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Chap. 13 :
Géométrie Repérée
Partie 1 : rappels de 2
nde(équation cartésienne de droite et vecteur directeur)
a) Caractérisation d’un point d’une droite
Propriété : on considère deux points 𝐴 et 𝐵 du plan.
𝑀 est un point de la droite (𝐴𝐵) si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀&&&&&&⃗ et 𝐴𝐵&&&&&⃗ sont colinéaires.
Remarque : on sait déjà que, dire que deux vecteurs 𝑢&⃗(𝑥 ; 𝑦) et 𝑣⃗(𝑥’ ; 𝑦’) sont colinéaires signifie que :
• 𝑢&⃗ et 𝑣⃗ ont la même direction (mais pas nécessairement le même sens ni la même norme – longueur) ce qui veut dire qu’ils sont portés par des droites parallèles (définition).
• leurs coordonnées sont proportionnelles ce qui est équivalent à dire qu’elles vérifient l’égalité det(𝑢&⃗; 𝑣⃗) = 𝑥𝑦’ − 𝑥’𝑦 = 0 (propriété).
b) Vecteur directeur d’une droite Définition : vecteur directeur
On appelle vecteur directeur d’une droite 𝑑 tout vecteur non-nul qui a la même direction que 𝑑.
Remarques :
• Si 𝐴 et 𝐵 sont deux points distincts d’une droite 𝑑, alors 𝐴𝐵&&&&&⃗ est un vecteur directeur de 𝑑.
• Si 𝑢&⃗ est un vecteur directeur d’une droite 𝑑, alors tout vecteur non nul colinéaire à 𝑢&⃗ est un vecteur directeur de la droite 𝑑.
• Une droite est déterminée par la donnée d’un point et d’un vecteur directeur.
Exemple : dans un repère (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗) du plan, on considère les points 𝐴(2 ; 3) et 𝐵(3 ; −1).
Le vecteur 𝐴𝐵&&&&&⃗(1 ; −4) est un vecteur directeur de la droite (𝐴𝐵). Le vecteur 2𝐴𝐵&&&&&⃗(2 ; −8) en est un autre…
Propriété : on considère deux droites 𝑑 et 𝑑’ de vecteurs directeurs respectifs 𝑢&⃗ et 𝑣⃗.
Les droites 𝑑 et 𝑑’ sont parallèles si et seulement si les vecteurs 𝑢&⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires.
c) Équation cartésienne d’une droite
Théorème : l’ensemble des points 𝑀(𝑥 ; 𝑦) de plan tels que 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois nombres réels tels que 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0 est une droite.
Définition : équation cartésienne
Une équation de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois nombres réels tels que 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0 est appelée équation cartésienne de la droite 𝑑.
𝑑 𝑢&⃗
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Exemple : dans un repère (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗) du plan, on considère les points 𝐴(2 ; 3) et 𝐵(3 ; −1).
Déterminer une équation cartésienne de la droite (𝐴𝐵).
Le vecteur 𝐴𝐵&&&&&⃗ est un vecteur directeur de la droite (𝐴𝐵) et :
𝐴𝐵&&&&&⃗(𝑥D− 𝑥E ; 𝑦D− 𝑦E) soit 𝐴𝐵&&&&&⃗(3 − 2 ; −1 − 3) ou encore 𝐴𝐵&&&&&⃗(1 ; −4).
On a alors : 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵) ⇔ 𝐴𝑀&&&&&&⃗(𝑥 − 2 ; 𝑦 − 3) et 𝐴𝐵&&&&&⃗(1 ; −4) sont colinéaires ⇔ −4 × (𝑥 − 2) − 1 × (𝑦 − 3) = 0
⇔ −4𝑥 − 𝑦 + 11 = 0
Une équation cartésienne de la droite (𝐴𝐵) est donc −4𝑥 − 𝑦 + 11 = 0.
Remarques :
• Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs donc une infinité d’équations cartésiennes.
Dans l’exemple précédent 8𝑥 + 2𝑦 − 22 = 0 est une autre équation cartésienne de la droite (𝐴𝐵).
• On appellera désormais équation réduite d’une droite 𝑑, l’équation de cette droite sous la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ou 𝑥 = 𝑐. Cette équation réduite est unique contrairement à l’équation cartésienne.
d) Lien entre vecteur directeur et coefficient directeur d’une droite
Propriété : le vecteur 𝑢&⃗(−𝑏 ; 𝑎) est un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois nombres réels tels que 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0.
Propriété : soient 𝑚, 𝑝 et 𝑘 des nombres réels.
§ Le vecteur 𝑢&⃗(1 ; 𝑚) est un vecteur directeur de la droite d’équation réduite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
§ Le vecteur 𝑢&⃗(0 ; 1) est un vecteur directeur de la droite d’équation réduite 𝑥 = 𝑘.
Exemples :
§ On considère la droite 𝑑 d’équation cartésienne 2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0, un vecteur directeur de 𝑑 est 𝑢&⃗(−3 ; 2).
