Quelques rappels ombinatoires - Probabilités : introduction détaillée.

1.4.1 Arrangements

A ^k _n = (n) k

On rappelleque

n

^fatoriel ^[

n

^fatorial℄ ^est ^l'entier

n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1

^pour^tout

n ∈ N ^∗

^, ^et ^qu'on ^pose

0! = 1

^. ^(Motiv^ation ^pour ^dénir

0! = 1

^: ^voir^la ^formule ^du ^binme ^de

Newtoni-dessouséquation(1.25).)

Question1- :soit

n

^objets

x 1 , ..., x n

^deux^à^deux^distints^(ave

n ≥ 1

^).^Combien^y-a-t-il^de

ma-nièresdelesarrangerentreeux,i.e.ombiende

n

^-uplets^ordonnés[permutations℄

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

peut-onformer?Autrementdit,ombieny-a-t-ildebijetions

ϕ

^entre

[1, n] ^N

^et ^lui-même^?

Réponse:

n!

Démonstration parréurrene: 'estvraipour

n = 1

^. ^Puis^supposons^que^e ^soit^vrai^pour

n

objets.Prenonsunensemblede

n+1

ôbjets.Îl^yâ

n+1

possibilitéspourlehoixdupremierobjet, etilrestealors

n

^objets,^ave

n!

possibilitésdelesarrangerparhypothèsederéurrene.Donau total

(n+1)n! = (n+1)!

possibilités.

Remarque 1.14

A ⁿ n = n!

êst ^le ^nombre ^de ^bijetions êntre ûn ênsemble ^de

n

^éléments ^et ^un

autreensemblede

n

^éléments.Ôuênore^le^nombre^de^bijetionsêntre

{ 1, ..., n }

^et

{ x 1 , ..., x n }

^.^Ou

enorelenombredebijetionsentre

{ x 1 , ..., x n }

^et^lui^même,^une^telle ^bijetion^étant^de^la^forme

(x 1 , ...x n ) → (x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

^ave

ϕ

^bijetion^entre

{ 1, ..., n }

^et

{ 1, ..., n }

Question2- :soit

n

^objets

x 1 , ..., x n

^deux^à^deux^distints^(ave

n ≥ 1

^).^Soit

k ∈ [1, n] ^N

^.^Combien

k

^-uplets ^ordonnés[permutations℄

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(k) )

^peut-on^former^?^Autrement^dit, ^ombien

y-a-t-ild'injetions

ϕ

[permutations℄de

[1, k] ^N

^dans

[1, n] ^N

Réponse: 'est lenombred'arrangementsde

k

^objets^parmi

n

^[number^of^ordered

arrange-mentsof

k

^objets^taken^from

n

^℄^:

A ^k _n

^déf

= n!

(n − k)! = n × (n − 1) × ... × (n − k+1).

^(1.22)

Enpartiulier

A ⁿ _n = n!

English

A ^k _n = (n) k

⁼

n

^down

k

⁼

n

^lower

k

⁼

P(n, k)

(permutations).

Démonstration par réurrene. C'est vrai pour

n = 1

^et

k = 1

^puisque

A ¹ ₁ = ₍₁ ₋ ^1! _1)! = 1

^. ^Si

n = 2

^et

k = 1

^,^alors

2 = A ¹ ₂

^est^le^nombre^de^manières^de^hoisir¹^objet^parmi

2

^,^et^pour

k = 2

1 = A ² 2

^est^le^nombre^de^manières^de^hoisir²^objets^parmi

2

Supposonsquelaformuleestétabliepour

n − 1 ≥ 1

^et^tout

k ∈ [1, n − 1] N

^.^Passons^à

n

^objets.^Si

k = 1

^alors

n = A ¹ _n

^est^le^nombre^de^manières^de^hoisir¹^objet^parmi

n

^.^Supposons^que^la^formule

soit vraipour

k

^objets^ave

1 ≤ k ≤ n − 1

^. ^Passons^à

k+1

ôbjets. Îl^y â

n

^manières ^de^hoisir^le

premier,etil reste

n − 1

ôbjets^parmi^lesquelsôn^doitên^prendre

k

^(en^tenant^ompte^de^l'ordre),

don

A ^k _n ₋ ₁

^manières^de^les^arranger.^Don^au^total

nA ^k _n ₋ ₁ = n _(n ⁽ⁿ ₋ ⁻ ₁ ₋ ^1)! _k)! = _(n ₋ _(k+1))! ^n! = A ^k+1 _n

Enpartiulierpour

k = n

^on^retrouve^le^as^de^la^question^1-^:

A ⁿ _n = n!

