UE MHT 633
Devoir Maison 1
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a remettre lundi 9 mars
Le principal r´esultat ´etabli dans ce devoir est le th´eor`eme suivant:
Theorem 0.1 Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique.
On rappelle la d´efinition de la fonction φ d’Euler:
φ(n) = card{a,1≤a≤n : (a, n) = 1}.
1. Dans cette partie on ´etablit quelques propri´et´es des groupes cycliques. Soit donc G un groupe cyclique d’ordre n, on note multiplicativement sa loi de composition interne et 1 son ´el´ement neutre.
(a) Soit g un g´en´erateur de G. Montrez que l’ordre d’un ´el´ement x = gr de G est n/(r, n).
(b) Montrez que, pout toutddivisantn,Gcontient exactementφ(d) ´el´ements d’ordred.
(c) En d´eduire la formule:
n = X
ddivisen
φ(d).
(d) Soit d un diviseur de n. Montrez que H :={x ∈G:xd = 1} est un sous-groupe de G d’ordred.
(e) Montrez que, pour toutd divisantn, Gcontient un unique sous-groupe d’ordre d et que celui-ci est cyclique. On en pr´ecisera un g´en´erateur.
(f) Donnez un contre-exemple aux propri´et´es (b) et (e) lorsqueG n’est pas cyclique.
(g) Soit Gun groupe d’ordren, tel que, pour tout diviseur dden, Gposs`ede un unique sous-groupe d’ordre d. Montrez que Gest cyclique.
2. On ne suppose plus que G est cyclique, mais seulement qu’il est ab´elien.
(a) Montrer que si les ordres deaetb ∈Gsont premiers entre eux, aba pour ordre leur produit.
(b) Soient a1, a2 ∈G. Montrer qu’il existe g ∈ ha1, a2i (sous-groupe de G engendr´e par a1 et a2) d’ordre le ppcm des ordres dea1 eta2.
Indication : noter Q
pαii la d´ecomposition en produit de facteur premiers du ppcm en question, et pour chaque id´eterminer un xi ∈ ha1, a2i d’ordrepαii.
(c) On note expG le ppcm des ordres des ´el´ements de G. D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existe dans G un ´el´ement g d’ordre expG et que expG divise|G|.
(d) En d´eduire que tout sous-groupe multiplicatif fini G d’un corps commutatif K est cyclique.
Indication : remarquer que tout x ∈ G est racine de XexpG−1 et en d´eduire que expG=|G|.
3. SoitF3 :=Z/3Zet F9 :=F3[X]/(X2+ 1)F3[X]. On note x=X mod X2+ 1.
(a) Montrez que F9 est un corps `a 9 ´el´ements. Exprimez tous ses ´el´ements comme combinaisons lin´eaires de 1 etx `a coefficients dansF3.
(b) D´eduire de la partie 2) que F∗9 est un groupe cyclique `a 8 ´el´ements et de la partie 1) son nombre de g´en´erateurs.
(c) Calculez l’ordre de chacun des ´el´ements de F∗9; en particulier vous identifierez ses g´en´erateurs.
