Licence MHT 633
Cryptologie
Feuille d'exercices n ◦ 1.
Arithmétique
1 Soita un nombre rationnel tel que 18a et25a sont des nombres entiers. Montrez quea est aussi entier.
2 Montrez qu'il existe une innité de nombres premiers de la forme 4n+ 3. 3 Pour quels entiersn le nombren2−1est-il premier ?
4 Trouvez tous les entiers pet q tels que 4p+ 7q=pq 5 Soita et b des entiers distincts.
(a) Montrez que a−b divise a2−b2 et déterminez le quotient.
(b) Montrez que a−b divise a3−b3 et déterminez le quotient.
(c) Montrez que a−b divise an−bn pour tout n (d) Montrez que a+b divise a2n+1+b2n+1 pour tout n.
(e) Trouvez la factorisation en nombres premiers de 510−210. 6 Factoriser complètement232−1
7 Montrez le critère de divisibilité suivant par 4: un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chires dans son écriture décimale est divisible par 4.
8 Démontrez les armations suivantes:
(a) 13|106 −1 (b) 17|108 −1
(c) Si n6= 0 mod 5, alors n2+ 64 n'est pas premier.
(d) Le nombre 21000+ 5 n'est pas premier.
(e) Pour tout n >0, 3divise 22n−1.
9 Trouvez le pgcd et une relation de Bezout pour les couples(a, b) suivants:
(34,21), (136,51), (481,325), (8771,3206) puis répondez aux questions:
(a) a est-il inversible modulo b ? Si oui quel est son inverse ?
(b) b est-il inversible moduloa ? Si oui quel est son inverse ? 10 Trouvez tous les entiersx et y tels que 32x+ 10y= 6.
11 La date de naissance d'Alice est telle que le jour multiplié par12ajouté au mois multiplié par 31fait 442. Déterminez la.
12 Calculez les inverses multiplicatifs des nombres suivants ou bien montrez qu'ils ne sont pas inversibles:
(a) 3∈Z/37Z (b) 4∈Z/14Z.
13 Résoudre les équations suivantes:
(a) 2x= 37 mod 21 (b) 5x= 15 mod 25 (c) 3x= 7 mod 18
Explicitez la résolution de l'équation ax=b mod cen général.
14 Fermat conjecturait que les nombres de la forme22n+ 1sont premiers. Cela n'est pas vrai pour n= 5. Montrez, à l'aide des observations suivantes, que641 divise 225 + 1:
(a) 641 = 29+ 27+ 1 donc 27.5 =−1 mod 641 (b) 24 =−54 mod 641.
15 Quels sont les inversibles de Z/4Z, Z/6Z, Z/12Z ? Si p est premier, quels sont les inversibles de Z/p2Z ?
16 Résoudre les systèmes d'équations:
x+y = 6 mod 11 2x−y = 8 mod 11
3x+ 17y = 9 mod 51 9x+ 6y = 6 mod 51
2x = 37 mod 5 3x = 48 mod 7 Explicitez les opérations transformant un système linéaire en un système équivalent lorsque les coecients sont dans un anneau A (commutatif unitaire).
17 Résoudre les équations du second degré:
(a) x2+x+ 7 = 0 dans Z/13Z (b) x2−4x+ 3 = 0 dans Z/12Z
(c) x2−2x+ 3 = 0 dans Z/4Z
Explicitez une méthode de résolution générale.
18
(a) Trouvez l'ordre de 2 dans (Z/113Z)∗
(a) Trouvez l'ordre de chaque élément de (Z/11Z)∗