^.^(Pour

k = 0

^la^question

2-n'apasdesens.)

Exemple1.15 (Tierédans l'ordre.)Parmi 20hevaux, ombien detriplets(ordonnés) peut-on

former?Réponse:

A ³ 20 = ^20! _17! = 18 ∗ 19 ∗ 20 = 6840

Exerie 1.16 OndisposedeslettresBEEILRT.Enlestirantsuesivementauhasard,ave

quelleprobabilitéforme-t-onLIBERTE?

Réponse.L:1/7,I:1/6,B:1/5,E:2/4,R:1/3,T:1/2,E:1/1.Donprobabilité

P = _7! ²

^.^En^termes

d'arrangements :il y a

7!

arrangements possibles (nombre de mots possibles).Et il 2 possibilités pour tirer

E

^(deux^mots^possiblesindiéreniables).

Remarque 1.17 Anarrangementwhereorderisimportantisalledapermutation.An

arrange-mentwhereorderisnotimportantisalledombination.

1.4.2 Combinaisons

C _n ^k = ⁿ _k

etoeientsbinomiaux

Question 3- : soit

n ∈ N ^∗

^et ^soit

k ∈ [1, n] ^N

^. ^Combien ^y-a-t-il ^de ^manières^de ^hoisir

k

^objets

parmi

n

^,^sans^tenir^ompte ^de^l'ordre^?

Autrement dit, si

E = { x 1 , ..., x n }

^est ^l'ensemble ^des

n

^objets, ^ombien ^y-a-t-il ^de

sous-ensemblesde

E

^ontenant

k

^objets^?

Autrementdit,ombieny-a-t-ildepartitions

U 1 S

U 2

^de

E

^tel^que

| U 1 | = k

Réponse:'estlenombredeombinaisons|ombinations℄de

k

^objets^parmi

n

^[number^of^ways

ofseleting

k

^objets^from

n

^,^or^number^ofsubpopulationsofsize

k

ⁱⁿ ^a^population^of^size

n

^℄ ^:

C _n ^k

^noté

=

C _n ^k

êstûnôeient^binomial^(voir^la^formule^du^binme^de^Newtonî-dessous^équation^(1.25)).

(

C _n ^k = ⁿ _k

=

n

^hoose

k

⁼

C(n, k)

^.)

Démonstrationavelesarrangements.

A ^k _n

^est^le^nombre^de

k

^-upletsôrdonnés,êt^pourûn^hoix

k

^éléments,^il ^y^a

k!

^manières^de^les^arranger.^Don

k! C _n ^k = A ^k _n

soitvraipour

k

^ave

1 ≤ k ≤ n

^.^Passons^à

k+1

^objets.^Regardons^lessous-ensemblesneontenant pas

x 1

^:^on^doit^hoisir

k+1

^objets^parmi

n

^,^soit

C _n ^k+1

possibilités.Regardonslessous-ensembles ontenant

x 1

^:^il^reste

k

^objets^à^prendre^parmi

n

^,^soit

C _n ^k

possibilités.Autotal

C _n ^k +C _n ^k+1 = C _n+1 ^k+1

Exemple1.20 (Tieré dansle désordre.)Parmi20 hevaux,ombien d'ensemblesde 3hevaux

peut-onformés?Réponse:

C ₂₀ ³ = _3!17! ^20! = ^18.19.20 _2.3 = 1140

Question 4- :

n

^laners ^d'une ^pièe ^ave ^résultat

p

^=pile ^ou

f

^=fae. ^Combien ^de ^résultats

ontiennentexatement

k

^fois

p

^,^pour

k ∈ [1, n] ^N

Réponse:

C _n ^k

Parréurrene.Pour

n = 1

^,^l'ensemble^des^résultats^possibles^est

{ p, f }

^.^Et^pour

k = 0

^et

k = 1

ona

C ₁ ⁰ = 1 = C ₁ ¹

^:^la^formule^est^vraie.

