Extensions radicales

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M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1

Lemme 1 (Indépendance des caractères) Soit G un groupe. Soit Ω un corps. Si s₁, ..., s_n :G→Ω^× sont des morphismes de groupes distincts. Alors s1, ..., sn sontΩ linéairement indépendants.

Démonstration :

On raisonne par récurrence sur n≥1. Soientt1, ..., tn ∈ Ωtels que t1s1+ ...+tnsn = 0. Soitg∈Gtel que s1(g)6=s2(g). On a pour toutx∈G:

t₁s₁(gx) +...+t_ns_n(gx) = 0

t1s1(x) +...+tnsn(x) = 0 .

On retranches₁(g)×la deuxième ligne à la première ligne ci-dessus : t₂(s₂(g)−s₁(g))s₂(x) +...+t_n(s_n(g)−s₁(g))s_n(x) = 0 pour toutx∈G. Par hypothèse de récurrence, on a :

t_i(s_i(g)−s₁(g)) = 0

pour touti. Donc : t2= 0. On applique encore l’hypothèse de récurrence à la relation :

t1s1+t3s3+...+tnsn= 0

et on trouve :t1=t2=...=tn= 0. q.e.d.

Corollaire : Si s1, ..., sn :K →Ωsont des morphismes de corps distincts.

Alorss1, ..., sn sontΩ−linéairement indépendants.

Démonstration : Il suffit d’appliquer le lemme aux restrictions

s_i|K^× :K^×→Ω^×. q.e.d.

Extensions radicales

Lemme 2 SoitL/K une extension galoisienne cyclique de degré n. On suppose que Kest de caractéristique0 oupavec ppremier àn et queK contient les racines n−ièmes de l’unité. Alors, il existe un α∈Ltel que :

i) a:=αⁿ∈K; ii) L=K(α);

iii) le polynôme Xⁿ−aest irréductible sur K.

On peut noter sans ambiguïtéL=K(√ⁿ a).

Démonstration : Soitσun générateur du groupe Gal(L/K). Les automor- phismes 1, σ, ..., σⁿ⁻¹ : L → L sont distincts. Donc d’après le corollaire ci- dessus, on a :

Id +zσ+...+zⁿ⁻¹σⁿ⁻¹6= 0

dansEndK(L)oùz∈Kest une racine primitiven−ième de l’unité.

Il existe doncx∈Ltel que :

α:=x+zσ(x) +...+zⁿ⁻¹σⁿ⁻¹(x)6= 0 . Commeσest d’ordren, on a :

σ(α) =z⁻¹α .

On a donc σ(αⁿ) =σ(α)ⁿ =z⁻ⁿαⁿ =αⁿ. Commeσ engendre Gal(L/K), a:=αⁿ est fixé parGal(L/K)etαⁿ∈K.

De plus siσ^d∈Gal(L/K(α))⊆Gal(L/K) =hσi, on a : σ^d(α) =α⇔z^−dα=α⇔n|d⇔σ^d= Id .

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DoncGal(L/K(α)) est trivial etK(α) = L. Puisque [L: K] =n, le poly- nômeXⁿ−aest forcément irréductible surK.

q.e.d.

Lemme 3 Soitpun nombre premier. SiKest un corps, et sia∈K, alors le polynômeX^p−aadmet une racine dans K ou est irréductible surK.

Démonstration :Soitαune racine deX^p−adans une extension algébrique deK. Considérons la normeN relative à l’extensionK(α)/K. On a :

N(α)∈KetN(α)^p=N(a) =a^d

oùd= [K(α) :K]. SiX^p−aest réductible surK, alorsdest premier àpcar 1 ≤ d < p. On en déduit à l’aide d’une relation de Bézout l’existence d’un b∈Ktel que b^p=ai.e.X^p−apossède une racine dansK. q.e.d.

On en déduit le lemme suivant :

Lemme 4 Soit K un corps qui contient les racines primitives p−ièmes de l’unité,ppremier, et dont la caracttéristique est différente dep. Soit06=a∈K, si α est une racine de X^p−a (dans une extension algébrique de K), alors K(α) =K ou [K(α) :K] =p et l’extensionK(α)/K est galoisienne cyclique d’ordre p.

Caractérisation des équations résolubles par radicaux

SoientKun corps de caractéristique nulle etΩune clôture algébrique deK.

Définition :On dit quez∈Ωpeut s’exprimer avec des radicaux surK s’il existe une suite d’extensions de corps :

K=K₀⊆K₁⊆...⊆K_n

avec :z∈K_n et pour tout1≤i≤n, il existeα_i∈K_i,p_i un nombre premier tel que :K_i =K_i−1(α_i),α^p_iⁱ =:a_i−1∈K_i−1 etX^pⁱ−a_i−1est irréductible sur K_i−1.

