Différentielles secondes des tenseurs, et dérivées secondes de Lie.

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∼

leborgne

Diérentielles seondes des tenseurs, et dérivées seondes de Lie

GillesLeborgne

22avril2017

Onutilise iilestenseurset lesontrationstensorielles.

Table des matières

1 Dualité 1

1.1 Espaevetoriel

V

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1}

1.2 Espaevetorieldual

V ^∗

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2}

1.3 ContrationetsymboledeKroneker. . . 2

1.4 Bidual,isomorphisme . . . 2

2 Tenseurs

L ^r _s

3 2.1 Dénition . . . 3

2.2 Produittensoriel . . . 3

2.3 Composantes . . . 3

2.4 Isomorphismeetappliationlinéaireassoiéeàuneformebilinéaire . . . 4

2.5 Isomorphismeetappliationlinéaireassoiéeàuntenseurd'ordre3 . . . 5

3 Tenseurs

T s ^r (Ω)

⁵ 3.1 Champdefontions . . . 6

3.2 Champdeveteurs . . . 6

3.3 Champdeformeslinéaires:lesformesdiérentielles . . . 6

3.4 Tenseursdetype

1 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6}

3.5 Tenseursdetype

0 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6}

3.6 Tenseursdetype

1 2

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7}

3.7 Tenseursdetype

0 3

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7}

4 Fontionsdiérentiablesàvaleurssalaires 7 4.1 Dénition . . . 7

4.2 Propriétédeonservationversusdenononservation . . . 8

5 Fontionsdiérentiables,asgénéral 9 5.1 Dénitiongénérale . . . 9

5.2 Diérentielle

d~ v

^{d'unhampdeveteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9}

5.3 Diérentielle

dα

^d'uneformediérentielle . . . 10

5.4 Caspartiulierdeladiérentielleseonde

d ² f

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11}

5.5 Unerelationentrelesdiérentiellespremières . . . 12

6 Diérentiellesseondes 12 6.1 Diérentielleseonde

d ² ~ v

^{d'unhampdeveteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12}

6.2 Dérivations

d(d~ u.~ v)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13}

6.3 DérivéeseondedeLie:

L _{w ~} ( L _{~ v} ~ u)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14}

6.4 Diérentielleseonde

d ² α

^d'uneformediérentielle . . . 14

6.5 Dérivations

d(dα.~ v)

^et

d(α.d~ v)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15}

6.6 DérivéeseondedeLie:

L _{w ~} ( L _{~ v} α)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16}

1 Dualité

1.1 Espae vetoriel

V

Soit

V

^{unespaevetorieldedimension}

n

^isomorpheà

R ⁿ

.Onn'utiliserapasdeproduitsalaire.

Soit

(~e i ) i=1,...,n =

^noté

(~e i )

^de

V

^{une base} indépendante du point

p ∈ Ω

^. Représentation matriielle d'unveteurrelativementàunebase

(~e i )

^:

si

~v = X

i

v ⁱ ~e i ∈ V,

^onnote

[~v] =



 v ¹

.

.

.

v ⁿ





^matrieolonne

,

^(1.1)

oùonutiliselanotationindie-exposantd'Einstein.

1.2 Espae vetoriel dual

V ^∗

Soit

V ^∗ = L (V ; R )

^{le dual de}

V

^{, i.e. l'ensemble des formes linéaires sur}

V

^{, i.e. l'ensemble des}

appliationslinéaires àvaleursréelles.

Pour

ℓ ∈ V ^∗

^et

~v ∈ V

^onnote

ℓ(~v) = ℓ.~v

^{,notationd'unproduit} (distributivité)ar

ℓ

^{estlinéaire.}

Les

ℓ ∈ V ^∗

^sontdesinstrumentsdemesuredesveteurs:si

~v ∈ V

^alors

ℓ.~v ∈ R

donneunevaleur de

~v

^,pourl'instrumentsdemesure

ℓ

^.

Onnote

(e ⁱ )

^{labasedualedelabase}

(~e i )

^{,i.e.labaseonstituéedesformeslinéaires}

e ⁱ ∈ V ^∗

^t.q.:

(e ⁱ (~e j ) =) e ⁱ .~e _j = δ _j ⁱ .

^(1.2)

Don

e ⁱ

^{estlaformelinéairedeprojetionsurladroitevetorielleengendréepas}

~e _i

parallèlementaux autresdiretions.Ainsi,si

~v = P

j v ^j ~e _j

^,alors

e ⁱ .~v = v ⁱ

^{donne lavaleurdela}

i

^{-èmeomposantede}

~v

surlabase

(~e i )

^{.Autrementdit, onalule}

v ⁱ

^àpartirde

~v

^grâeà

e ⁱ

^.

Représentationmatriielled'uneformelinéairerelativementàlabase duale

(e ⁱ )

^:

si

ℓ = X

i

ℓ i e ⁱ ∈ V ^∗ ,

^onnote

[ℓ] = ( ℓ 1 ... ℓ n )

^matrieligne

,

^(1.3)

oùonutiliselanotationindie-exposantd'Einstein.En partiulier,si

~v = P

i v ⁱ ~e i

^alors:

ℓ.~v = X

i

ℓ _i v ⁱ ,

^et

ℓ.~v = ( ℓ 1 ... ℓ _n ) .



 v ¹

.

.

.

v ⁿ



 ,

^(1.4)

produit matriiel d'unematrie ligne

1 ∗ n

^{parune matrie olonne}

n ∗ 1

^{. La onventiond'Einstein}

permetdes'assurerquelealulfaitestobjetif(indépendantdelabasehoisie).

1.3 Contration et symbole de Kroneker

Lafontion

δ

^suivante,trivialementbilinéaire,est appeléeopérationdeKroneker:

δ :

( V ^∗ × V → R

(ℓ, ~v) → δ(ℓ, ~v)

^déf

= ℓ.~v.

(1.5)

Égalementappelé laontrationd'uneformelinéaireetd'unveteur.

Enpartiuliersiondisposed'unebase

(~e i )

^alors

δ(e ⁱ , ~e j ) = δ ⁱ _j =

^{lesymboledeKroneker.}

1.4 Bidual, isomorphisme

Onnote

V ^∗∗ =

^déf

(V ^∗ ) ^∗ = L (V ^∗ ; R )

^{ledual dudual,appelélebidual.}

Lesveteurs

ℓ ∈ V ^∗

^{sont mesurésà l'aide des}

v ∈ V ^∗∗

^{(lesformes linéaires sur}

V ^∗

^{),le résultat}

étantleréel

v.ℓ

^.

Onnote :

J :

( V → V ^∗∗

~v → J (~v)

^noté

= v,

^où

∀ ℓ ∈ V ^∗ , J (~v).ℓ

^déf

= ℓ.~v

^noté

= v.ℓ.

