UE MHT 633

UE MHT 633

Corrig´e du Devoir Maison 1

1. (a) Soit d = (r, n). On a n = dn₁ et r = dr₁ avec (n₁, r₁) = 1. On veut montrer que x=g^r est d’ordre n₁. On calcule d’abord

xⁿ¹ =g^rn1 =g^dr1n1 =g^nr1 = (gⁿ)^r1 = 1

o`u la derni`ere ´egalit´e provient du fait queg est d’ordren. Comme xⁿ¹ = 1, on peut conclure que l’ordre de x divise n1. Supposons maintenant que x^k = 1 pour k un diviseur strict de n₁. Alors g^rk = 1. Comme d = (r, n) il existe une relation de Bezout d= ru+nv. Alors g^dk =g^rukg^nvk = 1. Mais dk est un diviseur strict de n donc puisque g est d’ordre n c’est impossible. donc l’ordre de xest bien ´egal `a n1. (b) Si d divise n, ´ecrivons n = dn<sub>1</sub>. D’apr`es la question pr´ec´edente, les ´el´ements de G

d’ordre d sont les g^r avec (r, n) = n₁. On peut ´ecrire r = n₁a avec (a, d) = 1, et 1 ≤a ≤ d−1 puisque gⁿ = 1. Donc le nombre d’´el´ements de G d’ordre d est ´egal au nombre de a tels que (a, d) = 1 et 1≤a≤d soit φ(d).

(c) G est la r´eunion disjointe de ses sous-ensembles d’´el´ements d’ordre fix´e. Autrement dit:

G=[

k

{x, x∈G: ordre(x) = k}

et donc

|G|=X

k

card{x, x∈G: ordre(x) =k}.

Puisque l’ordre d’un ´el´ement de G divise n par le th´eor`eme de Lagrange et que si d divise n, G contient exactement φ(d) ´el´ements d’ordre d par la question (b), on conclut.

(d) H est clairement un sous-groupe de G: 1∈ H puisque 1^d = 1 et, si x, y ∈ H alors xy⁻¹ ∈ H puisque (xy⁻¹)^d = x^d(y^d)⁻¹. Montrons que H est d’ordre d: clairement, x∈H ssi l’ordre dex divised. Donc

|H|= X

kdivised

card{x∈G: ordre(x) = k}

= X

kdivised

φ(k)

=d

o`u la derni`ere ´egalit´e est celle d´emontr´ee en (c).

(e) Avec les notations de la question pr´ec´edente, si K est un sous-groupe de G d’ordre d, alors tout ´el´ement deK v´erifie x^d= 1 (th´eor`eme de Lagrange) et donc appartient

`

aH. DoncK ⊂H doncK =Hpuisqu’ils ont tous les deux cardinal d. Cela montre l’unicit´e. Pour montrer que H est cyclique il suffit de montrer qu’il contient un

´

el´ement d’ordred et avec les notations de (b) et le r´esultat de (a),x=gⁿ¹ convient.

(f) PrenonsG=Z/2Z×Z/2Z. Ce groupe est d’ordre 4 mais ne contient aucun ´el´ement d’ordre 4; il contient trois sous-groupes d’ordre 2.

(g) On fait une d´emonstration par r´ecurrence sur l’ordre n de G, sur la proposition suivante, qui implique celle de la question, mais est plus facile `a manier: Si, pour tout diviseurdden,Gposs`ede au plus un sous-groupe d’ordred, alorsGest cyclique.

La propri´et´e est vraie de fa¸con ´evidente pour n = 1. Soit maintenant G un groupe tel que pour tout diviseurdden,Gposs`ede au plus un sous-groupe d’ordred. Alors ses sous-groupes satisfont aussi `a cette propri´et´e: en effet si H est un sous-groupe de Gd’ordre d et si k divise d, H poss`ede au plus un sous-groupe d’ordre k car s’il en contenait plusieurs ceux-ci seraient aussi des sous-groupes d’ordre k de G. On peut donc appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence `a tous les sous-groupes stricts de G qui sont donc cycliques. Montrons maintenant pour d divisant n et d < n, que le nombre d’´el´ements de G d’ordre d est ´egal soit `a 0 soit `a φ(d). En effet, soit il n’y en a pas et on est dans le premier cas, soit il y en a un et il engendre un sous-groupe de G d’ordre d donc unique et cyclique. Son nombre d’´el´ements d’ordre d est donc φ(d) d’apr`es (a). On en d´eduit pour G que:

G={x, x∈G: ordre(x) = n} [

ddivisen,d<n

{x, x∈G: ordre(x) = d}

et donc

n=|G|= card{x, x∈G: ordre(x) =n}+ X

ddivisen,d<n

card{x, x∈G: ordre(x) =d}

≤card{x, x∈G: ordre(x) = n}+ X

ddivisen,d<n

φ(d)

≤card{x, x∈G: ordre(x) = n}+ (n−φ(n))

d’o`u card{x, x ∈ G : ordre(x) = n} ≥ φ(n) > 1. On a montr´e que G contient un

´

el´ement d’ordren, donc qu’il est cyclique.

