Tale Thème : Mouvement et interaction TP08
Physique Mouvement des satellites et lois de Kepler Chap.13
Objectif du TP : Etudier les caractéristiques du mouvement des satellites de Jupiter afin de vérifier les lois de Kepler.
Document 1 : Lois de Kepler.
À partir des relevés précis de l’astronome danois Tycho Brahé (1546-1601), le mathématicien allemand Johannes Kepler (1571-1630) énonce trois lois empiriques permettant de décrire le mouvement de révolution des planètes autour du Soleil.
Est-il possible d’étendre ces lois pour décrire le mouvement des satellites de Jupiter ?
Première loi de Kepler ou loi des orbites (1609) :
Les planètes tournent autour du Soleil selon des orbites elliptiques, dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Deuxième loi de Kepler ou loi des aires (1609) :
Le rayon-vecteur reliant la planète au Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.
Troisième loi de Kepler ou loi des périodes (1619) :
Le carré de la période T de révolution des planètes est proportionnel au cube du demi grand axe a de l’ellipse.
Ainsi, le mouvement des planètes vérifie la relation : \f(T²;a3 = constante Document 2 : Propriétés d’une ellipse.
Une ellipse est l’ensemble des points P tels que FP + F’P = 2a
Lorsque les foyers F et F’ sont confondus, l’ellipse devient un cercle.
L’excentricité e d’une ellipse se calcule par e = \f(b²;a² Document 3 : Caractéristiques de 6 satellites de Jupiter
Satellite Excentricité e Période de révolution T (en j) Demi-grand axe a (en Mm) Vitesse v (en km/s)
Amalthée 0,0031 0,498 181
Thébé 0,0177 0,674 221
Io 0,0041
Europe 0,0094
Ganymède 0,0011 Callisto 0,0074
Document 4 : Jupiter et les lunes galiléennes.
En 1610, le savant italien Galilée (1564-1642) découvre que quatre petits
observation des premiers corps tournant autour d’un autre corps que la Terre est pour lui une preuve irréfutable de la validité de la théorie héliocentrique, et donc de la véracité des lois de Kepler. Aujourd’hui, on compte 79 satellites de Jupiter…
Données sur Jupiter : Masse MJ = 1,90 1027 kg ; Rayon RJ = 70 Mm
Constante universelle de gravitation G = 6,67 10-11 m3.kg-1.s-2
I. Première loi de Kepler Cercle ou ellipse ? (S’approprier)
1) Quel doit être la valeur de l’excentricité e d’une ellipse qui devient circulaire ?
2) En déduire que la trajectoire des 6 satellites de Jupiter puisse être considérée comme un cercle.
3) Donner l’expression de leur vitesse en fonction de la période de révolution T.
Protocole expérimental (Réaliser)
Ouvrir le logiciel Stellarium afin d’observer Jupiter et ses satellites.
Supprimer le sol [G] et l’atmosphère [A].
Rechercher [F3] la planète Jupiter, puis zoomer avec la molette de la souris pour observer ses satellites.
Se positionner [F6] au-dessus du plan de l’écliptique (Planète / Observateur du Système solaire).
Centrer [Espace] sur l’astre sélectionné et accélérer le temps (tout en bas de l’écran) pour vérifier que la trajectoire des satellites est quasi-circulaire.
Réaliser une Copie d’écran des 4 satellites principaux.
Sous Paint, coller la capture d’écran, puis remplir le fond en blanc afin d’imprimer l’image zoomée.
Faire vérifier l’image par le professeur avant l’impression.
Exploitation (Analyser)
4) Cliquer sur chaque satellite et indiquer la valeur de leur période T de révolution dans le tableau du document 3.
5) Exploiter l’image imprimée afin de mesurer la valeur du demi-grand axe a de chaque satellite, sachant que Jupiter est à l’échelle.
6) Calculer leur vitesse.
II. Deuxième loi de Kepler
Un programme informatique permet de représenter l’aire A balayée par le satellite Europe au cours de sa révolution, sa vitesse v et la distance d le séparant du centre de Jupiter, connaissant les éphémérides (x(t), y(t)) du satellite.
Ouvrir le logiciel EduPython.
Charger le fichier Europe.py présent dans les documents de votre classe (PC).
Sauvegarder le fichier dans vos documents.
Questions préalables (S’approprier)
7) Recopier la ligne (en notation mathématique) qui indique la distance séparant deux positions successives.
Programmation (Réaliser)
Modifier le programme en indiquant :
La valeur de l’intervalle de temps τ (en s) ;
L’expression pour calculer la vitesse du satellite.
Exécuter le programme.
Exploitation (Analyser-Valider)
8) Vérifier que la période T de révolution du satellite est cohérente avec celle du document 3.
9) Le satellite Europe obéit-il à la deuxième loi de Kepler ? Justifier en indiquant la valeur de l’aire balayée.
10) Vérifier que la valeur moyenne de v et celle de d du graphique correspondent à celles du tableau.
11) Comment évolue la vitesse d’Europe en fonction de sa distance à Jupiter ?
12) Ce résultat est-il cohérent avec les valeurs de a et de v calculées dans la partie I. pour les autres satellites ? Justifier.
III. Troisième loi de Kepler Protocole expérimental (Réaliser)
1) Elaborer un protocole expérimental pour vérifier si les satellites de Jupiter respectent la troisième loi de Kepler.
Aide : Indiquer les calculs à effectuer, puis la nature du graphique à tracer.
Faire vérifier la démarche par le professeur, puis la mettre en œuvre.
Exploitation (Analyser-Valider)
13) La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée ? Justifier.
14) A partir de la courbe obtenue, déterminer la masse de Jupiter sachant que les lois de Newton montrent que la constante vaut \f(4 ²; G MJ
Regrouper toutes les valeurs de la classe sur le tableau du professeur, puis les reporter ci-dessous.
Groupe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MJ ( 1027 kg)
La valeur moyenne M¯
de la masse pour les N valeurs vaut M¯
= 1 N
∑
i N
Mi
L’écart type σn-1 donne une idée de la dispersion ou de l’étalement des données avec σn-1 =
√
N1−1∑
Ni (Mi− ¯M)2 L’incertitude type δM indique que la valeur mesurée vaut M¯
± δM à x %.
Intervalle de confiance à 68% (ou incertitude type) : δMtype = σn-1
√
N Intervalle de confiance à 95% (ou incertitude élargie) : δMélargie = 2σn-1
√
N15) Déterminer l’intervalle de confiance élargie de la masse MJ de Jupiter. Conclure.
Problème (Raisonner)
16) Vérifier que la Lune obéit à la troisième loi de Kepler.
Données :
Masse (en kg) Demi-grand axe a (en Mm) Période (en j)
Terre 5,97 1024 149 598 365,25
Lune 7,35 1022 384,4 27
NOM : ... Prénom : ... Classe : …
NOM : ... Prénom : ... Classe : …
Partie S'approprier Réaliser Analyser/
Raisonner Valider Communiquer
I
A-B-C-D ( 2) A-B-C-D A-B-C-D ( 2)II
A-B-C-D A-B-C-D A-B-C-D A-B-C-D ( 2)III
A-B-C-D A-B-C-D ( 2) A-B-C-DCoefficient 3 5 7 3 2
Global A-B-C-D A-B-C-D A-B-C-D A-B-C-D A-B-C-D
NOTE : ... /20
Observations du professeur au cours de la séance