(1.6)

J

^estunisomorphismeanonique(appliationlinéairebijetivedontladénitionnedépend quedes objetsetnondeleurreprésentation).Etlebidual

V ^∗∗

^{estinterprétéommel'ensembledes}dérivations diretionnelles.Etonnotealorssouventabusivement:

v.ℓ

^noté

= ~v.ℓ.

^(1.7)

Soit

(~e i )

^{unebase debaseduale}

(e ⁱ )

^.Onnote

(e i )

^{labasedualedelabase}

(e ⁱ )

^{,ditebasebiduale}

delabase

(~e i )

^{. Donona}

e i .e ^j = e ^j .~e i = δ ^j _i

^,et

e i .e ^j =

^noté

~e i .e ^j

^.

Et si

ℓ = P

j ℓ j e ^j

^{, alors}

e i .ℓ = ℓ i

⁽

= ℓ.~e i

^{) donne la valeur de la}

i

^{-ème omposante de}

ℓ

^{sur la}

base

(e ⁱ )

^.

N.B.:iln'yapasderègledealulmatriielquitienneave

v ∈ V ^∗∗

^et

ℓ ∈ V ^∗

^pouraluler

v.ℓ

^:

pourfairedualulmatriiel ilfaut passerpar

J

^{et érire}

v.ℓ = ℓ.~v = [ℓ].[~v] =

^{leréel produit d'une}

matrie

1 ∗ n

^{parune matrie}

n ∗ 1

^.

3 2. Tenseurs

L ^r _s

Enrevanhetouteslesrèglesdeontrationstensoriellestiennent:laonventiond'Einsteinsurla

position des indies exposantspermet de ne pas setromper aron ne peutontrater qu'un indie

aveunexposant(etpasdeuxindies, etpasdeux exposants).

Ainsisi

v = P

i v ⁱ e i

^et

ℓ = P

j ℓ j e ^j

^,alors

v.ℓ = P

ij v ⁱ ℓ j (e i .e ^j ) = P

i v ⁱ ℓ i

^.

Etsi

~v = P

i v ⁱ ~e _i

^et

ℓ = P

j ℓ _j e ^j

^,alors

ℓ.~v = P

ij ℓ _j v ⁱ (e ^j .e _i ) = P

i ℓ _i v ⁱ = v.ℓ

^quand

v = J (~v)

^.

Eneetsi

~v = P

i v ⁱ ~e i

^alors

v = J (~v) = P

i v ⁱ e i

^,ar

v.e ⁱ = e ⁱ .~v = v ⁱ

^.

2 Tenseurs

L ^r s

2.1 Dénition

Soit

V

^{unespaevetoriel,et soit}

V ^∗

^sondual.

Lestenseurs

L ^r s

^{sontdénisàl'aidedesdeuxespaesvetoriels}

V

^et

V ^∗

^.

Dénition2.1 Soit

r, s ∈ N

ave

r

^ou

s

^{nonnul.Untenseurdetype}

r s

^sur

V

^(oudetype

^r _s

sur

V

⁾

estune formemultilinéaire

T ∈ L (V ^∗ , ..., V ^∗

| {z }

r fois

, V, ..., V

| {z }

s fois

; R )

^noté

= L ^r s ,

^et

T

^{estaussiappeléuntenseur}

L ^r s

^.

Etonnote

L ⁰ 0 = R

, Exemple 2.2

L ⁰ 1 = L(V ; R ) = V ^∗

^,

L ¹ 0 = L(V ^∗ ; R ) = V ^∗∗ ≃ V

^,grâeàl'isomorphisme

J

^{, f.(1.6),}

L ⁰ 2 = L (V, V ; R ) =

^lesformesbilinéairessur

V × V

^,

L ¹ 1 = L (V ^∗ , V ; R ) =

^lesformesbilinéairessur

V ^∗ × V

^{,isomorpheàl'ensembledes}endomorphismes, ...

Danstouslesaslestenseurs sontdesinstrumentsdemesuredeformesetdeveteurs.

2.2 Produit tensoriel

Rappel:si

f : A → R

et

g : B → R

sontdeuxfontions,onappelleproduit tensorielde

f

^et

g

^la

fontiondedeuxvariables

f ⊗ g : A × B → R

déniepar,pourtout

x ∈ A

^et

y ∈ B

^:

(f ⊗ g)(x, y)

^déf

= f (x)g(y).

^(2.1)

En partiulierave

v ∈ L ¹ 0 = L (V ^∗ ; R )

^et

ℓ ∈ L ⁰ 1 = L (V ; R )

^{, leproduit tensoriel de}

v

^et

ℓ

^{est la}

fontion

v ⊗ ℓ : V ^∗ × V → R

déniepar,pourtout

m ∈ V ^∗

^ettout

w ~ ∈ V

^:

(v ⊗ ℓ)(m, ~ w) = (v.m)(ℓ. ~ w)

^noté

= (~v ⊗ ℓ)(m, ~ w).

^(2.2)

(Onautilisél'isomorphisme

J

^{danslanotation).}Trivialement

v ⊗ ℓ

^bilinéaire:

v ⊗ ℓ =

^noté

~v ⊗ ℓ ∈ L ¹ 1

^.

Et

ℓ, m ∈ L ⁰ 1

^donnent

ℓ ⊗ m ∈ L ⁰ 2

^{, où}

(ℓ ⊗ m)(~v, ~ w) = (ℓ.~v)(m. ~ w)

^pourtout

~v, ~ w ∈ V

^.

Et

v, w ∈ L ¹ 0

^donnent

v ⊗ w =

^noté

~v ⊗ w ~ ∈ L ² 0

^{, où}

(~v ⊗ w)(ℓ, m) = (v ~ ⊗ w)(ℓ, m) = (v.ℓ)(w.m) = (ℓ.~v)(m. ~ w)

^pourtout

ℓ, m ∈ V ^∗

^.

Lestenseurs detype

a ⊗ b

^,où

a ∈ V

^où

V ^∗

^et

b ∈ V

^où

V ^∗

^{,sontappeléstenseurs}élémentaires.

Plus généralement,

v 1 ⊗ ... ⊗ v r ⊗ ℓ 1 ⊗ ... ⊗ ℓ s

^{est un tenseur}élémentaire de

L ^r s

^{. Et àl'aide de}

l'isomorphisme

J

^{,onlenoteégalement}

~v 1 ⊗ ... ⊗ ~v _r ⊗ ℓ 1 ⊗ ... ⊗ ℓ _s ∈ L ^r s

^.

