Géométrie repérée – Feuille d’exercices
Besoin d’un point sur le cours ? Les Formats Cours t’attendent sur www.mathsentete.fr ou sur Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet 1ère https://padlet.com/mathsentete Exercice 1 :
1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(1; −1) et de vecteur directeur 𝑢)⃗(−4; −3).
Déterminer une équation cartésienne de (𝑑).
2) Soit (𝑑-) la droite d’équation réduite 𝑦 = −2𝑥 + 1.
a) Déterminer un vecteur directeur 𝑣⃗ de (𝑑-). b) Était-ce prévisible ?
Exercice A : équations cartésiennes et vecteur directeur
1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(4; 2) et de vecteur directeur 𝑢)⃗(1; −3).
Déterminer une équation cartésienne de (𝑑).
2) Soit (𝑑-) la droite d’équation cartésienne 3𝑥 − 1,5𝑦 + 1 = 0.
Le vecteur 𝑣⃗(−4,5; −9) est-il un vecteur directeur de (𝑑-)
Exercice 2 :
1) Déterminer un vecteur normal à chacune des droites dont on donne les équations cartésiennes suivantes :
a) 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 b) −3𝑥 + 5𝑦 = 0 c) 5𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 d) −2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0
2) Déterminer un vecteur normal à chacune des droites dont on donne les équations réduites suivantes : a) 𝑦 = 2𝑥 − 3 b) 𝑦 = 4𝑥 c) 𝑦 = −3𝑥 + 1 d) 𝑦 = −7𝑥 − 2
Exercice 3 : déterminer un vecteur normal à chacune des droites définies par les deux points donnés : a) 𝐵(−3; 2) et 𝐶(1; −2) b) 𝐹(1; 0) et 𝐺(−3; 4)
c) 𝑀(0; −2) et 𝑁(5; 4) d) 𝐻(−2; 3) et 𝐾(−1; −5)
Exercice 4 : dans chacun des cas, donner une équation cartésienne de la droite passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛)⃗.
a) 𝐴(4; 1) et 𝑛)⃗ B 1−3C b) 𝐴(2; 3) et 𝑛)⃗ B42C c) 𝐴(−2; −1) et 𝑛)⃗ B−3−1C d) 𝐴(0; 5) et 𝑛)⃗ B53C
Exercice 5 : on considère la droite 𝑑 d’équation réduite 𝑦 = −4𝑥 + 5.
1. Donner un vecteur directeur de 𝑑.
2. En déduire un vecteur normal de 𝑑.
3. Donner une équation cartésienne de la droite 𝑑′ perpendiculaire à 𝑑 pasant par le point 𝐴(1; 1).
4. Donner une équation réduite de la droite 𝑑′.
Exercice B : projeté orthogonal d’un point sur une droite
On considère la droite 𝑑 d’équation cartésienne −3𝑥 + 2𝑦 − 11 = 0 et le point 𝐴(1; −6).
Déterminer les coordonnées du point 𝐻, projeté orthogonal du point 𝐴 sur la droite 𝑑.
On pourra réaliser un dessin à main levée pour visualiser la situation.
Exercice 6 : on considère la droite 𝑑 d’équation cartésienne 3𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 et le point 𝐵(2; −3).
1. Donner un vecteur normal à la droite 𝑑.
2. En déduire une équation de la droite perpendiculaire à la droite 𝑑 passant par 𝐵.
3. En déduire les coordonnées du point 𝐾, projeté orthogonal du point 𝐵 sur la droite 𝑑 donnée.
Exercice 7 :
a) Donner une équation du cercle de centre 𝐴(−1; −2) et de rayon 2.
b) Donner une équation du cercle de centre 𝐵(2; 0) et de rayon √3.
c) Donner une équation cartésienne du cercle de centre 𝐶(3; 1) et de rayon 4.
d) Donner une équation cartésienne du cercle de centre 𝐷(−HI;JK) et de rayon LI.
Exercice 8 : on considère les points 𝐴(−3; 1) et 𝐵(2; 5).
1. Déterminer les coordonnées du milieu 𝐺 du segment [𝐴𝐵].
2. Calculer la longueur 𝐴𝐺.
3. Donner une équation du cercle de diamètre [𝐴𝐵].
Exercice 9 : déterminer une équation de cercle de diamètre [𝐴𝐵] dans chacun des cas suivants : a) 𝐴(1; −2) et 𝐵(3; 0) b) 𝐴(3; −1) et 𝐵(0; 2)
c) 𝐴(−1; −2) et 𝐵(1; 3) d) 𝐴(−2; 4) et 𝐵(−1; −3)
Exercice 10 : montrer que ces ensembles sont des cercles dont on donnera le centre et le rayon.
a) On considère l’ensemble des points vérifiant l’équation 𝑥I − 4𝑥 + 𝑦I− 3𝑦 = 2.
b) On considère l’ensemble des points vérifiant l’équation 𝑥I + 𝑥 + 𝑦I− 𝑦 − 4 = 0.
Exercice 11 : dans chacun des cas suivants, déterminer le centre et le rayon du cercle si l’équation donnée correspond bien à un cercle.
a) 𝑥I+ 3𝑥 + 𝑦I− 4𝑦 = 0 b) 𝑥I− 𝑥 + 𝑦I− 3𝑦 + 1 = 0 c) 𝑥I+ 6𝑥 + 𝑦I− 4𝑦 + 14 = 0
Exercice 12 : on considère l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation : 𝑥I+ 𝑦I− 6𝑦 = 0.
1. a) Justifier que l’équation de cet ensemble est celle d’un cercle.
b) Préciser son rayon et les coordonnées de son centre.
2. Déterminer si les points 𝑀(2; 1) et 𝑁(−3; 3) appartiennent à ce cercle.
Exercice 13 : on donne les points 𝐼(−2; −2), 𝐽(5; −4) et 𝐾(1; 2).
1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [𝐼𝐽].
2. Le point 𝐾 appartient-il à cette droite ?
3. Déterminer une équation de la hauteur issue de 𝐾 dans le triangle 𝐼𝐽𝐾.
4. Déterminer les coordonnées de 𝐾′, projeté orthogonal de 𝐾 sur la droite (𝐼𝐽).
5. Calculer l’aire du triangle 𝐼𝐽𝐾.
Exercice 14 : on considère l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) tels que 𝑥I− 2𝑎𝑥 + 𝑦I+ 4𝑦 + 8 = 0.
1. Montrer que l’équation de cet ensemble s’écrit aussi : (𝑥 − 𝑎)I+ (𝑦 + 2)I = 𝑎I− 4.
2. a) Pour quelles valeurs de 𝑎 cette équation est-elle celle d’un cercle ? b) Préciser alors les coordonnées de son centre et son rayon.
Exercice C : coordonnées, équations de droite et de cercle et aire.
On donne les points 𝐴(−2; 1), 𝐵(0; −3) et 𝐶(3; −1).
1. Donner les coordonnées du vecteur 𝐴𝐶)))))⃗.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (𝐴𝐶) passant par 𝐵.
3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal 𝐻 du point 𝐵 sur la droite (𝐴𝐶).
4. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [𝐴𝐶].
5. Le point 𝐵 appartient-il à ce cercle ? Justifier.
6. Calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.