Supposons que la formule est établie pour

n ≥ 1

^et ^tout

k ∈ [0, n] ^N

^. ^Passons ^à

n+1

^objets.

C'est vraipour

k = 0

^ar

C _n+1 ⁰ = 1

^(le ^seul^résultat ^est

(f, f, , ..., f)

^).^C'est ^vrai^pour

k = 1

^ar

C _n+1 ¹ = n+1

^(les^tirages^ou

p

^ne^sort^qu'une^fois,^soit

(p, f, f, ...)

(f, p, f, f, ...)

^,...^,

(f, ..., f, p)

^).

Supposons que e soit vrai pour

k

^ave

k < n

^. ^Passons ^à

k+1

^. ^Si ^le ^premier ^laner ^donne

p

alors il reste

k p

^à ^tirer ^sur ^les

n − 1

^laners ^suivant, ^soit

C _n ^k ₋ ₁

possibilités. Si le premier laner donne

f

^alors^il ^reste

k+1 p

^à^tirer ^sur ^les

n − 1

^laners ^suivant, ^soit

C _n ^k+1 ₋ ₁

possibilités.Don au total

C _n ^k ₋ ₁ + C _n ^k+1 ₋ ₁ = C _n ^k+1

^,^f ^(1.24).

Exemple1.21 Dans unalphabetà

2

^lettres

a

^et

b

C _n ^k

^est^le^nombre^de^mots^de^longueur

n

^qui

ontiennentexatement

k

^fois^la^lettre

b

^(exemple

n = 8

^et

k = 3

^:^mot^omme

aababbaa

^).^C'est^le

asdelaquestion

4

ôù^pileêt ^faeônt^été^remplaés^par

a

^et

b

Exerie 1.22 Soitungroupede

n

^personnes.^Combien^de^pairesmathématiques(nonordonnées appeléesouplesdanslavieourante)peut-onformer?Combiendeouplesmathématiques(paires

ordonnées)peut-onformer?

Réponse. Paires :

C _n ²

^. Ôu ^diretement ^: âve ^la ^1ère ^personne ôn^peut ên ^faire

(n − 1)

^, ^puis ^ave ^la

2ième

(n − 2)

^diérentes,^...,^au^total

1 + 2 + ... + (n − 2) + (n − 1) = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₂

^(f.^matrie

n ∗ n

symétrique, onomptelesélémentssupérieursstrits).

Couples:la1èrepersonnepeutenfaire

n − 1

^,^la^seonde

(n − 1)

^,^...,^la

n

^-ième

(n − 1)

^:^au^total

n(n − 1)

(f.matrie

n ∗ n

^,^on^ompte^les^éléments^horsdiagonale).

Exerie 1.23 Jeude52artes.Ontireauhasard4artes.Quellehanea-t-ond'avoir

exate-ment2rois?

Réponse.Unemain=4artes.Nombresdemains=

C ⁴ ₅₂

^.^Nombre^de^main^ave²^rois⁼

C ₄ ² × C ₄₈ ²

⁽²^rois

parmi4,et2autresparmi48).Donprobabilité =

C ² ₄ C ₄₈ ²

C ⁴ ₅₂ = _2!2! ^4! _2!46! ^48! ^4!48! _52! = 6 × 47 × 24 × 49×50×51×13 ⁶ ≃ 0.025 ≃ 2.5%

Exemple1.24 Voirplusloin(2.30)page30.

1.4.3 Formule du binme (Newton)

Proposition 1.25 (Formuledubinme.)Pour

x, y ∈ R

^(ou

∈ C

⁾^et

n ∈ N ^∗

^, ^on^a^:

(x + y) ⁿ =

X n k=0

C _n ^k x ^k y ⁿ ⁻ ^k ,

^en^partiulier

2 ⁿ = X n k=0

C _n ^k .