2.3 Composantes

Siondisposed'unebase

(~e i )

^debaseduale

(e ⁱ )

^,alors

(e i ₁ ⊗ ... ⊗ e i r ⊗ e ^{j 1} ⊗ ... ⊗ e ^{j s} )

^{est unebase}

de

L ^r s

^{, égalementnotée}

(~e i ₁ ⊗ ... ⊗ ~e i r ⊗ e ^{j 1} ⊗ ... ⊗ e ^{j s} )

^{grâe à}l'isomorphisme

J

^{. Et onutilise les}

notationsd'Einstein.Parexemplepour

T ∈ L ¹ 2

^(asde

d ² ~v(p)

^{voirplusloin):}

T = X

ijk

T ⁱ jk ~e i ⊗ e ^j ⊗ e ^k ,

^et

T (ℓ, ~v, ~ w) = X

ijk

T ⁱ jk ℓ i v ^j w ^k ,

^(2.3)

ar

(~e i ⊗ e ^j ⊗ e ^k )(ℓ, ~v, ~ w) = (~e i .ℓ)(e ^j .~v)(e ^k . ~ w)

^.Onnote

T ⁱ jk = T _jk ⁱ

^{s'iln'y apas}d'ambiguité.

Etpour

T ∈ L ⁰ 3

^(asde

d ² α(p)

^{voirplusloin):}

T = X

ijk

T ijk e ⁱ ⊗ e ^j ⊗ e ^k ,

^et

T (~ u, ~v, ~ w) = X

ijk

T ijk u ⁱ v ^j w ^k .

^(2.4)

4 2. Tenseurs

L ^r _s

2.4 Isomorphisme et appliation linéaire assoiée à une forme bilinéaire

Si

A

^et

B

^{sontdeuxespaesvetoriels,onnote}

L (A; B)

^{l'ensembledes}appliationslinéairesde

A

dans

B

^.(Leas

B = R

vientd'être traité.)

Si

C

^{est un autre espae vetoriel, on note}

L (A, B; C)

^{l'ensemble des} appliations bilinéaires sur

A × B

^{àvaleurs dans}

C

^{. Et quand}

C = R

les appliations bilinéaires sont appelées lesformes bilinéaires.

Soit

L ∈ L (A; B)

^{(uneappliationlinéairede}

A

^dans

B

^).Onnote:

I 2 :

( L (A; B) → L (B ^∗ , A; R )

L → T = I ² (L)

^où

T (ℓ b , ~a)

^déf

= ℓ _b .(L.~a),

(2.5)

quiest unisomorphismeanonique.

Onidentieainsiuneappliation linéaire

L

^{et laformebilinéaire}

I 2 (L) = T

^.

Notationdelaontration:si

b ∈ B ^∗∗

^et

ℓ _a ∈ A ^∗

^alors

T = b ⊗ ℓ _a ∈ L (B ^∗ × A; R )

^estl'appliation linéairedénie par

(b ⊗ ℓ a )(ℓ b .~a) = (b.ℓ b )(ℓ a .~a)

^{. Et onnote également,pourune} utilisationaveles ontrations:

L = I 2 ^{− 1} (b ⊗ ℓ a )

^noté

= b ⊗ ℓ a

^{ausens (2.6)}

oùondoitutiliserlaontrationtensoriellepourfairelesaluls.Demanièregénériquelaontration

s'érit;

(a ⊗ b).c = a (b.c) = (b.c) a,

^(2.7)

dèsque

(b, c) ∈ V × V ^∗

^oubien

(b, c) ∈ V ^∗ × V

(ompatibilitépouravoir

b.c ∈ R

).

Exemple 2.3 Cas

A = V

^et

B = V ^∗

^.Ona

L (V ; V ^∗ ) ≃ L (V ^∗∗ , V ; R ) ≃ L (V, V ; R ) = L ⁰ 2

^.

Soit

L ∈ L (V ; V ^∗ )

^.Onidentie

L

^{àlaformebilinéaire}

T = I 2 (L) ∈ L ⁰ 2

^.

Pourlesaluls:si

(~e i )

^estunebasede

V

^debaseduale

(e ⁱ )

^:

si

I 2 (L) = T = X

ij

T ij e ⁱ ⊗ e ^j

^{alorsonnoteaussi}

L

^noté

= X

ij

T ij e ⁱ ⊗ e ^j ,

^{ausens (2.8)}

oùondoitutiliserlaontrationtensoriellepourfairelesaluls:

(e ⁱ ⊗ e ^j ).~v = e ⁱ (e ^j .~v)

^donne:

L.~v = ( X

ij

T ij e ⁱ ⊗ e ^j ).~v = X

ij

T ij e ⁱ (e ^j .~v) = X

ij

T ij v ^j e ⁱ ∈ V ^∗ .

^(2.9)

Iln'yapasd'ambiguïté(lamatrie

[T ij ] = [~e i .(L.~e j )]

^{est lamatrieusuellede}

L

^).Et:

(L.~v). ~ w = T ( w, ~v) = ~ X

ij

T _ij w ⁱ v ^j .

^{Attentionàl'ordreentre}

~v

^et

w. ~

^(2.10)

Exemple 2.4 Cas

A = B = V

^{. Ona}

L (V ; V ) ≃ L (V ^∗ , V ; R ) = L ¹ 1

^.

Soit

L ∈ L (V ; V )

^{. Onidentie}

L

^{àlaformebilinéaire}

T = I ² (L) ∈ L ¹ 1

^.

Pourlesaluls:si

(~e i )

^estunebasede

V

^debaseduale

(e ⁱ )

^:

si

I ² (L) = T = X

ij

T _j ⁱ ~e _i ⊗ e ^j

^{alorsonnoteaussi}

L

^noté

= X

ij

T _j ⁱ ~e _i ⊗ e ^j ,

^{ausens (2.11)}

oùondoitutiliserlaontrationtensoriellepourfairelesaluls:

(~e i ⊗ e ^j ).~v = ~e i (e ^j .~v)

^donne:

L.~v = ( X

ij

T _j ⁱ ~e _i ⊗ e ^j ).~v = X

ij

T _j ⁱ ~e _i (e ^j .~v) = X

ij

T _j ⁱ v ^j ~e _i ∈ V ≃ V ^∗∗ .

^(2.12)

Iln'yapasd'ambiguïté(lamatrie

[T _j ⁱ ] = [e ⁱ .(L.~e j )]

^{estlamatrieusuellede}

L

^).Et:

(L.~v).ℓ = T (ℓ, ~v) = X

ij

T _j ⁱ ℓ i v ^j .

^{Attentionàl'ordreentre}

~v

^et

ℓ.

^(2.13)

5 3. Tenseurs

T _s ^r (Ω)

2.5 Isomorphisme et appliation linéaire assoiée à un tenseur d'ordre 3

Onseontenteduasdestenseursd'ordre3dontonaurabesoindanslasuite,leasgénéralétant

traitédelamêmemanière.

