pour

k = 1

^{puisqu'il y a}

n+1

^{singletons et}

C _n+1 ¹ = ^(n+1)! _1!n! = n+1

^{. Supposons quee}

soitvraipour

k

^ave

1 ≤ k ≤ n

^.Passonsà

k+1

^{objets.Regardonsles}sous-ensemblesneontenant pas

x 1

^{:ondoithoisir}

k+1

^objetsparmi

n

^,soit

C _n ^k+1

possibilités.Regardonslessous-ensembles ontenant

x 1

^:ilreste

k

^{objetsàprendreparmi}

n

^,soit

C _n ^k

possibilités.Autotal

C _n ^k +C _n ^k+1 = C _n+1 ^k+1

^,

voirlemmesuivant.

Remarque 1.18 Comme

C n ^k =

^noté

ⁿ _k

= _k!(n ^n! _{− k)!}

^{,ilest immédiatque:}

C _n ^k = C _n ^{n − k} =

n k

= n

n − k

,

^et

C _n+k ⁿ = C _n+k ^k = n + k

k

= n + k

n

.

Lemme1.19 (FormuledutriangledePasal.)Pour

n ∈ N ^∗

^et

k ∈ [1, n] N

^ona:

C _n ^k + C _n ^k+1 = C _n+1 ^k+1 ,

^(1.24)

soit

n k

+ n

k + 1

= n + 1

k + 1

.

Preuve.

n!

k!(n − k)! + n!

(k + 1)!(n − k − 1)! = n!(k + 1) + n!(n − k)

(k + 1)!(n − k)! = n!(n+1+k − k) (k + 1)!(n+1 − (k+1))!

^.

Exemple1.20 (Tieré dansle désordre.)Parmi20 hevaux,ombien d'ensemblesde 3hevaux

peut-onformés?Réponse:

C ₂₀ ³ = _3!17! ^20! = ^18.19.20 _2.3 = 1140

^.