^(1.25)

Preuve. Pour(1.25)

1

^:^par^réurrene^sur

n

^. ^Vrai^pour

n = 1

^ar

C ₁ ⁰ = 1 = C ₁ ¹

^.^Puis

(x + y) ⁿ⁺¹ = x(x + y) ⁿ + y(x + y) ⁿ =

X n k=0

C _n ^k x ^k+1 y ⁿ ⁻ ^k + X n k=0

C _n ^k x ^k y ⁿ⁺¹ ⁻ ^k

= x ⁿ⁺¹ +

n − 1

X

k=0

C _n ^k x ^k+1 y ⁿ ⁻ ^k + y ⁿ⁺¹ + X n k=1

C _n ^k x ^k y ⁿ⁺¹ ⁻ ^k

= x ⁿ⁺¹ + y ⁿ⁺¹ + X n k=1

(C _n ^k ⁻ ¹ + C _n ^k )x ^k y ⁿ⁺¹ ⁻ ^k

= x ⁿ⁺¹ + y ⁿ⁺¹ + X n k=1

C _n+1 ^k x ^k y ⁿ⁺¹ ⁻ ^k =

n+1 X

k=0

C _n+1 ^k x ^k y ⁿ⁺¹ ⁻ ^k .

Puis

x = y = 1

^donne^(1.25)

2

Exemple1.26 Verslaloibinomiale.

(x + y) ² = (x + y)(x + y) = x ² + xy + yx + y ²

^:^pour^tirer

x

^et

y

^,^on^peut^tirer^d'abord

x

^puis

y

^(résultat

xy

^dans^la^formule), ^ou^tirer ^d'abord

y

^puis

x

^(résultat

yx

^dans ^la^formule), ^don^au

totaldeuxpossibilités(ii

2xy = C ₂ ¹ xy

^).

(x + y) ³ = (x ² + xy +yx + y ² )(x+ y) = x ³ + x ² y + xyx + xy ² + yx ² + yxy + y ² x+ y ³

^:^pour^tirer

2fois

x

^et¹^fois

y

^, ^on^peut^tirer ^d'abord^deux ^fois

x

^et^une ^fois

y

^(résultat

x ² y

^dans^la^formule),

outirer

x

^puis

y

^puis

x

^(résultat

xyx

^dans^la ^formule),^ou ^tirer

y

^puis^deux ^fois

x

^(résultat

yx ²

danslaformule),donautotaltroispossibilités(

3x ² y = C ₃ ¹ x ² y = C ₃ ² x ² y

^).

(x + y) ⁴ = (x ³ + x ² y + xyx + xy ² + yx ² + yxy + y ² x + y ³ )(x + y) = ... + x ² y ² + ... + xyxy + ... + xy ² x + ... + yx ² y + ... + yxyx + ... + y ² x ² + ...

^: ^pour^tirer ²^fois

x

^et ² ^fois

y

^, ^on^a

6 = C ₄ ²

possibilités.

1.4.4 Triangle de Pasal etformules pourles oeientsbinomiaux

Soit

n ≥ 1

^et

k ∈ [0, n] ^N

^.^On^a^:

C _n+1 ^k+1 = n + 1

k + 1 C _n ^k .

^(1.26)

Eneet

(n+1)!

(k+1)!(n+1 − (k+1))! = _(k+1)k!(n ^(n+1)n! ₋ _k)!

Pour trouverles oeients de

(x + y) ⁿ⁺¹

^à ^partir ^des ^oeients^de

(x + y) ⁿ

^, ^on ^utilise ^le

triangledePasal(fairedessin)grâe àlaformule(1.24).

Ondéduit de(1.24),pour

k ≤ n

C _k ^k + C _k+1 ^k + ... + C _n ^k = C _n+1 ^k+1

^,^soit,^pour

k ≤ n

X n

j=k

C _j ^k = C _n+1 ^k+1 ,

^soit

X n j=k

j k

= n + 1

k + 1

.