Soit

L ∈ L (A; L (B; C ^∗ )) = L (A; L (B; L (C; R )))

^{uneappliationlinéairede}

A

^dans

L (B; C ^∗ )

^.Pour

~a ∈ A

^,

~b ∈ B

^et

~c ∈ C

^ona:

L −→ ^{~ a} L.~a ∈ L (B; C ^∗ ) −→ ^~b (L.~a).~b ∈ C ^∗ −→ ^{~ c} ((L.~a).~b).~c ∈ R .

^(2.14)

Onnotealors:

I 3 :

( L (A; L (B; C ^∗ )) → L (C, B, A; R )

L → T = I ³ (L)

^où

T (~c,~b, ~a)

^déf

= ((L.~a).~b).~c,

(2.15)

quiest unisomorphismeanonique. Attentionàl'ordre.

Exemple 2.5 Ona

L (V ; L (V ; V ^∗ )) ≃ L (V, V, V ; R ) = L ⁰ 3

^{,f. (2.15).}

Soitl'appliationlinéaire

L ∈ L (V ; L (V ; V ^∗ ))

^{.Onl'identieàlaforme}trilinéaire

I 3 (L) ∈ L ⁰ 3

^.

Si

(~e i )

^{est unebasede}

V

^{debase duale}

(e ⁱ )

^:

si

I ³ (L) = T = X

ijk

T _ijk e ⁱ ⊗ e ^j ⊗ e ^k

^alorsonnote

L

^noté

= T,

^{ausens (2.16)}

oùondoitutiliserlaontrationtensoriellepourfairelesaluls:pour

~a,~b, ~c ∈ V

^:

 

 

 

 



 

 

 

 

L.~a = X

ijk

T ijk e ⁱ ⊗ e ^j (e ^k .~a) = X

ijk

T ijk a ^k e ⁱ ⊗ e ^j ,

(L.~a).~b = X

ijk

T _ijk a ^k e ⁱ (e ^j .~b) = X

ijk

T _ijk b ^j a ^k e ⁱ ,

((L.~a).~b).~c = X

ijk

T _ijk b ^j a ^k (e ⁱ .~c) = X

ijk

T _ijk c ⁱ b ^j a ^k = T (~c,~b, ~a).

(2.17)

Attentionàl'ordre.Iln'y apasd'ambiguïté.

Exemple 2.6 Ona

L (V ; L (V ; V )) ≃ L (V ^∗ , V, V ; R ) = L ¹ 2

^,f.

I 3

^dans(2.15).

Soitl'appliationlinéaire

L ∈ L (V ; L (V ; V ))

^{.Onl'identieàlaforme}trilinéaire

I 3 (L) ∈ L ¹ 2

^.

Soit

(~e i )

^{estunebase de}

V

^{debase duale}

(e ⁱ )

^.

Si

I ³ (L) = T = X

ijk

T _jk ⁱ ~e _i ⊗ e ^j ⊗ e ^k

^alorsonnote

L

^noté

= T,

^{ausens (2.18)}

oùondoitutiliserlaontrationtensoriellepourfairelesaluls:pour

~a,~b ∈ V

^et

γ ∈ V ^∗

^:

 

 

 

 



 

 

 

 

L.~a = X

ijk

T _jk ⁱ ~e i ⊗ e ^j (e ^k .~a) = X

ijk

T _jk ⁱ a ^k ~e i ⊗ e ^j ,

(L.~a).~b = X

ijk

T _jk ⁱ a ^k ~e i (e ^j .~b) = X

ijk

T _jk ⁱ b ^j a ^k ~e i ,

((L.~a).~b).γ = X

ijk

T _ijk b ^j a ^k (~e i .γ) = X

ijk

T _jk ⁱ γ _i b ^j a ^k = T (γ,~b, ~a).

(2.19)

Attentionàl'ordre.Iln'y apasd'ambiguïté.

3 Tenseurs

T _s ^r (Ω)

Soit

V

^{unespaeaned'espaevetorielassoié}

V

^{,et soit}

Ω

^unouvertdans

V

^.Lespoints

p ∈ Ω

représententparexemplelespositionsdepartiulesd'unobjet.

Plus généralement on pourrait onsidérer

Ω

^{une variété} diérentiable de dimension

n

^{ave son}

bré tangent(l'ensembledes espaesvetoriels tangentsen haquepoint).Dans eas onutiliserait

aux points

p ∈ Ω

^{une base}

(~e i (p))

^{de l'espae tangent en}

p

^{. Etalors pourlealul des dérivées,les}

dérivéesnotées

∂v ⁱ

∂x ^j

^{seraientàremplaerparlesdérivées}

v ⁱ _{| j}

^{inluantlessymbolesdeChristoel.Voir}

polyopié : Méanique, tenseurs 2ème partie. Pour simplier les notations on restera dans le adre

ane ave une base

(~e i )

indépendante de

p

^{. (Pour les dérivées de Lie les symboles de Christoel}

disparaissent.)

6 3. Tenseurs

T _s ^r (Ω)

3.1 Champ de fontions

Onnotera

C ⁰ (Ω; R ) =

^noté

T ₀ ⁰ (Ω)

^{l'ensembledesfontions}

C ⁰

^sur

Ω

^.

3.2 Champ de veteurs

On notera

T ₀ ¹ (Ω)

^{l'ensemble des hamps de veteurs sur}

Ω

^{, dits tenseurs de type}

¹ ₀

(grâe à

l'isomorphisme

J

^{):'estl'ensembledesfontions:}

~v :

( Ω → V ≃ V ^∗∗ = L(V ^∗ ; R )

p → ~v(p)

^(3.1)

(Dénitionpréise :voirpolyTenseurs...;dessin:enhaquepoint

p

^{ondessineunveteur.)}

Et,grâeàl'isomorphisme

J

^entre

V

^et

V ^∗∗

^,ona

ℓ.~v(p) = v(p).ℓ =

^noté

~v(p).ℓ

^pourtout

ℓ ∈ V ^∗

^.

Siondisposed'unebase

(~e i )

^debaseduale

(e ⁱ )

^,onapour

p ∈ Ω

^:

si

~v(p) = X

i

v ⁱ (p)~e i ∈ V ≃ L ¹ 0 ,

^alors

~v = X

i

v ⁱ ~e _i ∈ T ₀ ¹ (Ω).

^(3.2)

3.3 Champ de formes linéaires : les formes diérentielles

Onnotera

T ₁ ⁰ (Ω)

^{l'ensembledeshamps deformeslinéairessur}

Ω

^{,appelées formes}diérentielles, ouenoretenseurs detype

0 1

:'estl'ensembledesfontions:

α :

( Ω → V ^∗ = L (V ; R )

p → α(p)

^(3.3)

Don

α(p)

^{estlaformelinéairearatériséeparlesvaleursréelles}

α(p).~v

^pourtout

~v ∈ V

^.

