L2 SV-SVN 09 Janvier 2013 Math´ematiques
Examen
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Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
La Feuille Annexe est `a rendre avec la copie.
Exercice 1. On consid`ere la suite(un)n d´efinie par la relation de r´ecurrenceun+1 = f(un)o`uf est la fonction dont le graphe est donn´esur la feuille Annexe.
a)A l’aide du graphe d´eterminer, en expliquant votre r´eponse, les points fixes de` f. Pour chacun d’entre eux on pourra donner une valeur approch´ee.
b)Repr´esenter graphiquement (sur la feuille Annexe) les termesu0,u1,u2,u3,u4etu5de la suite lorsqueu0 = 1. On prend cette foisu0 = 6, repr´esenter graphiquement les termesu0,u1,u2 etu3. c) On prend maintenantu0 = 7. Repr´esenter graphiquement les termes u0, u1, u2, u3 et u4. La suite(un)nest-elle croissante?
d) Pour chacun des points fixes trouv´es au a) dire s’il vous semble stable ou instable (expliquez votre r´eponse).
e)Donner une valeur deu0 telle que la suite(un)ntende vers0lorsquentend vers l’infini.
Exercice 2. Soitf la fonction d´efinie parf(x, y) = 8x+ 6y+ 1 x2 +y2+ 1.
a)Montrer que la courbe de niveau1def est un cercleC dont on pr´ecisera le centre et le rayon.
b)Calculer les d´eriv´ees partielles de la fonctionf.
c)Calculer le vecteur gradient def aux pointsO(0,0)etB(1,−1).
Exercice 3. On consid`ere une population dont l’´evolution est donn´ee par l’´equation x0(t) =rx(t)(x(t)−M)(K−x(t)),
o`ux(t)d´esigne le nombre d’individus `a l’instantt exprim´e en centaines d’individus. Le nombre r est le taux de croissance intrins`eque de la population,M est appel´e la population seuil etK la capacit´e limite. Dans la suite on prendrar= 2,M = 3etK = 10, l’´evolution de la population est donc donn´ee par l’´equation
x0(t) = 2x(t)(x(t)−3)(10−x(t)),
a)Donner la fonctionf pour que l’´equation s’´ecrive sous la formex0 =f(x).
b)Montrer qu’il y a 3 solutions stationnaires que l’on d´eterminera.
c)Etudier la stabilit´e des solutions stationnaires.´
TSVP
d)Etudier le signe de´ f(x).
e)Repr´esenter le comportement des solutions de cette ´equation diff´erentielle `a l’aide d’un graphe.
Retrouver les r´esultats de la question b) `a l’aide du graphe.
f) D´eterminer le comportement de cette population, c’est-`a-dire de la fonction x(t), selon les valeurs du nombre initial x(0) = x0 d’individus. Expliquer les appellations “population seuil”
et “capacit´e limite”.
Exercice 4. SoitA=
2 2
3 1
.
a)D´eterminer les valeurs propresλ1 etλ2deA(on appelleraλ1 la plus petite des deux).
b)V´erifier que les vecteursV1 =
−2
3
etV2 =
1
1
sont des vecteurs propres deAassoci´es `a λ1 etλ2 respectivement.
c)D´eterminer des matricesDetQtelles queD=Q−1AQ.
d)Justifier que la matriceQposs`ede un inverse et calculerQ−1.
On consid`ere les suites(un)n∈Net(vn)n∈Nd´efinies par r´ecurrence paru0 = 5,v0 = 0et
un+1 = 2un+ 2vn,
vn+1 = 3un+vn. e)Ecrire le syst`eme sous la forme´ Un+1 =AUnet pr´eciser le vecteurU0.
f)D´eterminer l’expression deUnen fonction den, puis celles deunetvn. g)Calculer lim
n→+∞
un 4n.
Numéro de copie :
L2 SV-SVN Mathématique
Examen du 09 Janvier 2013 : Feuille Annexe
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