^(1.27)

Démonstrationparréurrene:Pour

n = 1

^et

k = 1

^on^a

C ₁ ¹ = C ₂ ² = 1

^,^et^pour

n = 1

^et

k = 0

ona

C ₀ ⁰ + C ₁ ⁰ = 1 + 1 = C ₂ ¹

Supposonsqueesoitvraipour

n ≥ 1

^, ^et^tous^les

k ∈ [0, n] ^N

^.^Passons^à

n+1

Pour

k = n+1

^on^a

P n+1

j=n+1 C _j ⁿ⁺¹ = C _n+1 ⁿ⁺¹

Pour

k ≤ n

^on^a

P n+1

j=k C _j ^k = P n

j=k C _j ^k + C _n+1 ^k = C _n+1 ^k+1 + C _n+1 ^k = C _n+2 ^k+1

^,^f.^(1.24).

Exerie 1.27 Notons

(1 + x + ... + x ^r ) ⁿ = α n,0 + α n,1 + ... + α n,r − 1 x ^r ⁻ ¹ + α n,r x ^r + ...

^, ^pour

n ≥ 1

^et

r ≥ 0

^.^Montrer^que

α n,j = C _j+n ⁿ ⁻ ¹ ₋ ₁

^pour

0 ≤ j ≤ r

Réponse.Pour

n = 1

^on^lit^diretement

α 1,r = 1

^pour^tout

r ≥ 0

Puisréurrene:onsupposeque'estvraipour

n

^donné^et^tout

r ≥ 0

^.^Passons^à

n+1

Ona

(1 + x + ... + x ^r ) ⁿ⁺¹ = (1 + x + ... + x ^r ) ⁿ (1 + x + ... + x ^r )

^,^don^:

(1 + x + ... + x ^r ) ⁿ⁺¹ = (α n,0 + α n,1 x + ... + α n,r−1 x ^r−1 + α n,r x ^r + ...)(1 + x + ... + x ^r−1 + x ^r ),

polynmedontleoeientdevant

x ^j

^pour

j ≤ r

^vautimmédiatement

α n+1,j = α n,0 + α n,1 + ... + α n,j = C _n ⁿ ⁻¹ ₋₁ + C n ⁿ ⁻¹ + ... + C _j+n ⁿ ⁻¹ ₋₁ = C _j+n ⁿ

^,^f.^{(1.27 ).}

1.4.5 Coeientsmultinomiaux

Question5- :soit

ℓ ≥ 1

^et ^soit

E = { a 1 , ..., a ℓ }

^un^ensemble^de

ℓ

^objets.

Exemple1.28

E

êst ûneâlphabet ônstitué^de

ℓ

^lettres,^ave

ℓ = 26

^en^Frane.

Soit

n ≥ 1

^et^soit

k 1 , ..., k ℓ ∈ [0, ℓ] ^N

^tels^que

k 1 + ... + k ℓ = n

^(exemple^:^ons'intéresseaumots delongueur

n

^érits^à^l'aide^de^l'alphabet

E

^).

Combieny-a-t-ildemots delongueur

n

^ontenant

k i

^fois^la^lettre

a i

^ave

k 1 + ... + k m = n

(Autrementdit quelest lenombredepartitions

U 1 ∪ ... ∪ U ℓ

^de

E ⁿ

^où

U i

^ontient

k i

^fois

a i

^?)

Exemple1.29 Les motsdelongueur

n = 1

^qui ^ontiennent^une ^fois

k 1

^sont^au^nombre^de

1

^(le

seulmot

a 1

^).

Lenombredemotsdelongueur

2

^tels^que

k 1 = 2

^est

1

^(le^seul^mot

a 1 a 1

^).^Le^nombre^de^mots

delongueur

2

^tels^que

k 1 = 1

^et

k 2 = 1

^est

2

^(les^mots

a 1 a 2

^et

a 2 a 1

^).

Réponse:

n!

k 1 !...k ℓ ! ,

^(1.28)

appelé oeientmultinomial,voirformule(1.30)dumultinmedeNewton,i-dessous.

Démonstration 1-rapide.Soit

A ⊂ E ⁿ

^l'ensemble ^des^mots^de^longueur

n

^ontenant

k i

^fois^la

lettre

a i

^pour

i = 1, ..., ℓ

^,^ave

k i ∈ [0, n] N

^et

k 1 + ...k ℓ = n

^.^Son^ardinal^vaut,^f. ^(1.23)^:

| A | = C _n ^k ¹ C _n ^k ² ₋ _k ₁ C _n ^k ³ ₋ _(k ₁ _+k ₂ ₎ ...C _n ^k ^ℓ ₋ _(k ₁ _+...+k _ℓ

− 1 )

= n!

k 1 !(n − k 1 )!

(n − k 1 )!

k 2 !(n − k 1 − k 2 )! ... = n!

k 1 !k 2 !...k ℓ ! ,

(1.29)

=

^le ^nombre ^de ombinaisons d'avoir

k 1

^fois

a 1

^dans ^un ^ensemble ^de

n

^objets, ^multiplié ^par ^le

nombredeombinaisonsd'avoir

k 2

^fois

a 2

^dans^l'ensemble^de

n − k 1

^objets^restants,^multiplié^par...

Démonstration 2- par réurrene. Pour

ℓ = 1

^(une ^lettre), ^don ^un ^seul ^mot

a 1 ....a 1

^de

lon-gueur

n

^, ^don

k 1 = n

^,^et^don

_k ^n! ₁ _! = 1

Pour

ℓ = 2

^(deux ^lettres),

k 1 + k 2 = n

^, ^formule ^du^binme ^:

C _n ^k ¹

^mots ^ontenant

k 1

^fois ^la

lettre

a 1

^, ^et^don

k 2

^fois^la^lettre

a 2

^,^et

C _n ^k ¹ = _k ₁ ^n! _!k ₂ _!

Supposonsqueesoitvraipour

ℓ ≥ 1

^.^Passons^à

ℓ+1

^(alphabet ^de

ℓ+1

^lettres).

Pour

n = 1

^(mot^de ^longueur

1

^), ^si

k 1 = 1

^alors ^les ^autres

k i = 0

^(on^a ^le ^seul ^mot

a 1

^), ^et

n!

k 1 !k 2 !...k ℓ ! = _1!0!...0! ^1! = 1

^.^Idem^si^'est

k i

^qui^est^non^nul,^pour

i ∈ [1, ℓ] ^N

Supposons que de soit vrai pour

n ≥ 1

^, ^et ^passons ^à

n+1

^. ^au ^moins ^un ^des

k i

^est ^non ^nul.

Quitteàrenuméroter,supposons

k 1 6 = 0

^.^La^formule^du^binme^donne

C _n+1 ^k ¹

^manière^de^plaer

k 1

Il reste

ℓ

^lettres ^à ^plaer ^parmi

n+1 − k 1

^, ^soit

(n+1 − k 1 )!

k 2 !...k ℓ+1 !

^par ^hypothèse ^de ^réurrene. ^Don ^au

total

C _n+1 ^k ¹ ⁽ⁿ⁺¹ _k ₂ _!...k ⁻ ^k ¹ ^)!

ℓ+1 ! = _k ₁ ^[n+1)! _!...k

ℓ+1 !

Exemple1.30 Jeudes hireset deslettres.

m = 26

n = 9

k 1 + ... + k m = n

^,^où^les

k i ∈ N

Lenombredemotsdelongueur

9

^qui^ontiennent

k 1

^fois

a 1

^,^...,

k m

^fois

a m

^est

9!

k 1 !...k m !

1.4.6 Formule du multinme(Newton)

Corollaire1.31 (Formuledumultinme.)Pour

x, y ∈ R

^(ou

∈ C

^), ^pour

n ∈ N

^et ^pour

m ∈ N ^∗

ona:

(x 1 + ... + x m ) ⁿ = X

(k 1,...,km ) ∈ Nm k 1 + ...+ km =n

n!

k 1 !...k m ! x ^k ₁ ¹ ...x ^k _m ^m .

^(1.30)

Preuve. Parréurrene.C'estvraipour

m = 1

^,^e ^pour^tout

n

^:^trivial.

C'est vraipour

m = 2

^,^e^pour^tout

n

^:^formule^du^binme.