Contration:siondisposed'unhampdeveteurs

~v ∈ T ₀ ¹ (Ω)

^{,enhaquepoint}

p

^onpeutaluler

leréel

(α.~v)(p) = α(p).~v(p)

^{,mesureduhamp}

~v

^parlaforme

α

^en

p

^.

Siondisposed'unebase

(~e i )

^debaseduale

(e ⁱ )

^,onapour

p ∈ Ω

^:

si

α(p) = X

i

α i (p)e ⁱ ∈ V ^∗ = L ⁰ 1 ,

^alors

α = X

i

α i e ⁱ ∈ T ₁ ⁰ (Ω).

^(3.4)

Etave

~v = P

i v ⁱ ~e i ∈ T ₀ ¹ (Ω)

^,ona

α(p).~v(p) = P

ij α i (p)v ⁱ (p) ∈ R

et

α.~v = P

ij α i v ⁱ ∈ T ₀ ⁰ (Ω)

^.

3.4 Tenseurs de type

1 1

Onnotera

T ₁ ¹ (Ω)

^{l'ensemble deshamps de tenseurs de type}

¹ ₁

sur

Ω

^{, appelés simplementdes}

tenseurs.C'estl'ensembledesfontions:

T :

( Ω → L ¹ 1 = L (V ^∗ , V ; R )

p → T (p)

^(3.5)

Don

T (p)

^{est laforme bilinéaire aratériséepar lesvaleursréelles}

T (p)(ℓ, ~ w)

^pourtout

ℓ ∈ V ^∗

^et

~

w ∈ V

^.(Appliationàladiérentielle

d~v ∈ T ₁ ¹ (Ω)

^{.)Dansunebase:}

T = X

ij

T _j ⁱ ~e _i ⊗ e ^j ∈ T ₁ ¹ (Ω),

^et

T (ℓ, ~v) = X

ij

T _j ⁱ ℓ _i v ^j ∈ T ₀ ⁰ (Ω).

^(3.6)

Et

T

^{estisomorpheàunhamp}d'endomorphismes,f.(2.11).

3.5 Tenseurs de type

0 2

Dénitionsimilairepour

T ∈ T ₂ ⁰ (Ω)

^:

T :

( Ω → L ⁰ 2 = L (V, V ; R )

p → T (p)

^(3.7)

Don

T (p)

^{est laforme bilinéaire aratériséepar lesvaleursréelles}

T (p)( ~v, ~ w)

^pourtout

~v, ~ w ∈ V

^.

(Appliationàladiérentielle

dα ∈ T ₂ ⁰ (Ω)

^{.)Dansune base:}

T = X

ij

T _ij e ⁱ ⊗ e ^j ∈ T ₂ ⁰ (Ω),

^et

T (~v, ~ w) = X

ij

T _ij v ⁱ w ^j ∈ T ₀ ⁰ (Ω).

^(3.8)

3.6 Tenseurs de type

1 2

Dénitionsimilairepour

T ∈ T ₂ ¹ (Ω)

^:

T :

( Ω → L ¹ 2 = L (V ^∗ , V, V ; R )

p → T (p)

^(3.9)

(Pourlesdérivéesseondes

d ² ~v

^{deshampsdeveteurs.)Dansunebase :}

T = X

ijk

T _jk ⁱ ~e i ⊗ e ^j ⊗ e ^k ∈ T ₂ ¹ (Ω),

^et

T (ℓ, ~v, ~ w) = X

ijk

T _jk ⁱ ℓ i v ⁱ w ^k .

^(3.10)

3.7 Tenseurs de type

0 3

Dénitionsimilairepour

T ∈ T ₃ ⁰ (Ω)

^:

T :

( Ω → L ⁰ 3 = L (V, V, V ; R )

p → T (p)

^(3.11)

(Pourlesdérivéesseondes

d ² α

^desformesdiérentielles.) Dansunebase:

T = X

ijk

T _ijk e ⁱ ⊗ e ^j ⊗ e ^k ∈ T ₃ ⁰ (Ω),

^et

T (~ u, ~v, ~ w) = X

ijk

T _ijk u ⁱ v ⁱ w ^k .

^(3.12)

4 Fontions diérentiables à valeurs salaires

4.1 Dénition

Onsupposeonnuelanotiondefontionontinuesur

Ω

^.

Dénition4.1 La fontion

f : Ω → R

est diérentiable en

p ∈ Ω

^{(ou dérivable en}

p

^{) ssi elle}

admetundéveloppementlimitéaupremierordreauvoisinagede

p

^{,i.e.ssiilexisteuneformelinéaire}

ℓ p =

^noté

df(p) ∈ V ^∗

^{telle quepourtout}

~v ∈ V

^{et auvoisinagede}

h = 0

^(pour

h ∈ R

susamment petitpourque

p + h~v ∈ Ω

^):

f (p + h~v) = f (p) + h df(p).~v + o(h).

^(4.1)

Autrementditsongrapheadmetunhyperplantangenten

p

^{(undroite si}

n = 1

^,unplansi

n = 2

^).

Donsiladiérentielle

df(p)

^existe,ona

df (p) ∈ V ^∗ = L (V ; R ) = L ⁰ ₁

^{,et :}

df (p).~v = lim

h → 0

f (p + h~v) − f (p)

h ∈ R .

^(4.2)

Et

df(p).~v

^{est appelé ladérivée}diretionnellede

f

^en

p

^{dansladiretion}

~v

^.

Dénition4.2 Si

f

^est diérentiableen toutpoint

p ∈ Ω

^alors

f

^{est dite}diérentiabledans

Ω

^.Et

ladiérentiellede

f

^{est alors}l'appliation

df

^déniepar:

df :

( Ω → V ^∗

p 7→ df(p),

^(4.3)

quiàunpoint

p ∈ Ω

^{assoie laformelinéaire}

df (p)

^.Etalors

df ∈ T ₁ ⁰ (Ω)

^.

Etsi

df

^{estontinue,alorsonditque}

f ∈ C ¹ (Ω; R )

^.

Dénition4.3 Lafontionnelle

d

^:

d :

( C ¹ (Ω; R ) → C ⁰ (Ω; V ^∗ ) f 7→ df

(4.4)

estappeléediérentielle,oudérivation.

Siondisposed'unebase

(~e i )

^,onnote:

∂f

∂x ^j :

 



Ω → R p 7→ ∂f

∂x ^j (p)

^déf

= df (p).~e j = lim

h → 0

f (p + h~e _j ) − f (p)

h ,

(4.5)

dérivéediretionnelledansladiretion

~e j

^.Ainsi:

df (p) = X n j=1

∂f

∂x ^j (p) e ^j ∈ V ^∗ , [df(p)] = ( _∂x ^∂f 1 (p) ... _∂x ^∂f n (p) ) ,

^(4.6)

uneformelinéaireétantreprésentéeparunematrieligne.

