Université Ibn Khaldoun de Tiaret.
Département d’Informatique.
Module:Algèbre 2 (1ere Année LMD)
F iche de T :D N0 1 (2014-2015)
Exercice 1: Est-ce que(R2;+; )est unR- espace vectoriel pour les lois + et suivantes:
8 2R et8(x; y);(x0; y0)2R2
(x; y) + (x0; y0) = (x+x0; y +y0)et (x; y) = ( x;0)?
Exercice 2:Est-ce que R R+;4; est un R-espace vectoriel pour les lois 4et suivantes: 8 2R et 8(x; y);(x0; y0)2R R+
(x; y)4(x0; y0) = (x+x0; yy0) et (x; y) = ( x; y )?
Exercice 3:: Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous espaces vectoriels de R4. Dans le cas a¢ rmatif, trouver des bases:
W0 =f(x; y; z; t)2R4=3x 2y+ 2z = 0 et2y=tg W1 =f(x; y; z; t)2R4=2xy t= 0g W2 =f(x; y; z; t)2R4=2x y t = 0 g
Exercice 4: Montrer que l’ensemble FImP(R;R)des fonctions impaires de R à valeurs dans Rest un sous espace de F(R;R):
Même question pour l’ensembleF (R;R)des fonctions négatives de Rà valeurs dans R Exercice 6: Soit A=fu; vg R3 telle queu= (2;1;1) etv = (1;3;1).
1) Montrer queA est une partie libre de R3:
2) Déterminer le réel pour quew= ( 2; ; + 2) 2Gr(A)puis compléter A pour obtenir une base de R3:
Exercice 7: Soit R3[X] =fP 2R[X] =degP 3g: 1) Donner la dimension deR3[X]:
2) Montrer queA =f1 +X;2 + 3X;1 X+ 2X2gest une partie libre deR3[X]; puis compléter A pour obtenir une base de R3[X]:
Exercice 8: Soient les sous espaces vectoriels de R4 suivants:
W0 =f(x; y; z; t)2R4=3x 2y+ 2z = 0 et 2y =tg W2 =f(x; y; z; t)2R4=2x y t= 0 g W3 =h(0;2;1;0);(0;0;1;1);(0;2;2;1)i
1)W0 etW2 sont-ils supplémentaires l’un de l’autres?
2) Même question pour W0 et W3:
