E XERCICE 3A.1

E XERCICE 3A.1

On considère la suite   u n définie pour tout entier naturel n par u _n = 3n

a. Calculer u ₁ ;

u 2 et u ₃ .

b. Exprimer u _{n  1} en fonction de n .

c. Démontrer que   u n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme

u 0 et la raison.

E XERCICE 3A.2

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = n

2

a. Calculer u ₁ ; u ₂ et u ₃ .

b. Exprimer u _{n  1} en fonction de n .

c. Démontrer que   ^u _n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme u ₀ et la raison.

E XERCICE 3A.3

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = 2n + 5

a. Calculer u ₁ ; u ₂ et u ₃ .

b. Exprimer u _{n  1} en fonction de n .

c. Démontrer que   ^u _n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme u ₀ et la raison.

E XERCICE 3A.4

On considère la suite   u n définie pour tout entier naturel n par u _n  n ²

a. Calculer u ₁ ; u ₂ et u ₃ .

b.   ^u _n est-elle une suite arithmétique ? E XERCICE 3A.5

On considère la suite   u n définie pour tout entier naturel n par u _n = 1 – 4n

  u n est-elle une suite arithmétique ?

E XERCICE 3A.6

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n   1 5 n ²

  u n est-elle une suite arithmétique ?

Dans tous les exercices qui suivent,   ^u _n

est une suite arithmétique de raison r.

On rappelle la formule : u

n

= u

0

+ nr

E XERCICE 3A.7

a. On donne u ₀ = 5 et r = –2 .  Calculer u ₇ . b. On donne u ₀ = –7 et r = 3

2 .  Calculer u ₅ . c. On donne

u 0 = 7 et r = ⁵ 7

 .  Calculer u ₇ .

E XERCICE 3A.8

a. On donne u ₃ = 8 et r = 4 .  Calculer u 11 . b. On donne

u 2 = –7 et r = 2 .  Calculer u ₈ . c. On donne

u 12 = 31 et r = – 1

2  Calculer u 17 E XERCICE 3A.9

a. On donne u ₂ = 15 et u ₁₂ = 10 .  Calculer r puis u ₁₆ .

b. On donne u ₅ = 12 et u ₁₇ = 72 .  Calculer r puis u ₂₁ .

c. On donne u ₇ = 4 et u ₄ = 7 .  Calculer r puis u ₃₅ . E XERCICE 3A.10

a. Soit   ^u _n la suite arithmétique : - de premier terme u ₀ = 5 - de raison r = 2.

 Calculer u ₀ + u ₁ + … + u 10 . b. Soit   u n la suite arithmétique :

- de premier terme u ₁ = 1 - de raison r = 1

3 .

 Calculer u ₁ +

u 2 + … + u ₁₀ . c. Soit   u n la suite arithmétique :

- de premier terme u ₅ = 8 - de raison r = – 1

2 .

 Calculer u ₅ + … + u ₁₀ . E XERCICE 3A.11

A l’aide d’une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison, calculer la somme :

S = 2 + 4 + 6 + … + 100

(soit la somme des 50 premiers nombres pairs).

E XERCICE 3A.12

En janvier, un jeune diplômé décide d’ouvrir une concession automobile. Ce premier mois, il vend 3 voitures. Ensuite, chaque mois il vendra 2 voitures de plus que le mois précédent.

a. Définir une suite arithmétique de premier terme u

1

qui permette de déterminer le nombre de voitures vendues chaque mois.

b. Combien de voitures vendra-t-il en février ? mai ? décembre ?

c. Combien de voitures aura-t-il vendu au cours de la 1

^ère

année ?

d. Combien de voiture aura-t-il vendu en 5 ans ?

e. Combien de voitures aura-t-il vendu au cours de la

3

^ème

année.

CORRIGE – Notre Dame de La Merci Montpellier E XERCICE 3A.1

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = 3n

a. u ₁    3 1 3 ; u ₂    3 2 6 et u ₃    3 3 9 . b. ^u _{n  1} ^{ 3}  ^{n   1}  ^{3 n  3}

c. u _{n  1}  u _n  3 n   3 3 n  3 donc   u n est une suite arithmétique de premier terme u ₀    3 0 0 et de raison r = 3.

E XERCICE 3A.2

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = n

2 a. ₁ ¹

u  2 ; ₂ ² 1

u   2 et ₃ ³ u  2 .

b. ₁ ¹

n 2

u _  n 

c. ₁ ^{1 1}

2 2 2

n n

n n

u _  u     donc   ^u _n est une suite arithmétique de premier terme ₀ ⁰ 0

u   2 et de raison ¹

r  2 . E XERCICE 3A.3

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = 2n + 5

a. u ₁     2 1 5 7 ; u ₂     2 2 5 9 et u ₃     2 3 5 11 .

b. ^u _{n  1} ^{     2}  ^{n 1}  ^{5 2 n  7}

c. u n _{ 1}  u n   ² n   ⁷   ² n   ⁵  ² n   ^{7 2} n   ^{5 2} donc   ^u _n est une suite arithmétique de premier terme u ₀     2 0 5 5 et de raison r = 2.

E XERCICE 3A.4

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n  n ²

a. u ₁  1 ²  1 ; u ₂  2 ²  4 et u ₃  3 ²  9 . b. u ₂     u ₁ 4 1 3 et u ₃  u ₂    9 4 5

L’écart entre les premiers termes de la suite n’est pas constant donc   ^u _n n’est pas une suite arithmétique.

AUTRE METHODE : ^u _{n  1} ^  ^{n  1}  ^{2  n 2  2 n  1}

u _{n  1}  u _n  n ²  2 n   1 n ²  2 n  1

L’écart entre deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant donc   ^u _n n’est pas une suite arithmétique.

E XERCICE 3A.5

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n = 1 – 4n

u ₁      1 4 1 3 ; u ₂      1 4 2 7 et u ₃  u ₂      1 4 3 11 .

b. ^u ₂ ^{ u} ₁       ⁷   ^{3 4} ; 3 2 11   7 4 u  u      

Mais ce n’est pas parce que cela est vrai pour les premiers termes que c’est vrai pour tous les termes de cette suite

 

1 1 4 1 1 4 4 4 3

u n _   n    n     n

   

1 _n 4 3 1 4 4 3 1 4 4

u n _  u      n n      n n   Pour tout entier n , l’écart entre deux termes consécutifs de la suite est constant donc   ^u _n ^est

une suite arithmétique.

E XERCICE 3A.6

On considère la suite   ^u _n définie pour tout entier naturel n par u _n   1 5 n ²

2

1 1 5 1 4

u      ; u ₂    1 5 2 ²   19 et u ₃    1 5 3 ²   44 .

2 1 19   4 15 u  u       ; ^u ₃ ^{ u} ₂ ^{    44}  ¹⁹  ^{  25}

L’écart entre les premiers termes de la suite n’est pas constant donc   u n n’est pas une suite arithmétique.

AUTRE METHODE :

  ²  ² 

1 1 5 1 1 5 2 1

u n _   n    n  n    5 n ²  10 n  4

 

2 2

1 _n 5 10 4 1 5 10 5

u n _  u   n  n    n   n  L’écart entre deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant (il dépend de la valeur de n) donc

  ^u _n n’est pas une suite arithmétique.

Dans tous les exercices qui suivent,   u n est une suite arithmétique de raison r.

On rappelle la formule : u

n

= u

0

+ nr

E XERCICE 3A.7 a. On donne

u 0 = 5 et r = –2 .

 ^u ₇ ^{ u} ₀ ^{ 7 r}       ^{5 7}   ^{2 5 14}   ⁹ b. On donne u ₀ = –7 et r = 3

2 .

 _{5 0} 5 7 5 ^{3 14 15 1}

2 2 2 2

u  u  r         c. On donne u ₀ = 7 et r = ⁵

7

 .

 _{7 0} 7 7 7 ⁵ 7 5 2

u  u  r        7      

E XERCICE 3A.8

a. On donne u ₃ = 8 et r = 4 .

 ^u ₁₁ ^{ u} ₃ ^  ^{11 3 }  ^{r      8 8 4 8 32  40}

b. On donne

u 2 = –7 et r = 2 .

 ^u ₈ ^{ u} ₂ ^{ }  ^{8 2}  ^r        ^{7 6 2 7 12}  ⁵ c. On donne u ₁₂ = 31 et r = – 1

2

 

17 12

1 62 5 57 17 12 31 5

2 2 2 2

u  u   r             

E XERCICE 3A.9 a. On donne

u 2 = 15 et

u 12 = 10 .  Calculer de la raison r :

^u ₁₂ ^{ u} ₂ ^  ^{12 2 }  ^{r  15 10 10   r}

5 10 ^{5 1}

10 2

r r r

     

 _{16 12}  ^{16 12}  ^{10 4 1 12}

u  u   r     2 b. On donne u ₅ = 12 et

u 17 = 72 .  Calculer de la raison r :

^u ₁₇ ^{ u} ₅ ^  ^{17 5 }  ^{r  72 12 12   r}

60 12 ⁶⁰ 5

r 12 r r

     

 ^u ₂₁ ^{ u} ₅ ^  ^{21 5 }  ^{r  12 16 5    92}

c. On donne u ₇ = 4 et u ₄ = 7 .

^u ₇ ^{ u} ₄ ^{ }  ^{7 4}  ^{r  4   7 3 r}

3 3 ³ 1

r  3 r r

         ^u ₃₅ ^{ u} ₇ ^  ^{35 7 }  ^{r   4 28    }   ^{1 24}

E XERCICE 3A.10

a. Soit   u n la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison r = 2.

 u 10  u 0  10 r     5 10 2 25

 u ₀ + u ₁ + … + ^u ₁₀ ^  ^u ₀ ^{ u} ₁₀  ^{ 11} ₂

 ^{5 25}  ^{11 165}

   2 

b. Soit   u n la suite arithmétique de premier terme u 1 = 1 et de raison r = 1

3 .

 _{10 1} 9 1 9 ¹ 4 u  u  r     3

 u ₁ +

u 2 + … + ^u ₁₀ ^  ^u ₁ ^{ u} ₁₀  ^{ 10} ₂

^{   }  ^{1 4}  ^{5 25}

c. Soit   u n la suite arithmétique de premier terme u 5 = 8 et de raison r = – 1

2 .

 _{10 5}  ^{10 5}  ^{8 5 1 11}

2 2

u  u   r           

 u ₅ + … + 10  5 10 

10 5 1 u  u  u    2

8 ^{11 6 27} 3 ⁸¹

2 2 2 2

 

         

E XERCICE 3A.11

A l’aide d’une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison, calculer la somme :

S = 2 + 4 + 6 + … + 100 (c'est-à-dire la somme des 50

premiers nombres pairs).

Soit   ^u _n la suite arithmétique de premier terme u 0 = 2 et de raison r = 2.

ATTENTION : le 49 terme de   ^u _n ^{est :}

49 0 49 2 49 2 2 98 100

u  u  r      

  ^{ }

49

0 49 0

49 1 50

2 100 2550

2 2

i i i

u u u





       



E XERCICE 3A.12

En janvier, un jeune diplômé décide d’ouvrir une

concession automobile. Ce premier mois, il vend 3

voitures. Ensuite, chaque mois il vendra 2 voitures de plus que le mois précédent.

a. Définir une suite arithmétique de premier terme u

1

qui permette de déterminer le nombre de voitures vendues chaque mois.

Soit   u _n la suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison r = 2.

b. Nombre de voitures vendues en février :

2 1 3 2 5

u      u r ?

Nombre de voitures vendues en mai :

 

5 1 5 1 3 4 2 11

u    u r     Nombre de voitures vendues en décembre :

 

12 1 12 1 3 11 2 25

u   u  r     c. Nombre de voitures vendues au cours de la 1

^ère

année : ¹²  _{1 12}  ^{ }

1

12 3 25 6 168 2

i i i

u u u



       



d. Nombre de voitures vendues en 5 ans : ^u ₆₀ ^{  u} ₁  ^{60 1 }  ^{r     3 59 2 121}

⁶⁰  _{1 60}  ^{ }

1

60 3 121 30 3720 2

i i i

u u u



       



e. Nombre de voitures vendues au cours de la 3

^ème

année :

36 24

1 1

i i

i i

i i

u u

 

  

 

^u ₂₄ ^{  u} ₁  ^{24 1 }  ^{r   3 24 2   51}

^u ₃₆ ^{  u} ₁  ^{36 1 }  ^{r     3 36 2 75}

³⁶  _{1 36}  ^{ }

1

60 3 75 18 1404 2

i i i

u u u



       



²⁴  _{1 24}  ^{ }

1

24 3 51 12 648 2

i i i

u u u



       



36 24

1 1

1404 648 756

i i

i i

i i

u u

 

     

 