Exemple 4.4 Soit

V = R ²

espaeanemunid'uneorigine

O

^{etd'unebaseartésienne}

(~e i )

^,etonnote

−→ Op = x~e 1 + y~e 2

^Soit

f (p) = ^x _y

^pour

y 6 = 0

^.Alors

^∂f _∂x (p) = ¹ _y

^et

^∂f _∂x (p) = − _y ^x 2

^{, et}

[df(p)] = ¹ _y − _y ^x 2

.

Etonvérieque:

df(p) : ~v ∈ R ² → df(p).~v

^{ave, pourtout}

~v ∈ R ²

ave

~v = v ¹ ~e 1 + v ² ~e 2

^:

df(p).~v = ∂f

∂x (p) v ¹ + ∂f

∂y (p) v ² = 1

y v ¹ − x

y ² v ² = ¹ _y − y ^{x 2}

v ¹ v ²

= [df (p)].[~v].

Dans

df(p).~v

^{le point est le point de la ontration forme linéaire}

·

^{veteur, alors que dans}

[df(p)].[~v]

^{lepointest lepointdela}multipliationmatriielle.

Etonadénilafontionnelle(linéaire)dedérivation

∂

∂x ^j

^:

∂

∂x ^j :

 



C ¹ (Ω; R ) → C ⁰ (Ω; R ) f 7→ ∂

∂x ^j .f = ∂f

∂x ^j = df.~e j .

(4.7)

Età

p

^{xé,onaaussidénilafontion}

_∂x ^∂ j (p)

^{dedérivationen}

p

^:

∂

∂x ^j (p) :

 



C ¹ (Ω; R ) → R f 7→ ∂

∂x ^j (p).f

^déf

= df(p).~e j (= ∂f

∂x ^j (p)),

(4.8)

et

∂

∂x ^j (p)

^{est identiable à}

e j

^le

j

^{-ème veteur de la base biduale de}

(~e i )

^{, voir polyopié algèbre}

linéaire.Ainsi

e j = _∂x ^∂ j (p)

^est l'opérateurde dérivation dansla diretion

~e j

^, interprétation del'iso- morphisme(1.6).

4.2 Propriété de onservation versus de non onservation

Dénition4.5 Uneformediérentielle

α ∈ T ₁ ⁰ (Ω)

^{estditeexatessiilexiste}

f ∈ C ¹

^telleque

α = df

^.

Proposition4.6 Soit

t 1 < t 2

^{et soit}

γ : [t 1 , t 2 ] → Ω

^{une fontion}

C ¹

^{(une ourbe paramétrée}

diérentiabledans

Ω

^).Onnote

Im(γ) = { p ∈ Ω, ∃ t ∈ [t 1 , t 2 ], p = γ(t) }

^(ourbegéométrique), eton note

p 1 = γ(t 1 )

^et

p 2 = γ(t 2 )

^{lesextrémitésdelaourbe.}

Si

f ∈ C ¹ (Ω; R )

^alorsl'intégrale:

Z

Im(γ)

df

^déf

= Z t ₂

t=t ₁

df(γ(t)).~γ ^′ (t) dt = f (p 2 ) − f (p 1 )

^(4.9)

est une valeur réelle indépendante du hemin

γ

^joignant

p 1

^et

p 2

^{. En partiulier si}

p 1 = p 2

^alors

R

Im(γ) df = 0

^{, et on dit quele travailde la}diérentielle

df

^{lelong d'unhemin}diérentiable

γ

^est

onservatif.C'est fauxengénéralpourlesformesdiérentielles

α ∈ T ₁ ⁰ (Ω)

quelonques.

Preuve.

df (γ(t)).~γ ^′ (t) = (f ◦ γ)(t)

^{et don}

R

Γ df =

^déf

R t ₂

t=t ₁ (f ◦ γ) ^′ (t) dt = (f ◦ γ)(t 2 ) − (f ◦ γ)(t 1 )

^.

Pourlesformesdiérentielles,voirl'exemplesuivant.

Exemple 4.7 (Spin.)Dans l'espaeanede dimension

2

^{, soitun}référentield'origine

O

^{et debase}

artésienne

(~e i )

^.Notons

(e ⁱ )

^{labaseduale.Onrepèreunpoint}

p ∈ Ω

^àl'aidede

−→ Op = P 2

i=1 x ⁱ ~e _i

^.Soit

α ∈ R ²

laformediérentielledespin déniepar:

α(p) = − x ² e ¹ + x ¹ e ² ∈ ( R ² ) ^∗ , [α(p)] = ( − x ² x ¹ ) .

^(4.10)

C'estleprototype delaformediérentielleexprimantlaperted'énergielelongduerleparamétré

γ : t ∈ [0, 2π] → γ(t)

^donnépar

−−−→ Oγ(t) =

R cos t R sin t

. Iiletravailde

α

^lelongde

Imγ

^{estnonnul :}

Z

Imγ

α = Z 2π

t=0

α(γ(t)).~γ ^′ (t) dt = Z 2π

t=0

( − R sin t R cos t ) .

− R sin t R cos t

dt =

Z 2π t=0

R ² dt 6 = 0

^,

bienque

γ(0) = γ(2π)

^{.Enpartiulier}

α

^n'estpasunediérentielleexate, f.proposition4.6.

5 Fontions diérentiables, as général

Toujoursave

Ω

^{unouvert dans}

V

^{espaeaned'espaevetorielassoié}

V

^.

Soit

Z

^{unespaevetoriel.}

L (V ; Z )

^{estl'ensembledes}appliationslinéairesde

V

^dans

Z

^.

5.1 Dénition générale

Dénition5.1 Unefontion

F : Ω ⊂ V → Z

^estdiérentiableen

p ∈ Ω

^{ssiilexiste uneappliation}

linéaire

L p =

^noté

dF (p) : V → Z

^{tellequepourtout}

~v ∈ V

^:

F (p + h~v) = F(p) + h dF(p).~v + o(h) ∈ Z.

^(5.1)

(Ledéveloppementlimitéaupremierordreauvoisinagede

p

^existe.)

Donsiladiérentielle

dF (p)

^existe,ona

dF (p) ∈ L (V ; Z )

^{, et:}

dF (p).~v = lim

h → 0

F (p + h~v) − F(p)

h ∈ Z.

^(5.2)

Et

dF (p).~v

^{est appelé la dérivée} diretionnelle de

F

^en

p

^{dans la diretion}

~v

^{. On a ainsi déni la}

fontion(quandelleexiste):

dF :

( Ω → L (V ; Z)

p → dF (p).

^(5.3)

Etsi

dF

^{estontinue,onditque}

F

^est

C ¹

^.(Leas

Z = R

aété traitéauŸ4.1.)