Supposonsqueesoitvraipour

m

^,^e ^pour^tout

n

^.^Passons^à

m + 1

(x 1 + ... + x m+1 ) ⁿ

= (x 1 + ... + (x m +x m+1 )) ⁿ

= X

k 1 +...+k m − 1 +K=n

n!

k 1 !...k m − 1 !K! x ^k ₁ ¹ ...x ^k _m ^m ₋ ⁻ ₁ ¹ (x m +x m+1 ) ^K

= X

k 1 +...+k m − 1 +K=n

n!

k 1 !...k m − 1 !K! x ^k ₁ ¹ ...x ^k _m ^m ₋ ⁻ ₁ ¹ X

k m +k m+1 =K

K!

k m !k m+1 ! x ^k _m ^m x ^k _m+1 ^m+1

= X

k 1 +...+k m − 1 +K=n,

X

k m +k m+1 =K

n!

k 1 !...k m − 1 !K!

K!

k m !k m+1 ! x ^k ₁ ¹ ...x ^k _m ^m ₋ ⁻ ₁ ¹ x ^k _m ^m x ^k _m+1 ^m+1 .

Dans le document Probabilités : introduction détaillée. (Page 10-15)

Quelques rappels ombinatoires

A k n = (n) k

n

n

n! = n × (n − 1) × ... × 2 × 1

n ∈ N ∗

0! = 1

0! = 1

n

x 1 , ..., x n

n ≥ 1

n

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

ϕ

[1, n] N

n!

n = 1

n

n+1

n+1

n

n!

(n+1)n! = (n+1)!

A n n = n!

n

n

{ 1, ..., n }

{ x 1 , ..., x n }

{ x 1 , ..., x n }

(x 1 , ...x n ) → (x ϕ(1) , ..., x ϕ(n) )

ϕ

{ 1, ..., n }

{ 1, ..., n }

n

x 1 , ..., x n

n ≥ 1

k ∈ [1, n] N

k

(x ϕ(1) , ..., x ϕ(k) )

ϕ

[1, k] N

[1, n] N

k

n

k

n

A k n

= n!

(n − k)! = n × (n − 1) × ... × (n − k+1).

A n n = n!

A k n = (n) k

n

k

n

k

P(n, k)

n = 1

k = 1

A 1 1 = (1 − 1! 1)! = 1

n = 2

k = 1

2 = A 1 2

2

k = 2

1 = A 2 2

2

n − 1 ≥ 1

k ∈ [1, n − 1] N

n

k = 1

n = A 1 n

n

k

1 ≤ k ≤ n − 1

k+1

n

n − 1

k

A k n − 1

nA k n − 1 = n (n (n − − 1 − 1)! k)! = (n − (k+1))! n! = A k+1 n

A ^k _n = (n) k

n ∈ N ^∗

[1, n] ^N

A ⁿ n = n!

k ∈ [1, n] ^N

[1, k] ^N

[1, n] ^N

A ^k _n

A ⁿ _n = n!

A ^k _n = (n) k

A ¹ ₁ = ₍₁ ₋ ^1! _1)! = 1

2 = A ¹ ₂

1 = A ² 2

n = A ¹ _n

A ^k _n ₋ ₁

nA ^k _n ₋ ₁ = n _(n ⁽ⁿ ₋ ⁻ ₁ ₋ ^1)! _k)! = _(n ₋ _(k+1))! ^n! = A ^k+1 _n

A ⁿ _n = n!

A ³ 20 = ^20! _17! = 18 ∗ 19 ∗ 20 = 6840

P = _7! ²

C _n ^k = ⁿ _k

n ∈ N ^∗

k ∈ [1, n] ^N

C _n ^k

C _n ^k

C _n ^k = ⁿ _k

A ^k _n

k! C _n ^k = A ^k _n

C _n ^k+1

C _n ^k

C _n ^k +C _n ^k+1 = C _n+1 ^k+1

C ₂₀ ³ = _3!17! ^20! = ^18.19.20 _2.3 = 1140

k ∈ [1, n] ^N

C _n ^k

C ₁ ⁰ = 1 = C ₁ ¹

k ∈ [0, n] ^N

C _n+1 ⁰ = 1