§ On considère la droite 𝑑 d’équation réduite 𝑦 = −5𝑥 + 2, un vecteur directeur de 𝑑 est 𝑢&⃗(1 ; −5).
§ On considère la droite 𝑑 d’équation 𝑥 = 9, un vecteur directeur de 𝑑 est 𝑢&⃗(0 ; 1).
Application : parallélisme
On considère deux droites 𝑑 et 𝑑’ d’équations cartésiennes respectives 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 et
−4𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0.
Les droites 𝑑 et 𝑑’ sont-elles parallèles ?
Un vecteur directeur de 𝑑 est 𝑢&⃗(1 ; 2). et un vecteur directeur de 𝑑’ est 𝑣⃗(−2 ; −4).
On calcule ensuite : 1 × (−4) − 2 × (−2) = −4 + 4 = 0 (ou on remarque directement que 𝑣⃗ = −2𝑢&⃗).
On en déduit que les vecteurs 𝑢&⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires et donc que les droites 𝑑 et 𝑑’ sont bien parallèles.
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Partie 2 : vecteur normal à une droite
Définition : vecteur normal
Soit 𝑑 une droite de vecteur directeur 𝑢&⃗.
Un vecteur normal à la droite d est un vecteur non nul orthogonal au vecteur 𝑢&⃗.
Théorème : soient 𝑎 et 𝑏 deux réels non nuls tous les deux.
La droite d admet le vecteur 𝑛&⃗(𝑎; 𝑏) pour vecteur normal si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où 𝑐 ∈ ℝ.
Démonstration :
Soit 𝐴(𝑥E; 𝑦E) un point de 𝑑 de vecteur normal 𝑛&⃗(𝑎; 𝑏).
𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑑 ⟺ 𝐴𝑀&&&&&&⃗. 𝑛&⃗ = 0 ⟺ 𝑎 × (𝑥 − 𝑥E) + 𝑏(𝑦 − 𝑦E) = 0 ⟺ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥E+ 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦E = 0
⟺ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 en notant 𝑐 = −𝑎𝑥E − 𝑏𝑦E Exercice : dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗), on considère
les points 𝐴(−3 ; 5) et 𝐵(1 ; 4). Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice 𝑑 du segment [𝐴𝐵].
§ Le vecteur 𝐴𝐵&&&&&⃗ est un vecteur normal à la médiatrice d du segment [𝐴𝐵] et 𝐴𝐵&&&&&⃗(𝑥D− 𝑥E ; 𝑦D− 𝑦E) soit 𝐴𝐵&&&&&⃗(1 − (−3) ; 4 − 5) ou encore 𝐴𝐵&&&&&⃗(4 ; −1).
Ainsi : 𝑑: 4𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 0 avec 𝑐 ∈ ℝ.
§ 𝑑 passe par le point 𝐼 milieu de [𝐴𝐵]. Or 𝐼 WXYZX\ [;]YZ]\ [^ soit 𝐼 W_`Za\ ;bZc\ ^ ou encore 𝐼(−1 ; 4,5) Ainsi, 𝐼 ∈ 𝑑 ⟺ 4 × (−1) − 4,5 + 𝑐 = 0 ⟺ −8,5 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = 8,5
Conclusion : une équation cartésienne de la médiatrice du segment [𝐴𝐵] est 𝑑: 4𝑥 − 𝑦 + 8,5 = 0 On aurait aussi pu partir de : 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝑑 ⇔ 𝐼𝑀&&&&&⃗ ∙ 𝐴𝐵&&&&&⃗ = 0 où 𝐼𝑀&&&&&⃗ W𝑥 + 1 ; 𝑦 −e\^ et 𝐴𝐵&&&&&⃗(4 ; −1) ⇔ 4(𝑥 + 1) + (−1) × W𝑦 −e\^ = 0 ⇔ 4𝑥 + 4 − 𝑦 +e\= 0 ⇔ 4𝑥 − 𝑦 + 8,5 = 0 = 0 Théorème : deux droites 𝑑 et 𝑑fd’équations réduites respectives 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 et 𝑦 = 𝑎’𝑥 + 𝑏’ sont perpendiculaires si et seulement si 𝑎𝑎’ = – 1
Démonstration :
Soit 𝑑 d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Un vecteur directeur de 𝑑 est : 𝑣⃗(1; 𝑎) Soit 𝑑’ d’équation 𝑦 = 𝑎’𝑥 + 𝑏’. Un vecteur directeur de 𝑑’ est : 𝑣⃗′(1; 𝑎′)
𝑑 ⊥ 𝑑’ ⇔ 𝑣⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⇔ 𝑣⃗. 𝑣⃗′ ⇔ 1 + 𝑎𝑎’ = 0 ⇔ 𝑎𝑎’ = – 1 Rappel : 𝑑 ∥ 𝑑f ⟺ 𝑎 = 𝑎′
Partie 3 : équation de cercle
Propriété : équation cartésienne d’un cercle
Dans un repère orthonormé, un point 𝑀(𝑥; 𝑦) appartient au cercle de centre Ω(𝑎; 𝑏) et de rayon 𝑅 ssi (𝑥 − 𝑎)\+ (𝑦 − 𝑏)\ = 𝑅\
L’égalité (𝑥 − 𝑎)\+ (𝑦 − 𝑏)\ = 𝑅\ est appelée équation cartésienne du cercle 𝒞 Démonstration :
𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝒞 ⇔ 𝛺𝑀 = 𝑅 ⇔ 𝛺𝑀\ = 𝑅\ ⇔ (𝑥 − 𝑎)\ + (𝑦 − 𝑏)\ = 𝑅\
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Propriété : autre expression de l’équation d’un cercle
Dans un repère orthonormé, l’équation d’un cercle 𝒞 est de la forme 𝑥\ + 𝑦\+ 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels.
Démonstration :
On note 𝒞 le cercle de centre Ω(𝑎 ; 𝑏) et de rayon 𝑅.
𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝒞 ⇔ (𝑥 − 𝑎)\+ (𝑦 − 𝑏)\ = 𝑅\⇔ 𝑥\− 2𝑎𝑥 + 𝑎\+ 𝑦\− 2𝑏𝑦 + 𝑏\− 𝑅\ = 0 ⇔ 𝑥\+ 𝑦\ + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾 = 0 où 𝛼 = −2𝑎, 𝛽 = −2𝑏 et 𝛾 = 𝑎\+ 𝑏\− 𝑅\
Remarque : la réciproque est fausse : une équation de la forme 𝑥\+ 𝑦\+ 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾 = 0 n’est pas nécessairement celle d’un cercle.
Exemples :
1. Donner l’ensemble des points 𝑀 dont les coordonnées (𝑥 ; 𝑦) vérifient 𝑥\+ 𝑦\− 2𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0.
𝑥\+ 𝑦\− 2𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0 ⇔ (𝑥 − 1)\− 1 + (𝑦 + 3)\ − 9 − 6 = 0 ⇔ (𝑥 − 1)\+ (𝑦 + 3)\ = 16 = 4\ L’ensemble des points 𝑀 dont les coordonnées (𝑥 ; 𝑦) vérifient 𝑥\+ 𝑦\− 2𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0 est donc le cercle de centre 𝐴(1 ; −3) et de rayon 4.
2. Donner l’ensemble des points 𝑀 dont les coordonnées (𝑥 ; 𝑦) vérifient 𝑥\+ 𝑦\+ 4𝑥 − 𝑦 + 15 = 0.
𝑥\ + 𝑦\+ 4𝑥 − 𝑦 + 15 = 0 ⇔ (𝑥 + 2)\− 4 + r𝑦 −1 2s
\
−1
4+ 15 = 0 ⇔ (𝑥 + 2)\+ W𝑦 −a\^\ = 4 +ac− 15 = −c`c
Il n’existe donc aucun point 𝑀 dont les coordonnées (𝑥 ; 𝑦) vérifient 𝑥\ + 𝑦\+ 4𝑥 − 𝑦 + 15 = 0 (car
une somme de carrés ne peut pas être strictement négative). L’ensemble cherché est donc l’ensemble vide.
Propriété : on considère deux points distincts 𝐴 et 𝐵 du plan.
L’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant 𝑀𝐴&&&&&&⃗ ∙ 𝑀𝐵&&&&&&⃗ = 0 est le cercle de diamètre [𝐴𝐵].
Démonstration :
On note 𝒞 le cercle de diamètre [𝐴𝐵].
𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝒞 ⇔ Le triangle 𝐴𝑀𝐵 est rectangle en 𝑀⇔ 𝑀𝐴&&&&&&⃗ ∙ 𝑀𝐵&&&&&&⃗ = 0
Exemple : on considère 𝐴(2 ; 3) et 𝐵(−1 ; 0). Quelle est l’équation du cercle 𝒞 de diamètre [𝐴𝐵] ? 1ère méthode : 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝒞 ⇔ 𝐴𝑀&&&&&&⃗ ∙ 𝐵𝑀&&&&&&⃗ = 0 où 𝐴𝑀&&&&&&⃗(𝑥 − 2 ; 𝑦 − 3) et 𝐵𝑀&&&&&&⃗(𝑥 + 1 ; 𝑦)
⇔ (𝑥 − 2) × (𝑥 + 1) + (𝑦 − 3) × 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥\+ 𝑦\− 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0
𝑥\+ 𝑦\− 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 est donc une équation du cercle 𝒞 de diamètre [𝐴𝐵].
2ème méthode : Ω milieu de [𝐴𝐵] a pour coordonnées (0,5; 1,5) et 𝐴𝐵 = √18 donc 𝑅 =ED\ = √au\ . Ainsi (𝑥 − 0,5)\+ (𝑦 − 1,5)\ = W√au\ ^\ = auc = 4,5
⟺ 𝑥\ − 𝑥 + 0,25 + 𝑦\− 3𝑦 + 2,25 = 4,5 ⟺ 𝑥\ + 𝑦\− 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0