5.2 Diérentielle

d~v

^{d'un hamp de veteurs}

Cas

Z = V

^{dansladénition 5.1.}

Lafontion

~v : Ω ⊂ V → V

^est diérentiableen

p ∈ Ω

^{ssiil existeune appliationlinéaire,alors}

notée

d~v(p) ∈ L (V ; V )

^{,tellequepourtout}

w ~ ∈ V

^:

d~v(p). ~ w

^déf

= lim

h → 0

~v(p + h ~ w) − ~v(p)

h ∈ V.

^(5.4)

Ona

d~v(p) ∈ L (V ; V )

^{, etona}l'isomorphisme

I ²

^{, f.(2.5)ave}

A = B = V

^.

Onnote

I ² (d~v(p)) = d~v(p) e ∈ L (V ^∗ , V ; R )

^.Donpour

ℓ ∈ V ^∗

^ona:

(d~v(p). ~ w).ℓ = d~v(p)(ℓ, ~ e w), d~v e ∈ T ₁ ¹ (Ω).

^(5.5)

Onaainsiidentiél'endomorphisme

d~v(p)

^{avelaformebilinéaire}

d~v(p) e

^{.Attentionàl'ordre,f.(2.13).}

Etonidentie ladiérentielle

d~v : Ω → L (V ; V )

^{et letenseur}

d~v e ∈ T ₁ ¹ (Ω)

^.

Proposition5.2 Dans unebase

(~e i )

^de

V

^ona:

d~v(p) = e X

ij

∂v ⁱ

∂x ^j (p)~e i ⊗ e ^j ∈ L(V ^∗ , V ; R ), [ d~v(p)] = [ e ∂v ⁱ

∂x ^j (p)] = [v ⁱ ,j (p)].

^(5.6)

Etonnoteégalement,pouruneutilisationavelesontrations:

d~v(p)

^noté

= X

ij

∂v ⁱ

∂x ^j (p) ~e i ⊗ e ^j ∈ L(V ; V ), [d~v(p)] = [ ∂v ⁱ

∂x ^j (p)].

^(5.7)

•

^Contration

(~e i ⊗ e ^j ).~ z = ~e i (e ^j .~ z) = z ^j ~e i

^{, don:}

d~v(p).~ z = X

ij

∂v ⁱ

∂x ^j (p)z ^j ~e i ∈ V,

^(5.8)

•

^ontration

~e i .ℓ = ℓ i

^:

(d~v(p).~ z).ℓ = X

ij

∂v ⁱ

∂x ^j (p)ℓ i z ^j (= d~v(ℓ, ~ e z)).

^(5.9)

Preuve.Ave

~v(p) = P

i v ⁱ (p)~e i

^{,(5.4)donnepourtout}

j

^:

d~v(p).~e j = X

i h lim → 0

v ⁱ (p+h~e j ) − v ⁱ (p)

h ~e i = X

i

∂v ⁱ

∂x ^j (p)~e i ∈ V,

^(5.10)

donpourtout

i, j

^:

(d~v(p).~e j ).e ⁱ = ∂v ⁱ

∂x ^j (p) = d~v(p)(e e ⁱ , ~e _j ).

^(5.11)

D'où(5.6),(5.8)et(5.9).

Exemple 5.3 Soit

V = R ²

munid'uneorigine

O

^{et d'unebase artésienne}

(~e i )

^,et

−→ Op = x~e 1 + y~e 2

^.

Soit

~v

^donnépar

[~v(p)] =

v ¹ (p) = √ x v ² (p) = ^x _y

pour

x > 0

^et

y 6 = 0

^.Alors

[d~v(p)] = 1

2 √

x 0

1 y − y ^{x 2}

.

5.3 Diérentielle

dα

^{d'une forme} diérentielle Cas

Z = V ^∗

^{dansladénition 5.1.}

Lafontion

α : Ω ⊂ V → V ^∗

^estdiérentiableen

p ∈ Ω

^{ssiilexisteune appliationlinéaire,alors}

notée

dα(p) ∈ L (V ; V ^∗ )

^{, tellequepourtout}

w ~ ∈ V

^:

dα(p). ~ w

^déf

= lim

h → 0

α(p + h ~ w) − α(p)

h ∈ V ^∗ .

^(5.12)

Ona

dα(p) ∈ L (V ; V ^∗ )

^{,et ona}l'isomorphisme

I 2

^{,f. (2.5)ave}

A = V

^et

B = V ^∗

^.

Onnote

I 2 (dα(p)) = dα(p) e ∈ L (V, V ; R )

^.Donpour

~ y ∈ V ^∗

^ona:

(dα(p). ~ w).~ y

^noté

= dα(p)(~ e y, ~ w), dα e ∈ T ₂ ⁰ (Ω).

^(5.13)

On a ainsi identié l'appliation linéaire

dα(p)

^{ave la forme bilinéaire}

dα(p) e

^{. Attention à l'ordre,}

f. (2.10).

Etonidentie ladiérentielle

d~v : Ω → L (V ; V )

^{et letenseur}

d~v e ∈ T ₁ ¹ (Ω)

^.

Proposition5.4 Dans unebase

(~e i )

^de

V

^ona:

dα(p) = e X

ij

∂α i

∂x ^j (p) e ⁱ ⊗ e ^j ∈ L(V, V ; R ), [ dα(p)] = [ e ∂α i

∂x ^j (p)] = [α i,j (p)].

^(5.14)

Etonnoteégalement,pouruneutilisationavelesontrations:

dα(p)

^noté

= X

ij

∂α _i

∂x ^j (p) e ⁱ ⊗ e ^j ∈ L(V ; V ^∗ ), [dα(p)] = [ ∂α _i

∂x ^j (p)].

^(5.15)

•

^Contration

(e ⁱ ⊗ e ^j ). ~ w = e ⁱ (e ^j . ~ w) = w ^j e ⁱ

^,don:

dα(p). ~ w = X

ij

∂α i

∂x ^j (p)w ^j e ⁱ ∈ V ^∗ ,

^(5.16)

•

^ontration

e ⁱ .~ y = y ⁱ

^:

(dα(p). ~ w).~ y = X

ij

∂α _i

∂x ^j (p)y ⁱ w ^j (= dα(p)(~ e y, ~ w)).

^(5.17)

Preuve.Ave

α(p) = P

i α _i (p)e ⁱ

^{,(5.12)donne :}

dα(p).~e j = lim

h→ 0

X

i

α _i (p + h~e _j ) − α _i (p)

h e ⁱ = X

i

∂α _i

∂x ^j (p) e ⁱ ,

^(5.18)

don:

(dα(p).~e j ).~e i = ∂α _i

∂x ^j (p) = dα(p)(~e e i , ~e _j ).

^(5.19)

D'où(5.14),(5.16)et(5.17).

Exemple 5.5 Suitedel'exemple4.7.Ii

α(p) = α 1 (p)e ² + α 2 (p)e ²

^où

α 1 (p) = − x 2

^et

α 2 (p) = x 1

^.