2. (a) Posons ordre(a) = k et ordre(b) = l. On a (ab)^kl = a^klb^kl = 1 donc l’ordre de ab divisekl.

Soit hai = {1, a, . . . , a^k−1} le sous-groupe de G engendr´e par a et soit de mˆeme hbi = {1, b, . . . , b^l−1} le sous-groupe de G engendr´e par b. Comme (k, l) = 1, et que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe (toujours th de Lagrange..), hai ∩ hbi ={1}. Soit maintenant d tel que (ab)^d = 1. Alors a^d = (b⁻¹)^d appartient

`

a hai ∩ hbi donc a^d= (b⁻¹)^d = 1. Donc, puisquek est l’ordre de a, k divised, et de mˆeme l divise d. Donc, puisque (k, l) = 1, kl divise d. On a bien d´emontr´e que ab est d’ordre kl.

(b) Notons k₁ = ordre(a₁) et k₁ =Q

p^u_iⁱ sa d´ecomposition en produit de puissances de nombres premiers. Remarquons d’abord que ha₁i contient un ´el´ement d’ordre p^u_iⁱ pour chaque i: il suffit de prendrea⁽

Q

j6=ip^uj_j )

1 ou de se r´ef´erer `a la premi`ere question.

Soit maintenant k₂ = ordre(a₂) aveck₂ =Q

p^v_iⁱ. Alors ppcm(k₁, k₂) =Q

p^max(u_i ^i,vi). D’apr`es la remarque pr´ec´edente, il existe un ´el´ementxi d’ordrep<sup>max(u</sup><sub>i</sub> <sup>i,vi)</sup>, qui appar- tient `aha₁i ou `aha<sub>2</sub>i, et donc `aha₁, a₂i. Comme lesp^max(u_i ^i,vi) sont deux `a deux pre- miers entre eux, d’apr`es (a), le produit desx_iest d’ordreQ

p^max(u_i ^i,vi)= ppcm(k₁, k₂).

(c) En it´erant la construction pr´ec´edente, comme

ppcm(ppcm(k₁, k₂), k₃) = ppcm(k₁, k₂, k₃), on trouve un ´el´ement deGd’ordre expG.

Par le th´eor`eme de Lagrange, expG divise|G|.

(d) Soit G un sous-groupe fini de (K^∗,·), o`u (K,+,·) est un corps. Pour tout x ∈ G, x<sup>expG</sup> = 1. Donc x est racine du polynˆome X<sup>expG</sup>−1 ∈ K[X]. Un polynˆome `a coefficients dans un corps a un nombre de racines dans ce corps au plus ´egal `a son degr´e. On en d´eduit que |G| ≤ expG. Comme d’autre part d’apr`es la question pr´ec´edente expG divise |G|, on a finalement expG =|G|. Toujours par la question pr´ec´edente, G contient un ´el´ement d’ordre expGdonc il est cyclique.

3. (a) Pour montrer que F9 est un corps, il suffit de montrer que P(X) := X² + 1 est un polynˆome irr´eductible surF³. Comme ce polynˆome est de degr´e 2, il suffit de montrer qu’il n’a pas de racines dansF3. Pour cela, on calcule P(0) = 1, P(1) = 2, P(−1) = 2. Ses ´el´ements sont en bijection avec l’ensemble des polynˆomes deF3[X] de degr´e au plus ´egal `a 1. Six=X modX²+ 1,F⁹ ={0,1,2, x,1 +x,2x,1 + 2x,2 +x,2 + 2x}.

(b) F^∗9 est le groupe multiplicatif d’un corps fini donc d’apr`es 2) il est cyclique. Il a 9−1 = 8 ´el´ements. Un groupe cyclique d’ordre 8 a φ(8) g´en´erateurs d’apr`es 1)(b).

φ(8) = 8−4 = 4.

(c) x² =−1 doncx⁴ = 1 etx est d’ordre 4. Il y a φ(4) = 4−2 = 2 ´el´ements d’ordre 4;

l’autre ´el´ement d’ordre 4 estx³ =−x= 2x. Bien sˆur 1 est d’ordre 0 et 2 =−1 est d’ordre 2; tous les autres sont d’ordre 8 (1,2,4,8 sont les seuls diviseurs de 8).