Don

∂α ₁

∂x ¹ = 0

^,

^∂α _∂x 2 ¹ = − 1

^,

^∂α _∂x ² 1 = 1

^,

^∂α _∂x ² 2 = 0

^,d'où:

dα(p) = − e ¹ ⊗ e ² + e ² ⊗ e ¹ ,

^(5.20)

et don

dα(p).~e 1 = +e ²

^et

dα(p).~e 2 = − e ¹

^,et:

(dα(p). ~ w).~ y = dα(p)(~ e y, ~ w) = − w ² y ¹ + w ¹ y ² .

^(5.21)

Noterque

dα(p)(~ e y, ~ w) 6 = dα(p)( e w, ~ ~ y)

^{: laformebilinéaire}

dα(p) e

^n'estpassymétrique.

Iilamatriedel'appliationbilinéaire

dα(p) e

^est

[ dα(p)] = e

0 − 1

1 0

,matrienonsymétrique.

5.4 Cas partiulier de la diérentielleseonde

d ² f

Dansleaspartiulierd'uneformediérentielleexate:

α = df

^,ave

f ∈ C ² (Ω; R )

^:

d(df)(p). ~ w

^déf

= lim

h → 0

df(p + h ~ w) − df (p) h

noté

= d ² f (p). ~ w ∈ V ^∗ .

^(5.22)

Etpourtout

~ y, ~ w ∈ V

^:

((d(df)(p). ~ w).~ y =) (d ² f (p). ~ w).~ y

^noté

= d e ² f (p)(~ y, ~ w),

^(5.23)

ave

d e ² f ∈ T ₂ ⁰ (Ω)

^.

Théorème 5.6 (de Shwarz.) Quand

f

^est

C ²

^sur

Ω

^alors

d ² f

^{est symétrique au sens où}

d e ² f

^est

symétrique:pourtout

p ∈ Ω

^ettous

~ y, ~ w ∈ V

^:

(d ² f (p). ~ w).~ y = (d ² f (p).~ y). ~ w,

^soit

d e ² f (p)(~ y, ~ w) = d e ² f (p)(~ w, ~ y).

^(5.24)

En partiuliersi

(~e i )

^{est unebase}artésienne,ona:

∂ _∂x ^∂f i

∂x ^j = ∂ _∂x ^∂f j

∂x ⁱ

noté

= ∂ ² f

∂x ⁱ ∂x ^j ,

^(5.25)

et lamatrie

[ _∂x ^∂ i ² ∂x ^{f j} ]

^estsymétrique,appeléematriehessiennede

f

^.

Preuve.Voirpolyopié1èreannée:Fontionsdeplusieursvariables.

5.5 Une relation entre les diérentielles premières

Soit

α ∈ T ₁ ⁰ (Ω)

^et

~v ∈ T ₀ ¹ (Ω)

^.

Ondénit leproduitontraté

α.~v : Ω → R

par

(α.~v)(p) = α(p)~v(p)

^.

Ainsi

α.~v ∈ T ₀ ⁰ (Ω)

^etquand

α

^et

~v

^sont

C ¹

^,

d(α.~v) ∈ T ₁ ⁰ (Ω)

^.

Ave

d~v(p) ∈ L (V ; V )

^et

d~v(p) e ∈ L ¹ ₁

^,etave

dα(p) ∈ L (V ; V ^∗ )

^et

dα(p) e ∈ L ⁰ ₂

^.

Ainsipour

w ~ ∈ V

^ona

d~v(p). ~ w ∈ V

^et

dα(p). ~ w ∈ V ^∗

^.

Proposition5.7 Onalaformulededérivation d'unproduit:

d(α.~v) = (dα).~v + α.(d~v),

^(5.26)

ausens,pour

w ~ ∈ V

^{(dérivéedansladiretion}

w ~

^):

d(α.~v). ~ w = (dα. ~ w).~v + α.(d~v. ~ w).

^(5.27)

Preuve.Ona:

d(α.~v)(p). ~ w = lim

h → 0

α(p + h ~ w).~v(p + h ~ w) − α(p).~v(p)

h ,

ave:

α(p + h ~ w).~v(p + h ~ w) − α(p).~v(p) = α(p + h ~ w).(~v(p + h ~ w) − ~v(p)) + (α(p + h ~ w) − α(p)).~v(p)

= (α(p) + o(1))(h d~v(p). ~ w + o(h)) + (h dα(p). ~ w + o(h)).~v(p)

= h α(p).(d~v(p). ~ w) + h (dα(p). ~ w).~v(p) + o(h),

d'où(5.27).

Remarque 5.8 Démonstration à l'aide d'une base :

α.~v = P

i α i v ⁱ

^{, d'où}

d(α.~v) = P

i (dα i ) v ⁱ + P

i α i (dv ⁱ )

^,d'où:

d(α.~v) = X

i

( X

j

∂α _i

∂x ^j e ^j ) v ⁱ + X

i

α i ( X

j

∂v ⁱ

∂x ^j e ^j ),

^(5.28)

d'où

d(α.~v). ~ w = P

ij ( ^∂α _∂x j ⁱ v ⁱ w ^j + P

ij α _{i ∂x} ^{∂v i} j w ^j

^.

6 Diérentielles seondes

6.1 Diérentielle seonde

d ² ~v

^{d'un hamp de veteurs}

Soit

~v : Ω ⊂ V → V

^supposé

C ²

^.Ona

d~v : Ω ⊂ V → L (V ; V )

^.

Onprend

Z = L (V ; V )

^{dansladénition 5.1:ona:}

d ² ~v

^déf

= d(d~v) :

( Ω ⊂ V → L (V ; L (V ; V )) p → d ² ~v(p)

^déf

= d(d~v)(p),

(6.1)

oùdonpourtout

w ~ ∈ V

^:

d ² ~v(p). ~ w = d(d~v)(p). ~ w

^déf

= lim

h → 0

d~v(p + h ~ w) − d~v(p)

h ∈ L (V ; V ).

^(6.2)

Don

d ² ~v(p). ~ w

^{estaratériséàl'aidedesveteurs}

~ y ∈ V

^:

(d ² ~v(p). ~ w).~ y ∈ V ≃ V ^∗∗ .

^(6.3)

Etpour

ℓ ∈ V ^∗

^{onnote,f.(2.18)(attentionàl'ordre):}

((d ² ~v(p). ~ w).~ y).ℓ

^noté

= d e ² ~v(p)(ℓ, ~ y, ~ w) ∈ R ,

^(6.4)

oùdon

d e ² ~v ∈ T ₂ ¹ (Ω)

^.

Onrappellequedansunebase

(~e i )

^ona

d~v = P

ij ∂v ⁱ

∂x ^j ~e i ⊗ e ^j

^.