Sikest un corps, on dira qu’une extension de la formek(α)/koùα^p=:a∈k pour un nombre premierp, oùX^p−aest irréductible surk et où pn’est pas la caractéristique dekest uneextension radicale irréductible.

Par exemple les nombres j ∈ Q(i√

3) ⊇ Q, ¹²√

2 ∈ Q(¹²√

2) ⊇ Q(√⁴ 2) ⊇ Q(√

2) ⊇ Q ou α := √⁴

2(1−i) ∈ Q(i√

2, α) ⊇ Q(i√

2) ⊇ Q, e^2iπ/5 ∈ Q

i

q (5 +√

5)/2

⊇Q(√

5)⊇Qpeuvent s’exprimer avec des radicaux.

Théorème 1 Soitf(X)∈K[X] un polynôme irréductible. On suppose quef a une racine dans Ω qui peut s’exprimer avec des radicaux sur K. Alors, le groupe de Galois def sur K est résoluble.

Démonstration :Notonsx1, ..., xn les racines def dansΩ. SoitK =K0⊆ ... ⊆KN une suite d’extensions telles que pour tout i, Ki/K_i−1 est radicale irréductible, de degré pi premier, et x1 ∈ Kn. Notons m le ppcm des pi et K₀⁰ :=K(z)où z est une racine primitivem−ième de l’unité. Soientαi∈Ki

tel que Ki =Ki−1(αi) et α^p_iⁱ ∈Ki−1. Notons, pour tout i > 0, K_i⁰ le corps engendré par K_i, z et tous lesK−conjugués de α_i (les images de α_i par les différentsK−plongements deK(α_i)dansΩ)^∗.

Par récurrence, on peut montrer que tous lesK_i⁰sont des extensions normales deK et grâce aux lemmes 2 et 4 que l’on peut passer deK_i−1⁰ à K_i⁰ par une suite d’extensions radicales irréductibles.

∗. Par exemple : siK0=Q,K1=Q(i√

2),K2=Q(√⁴

2(1−i)). Alors on peut prendre : α1=i√

2,α2=√⁴

2(1−i),p1=p2= 2. Doncz=−1convient etK₀⁰ =Q,K⁰₁=Q(±i√ 2) = K1etK⁰₂=Q(α2, iα2,−α2,−iα2) =Q(i,√⁴

2)qui est une extensiion de degré2deK2.

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En effet, si on note par exempleα_i,1, ..., α_i,n_i lesK−conjugués deα_i, si on suppose queK_i−1⁰ /K est normale, on a :

K_i⁰=K_i(z, α_i,1, ..., α_i,n_i) =K_i−1⁰ (α_i,1, ..., α_i,n_i) doncK_i⁰/K est normale et on a de plus :

K_i−1⁰ ⊆K_i−1⁰ (αi,1)⊆...⊆K_i−1⁰ (αi,1, ..., αi,n_i)

avec des extensions successives de degré1oupi d’après le lemme 4 puisque α^p_iⁱ ∈K_i−1 ⇒α^p_iⁱ ∈K_i−1⁰ ⇒α^p_i,jⁱ ∈K_i−1⁰ pour tous les K−conjuguésαi,j de αi.

On a donc une suite d’extensions :

K ⊆ K⁰ = K”0 ⊆ ... ⊆ K”q = K_N⁰ avec x1 ∈ K”q, K”q/K normale, K”_i/K”_i−1 normale de degré un nombre premier et K⁰/K galoisienne de groupe de Galois isomorphe à un sous-groupe de(Z/mZ)^×, donc abélien.

On considère les sous-groupes G_i := Gal(K”_q/K”_i)de G := Gal(K”_q/K) associés :

1 =G_q ≤G_q−1≤...≤G₀≤G .

Chaque groupe ci-dessus est distingué dans son successeur car les extensions K”i/K”i−1 sont normales. De plus les quotients Gi−1/Gi sont d’ordre premier et G/G0 est abélien (carGal(K⁰/K)l’est. Donc Gest résoluble. Or x₁ ∈ K”_q ⇒ x₁, ..., x_n ∈ K”_q car K”_q/K est normale. Donc le groupe de Galois de f sur K est un quotient de G = Gal(K”_q/K). Ainsi Gal_K(f) est résoluble en tant que quotient d’un groupe résoluble. q.e.d.

Lemme 5 Sipest premier, les racinesp−èmes de l’unité peuvent s’exprimer avec des radicaux surK.

Remarque : en particulier, c’est vrai aussi surQ

Démonstration :Sip= 2, c’est évident et on raisonne par récurrence surp.

Soitzune racine primitivep−ième de1. Le groupe de Galois deK(z)/K est abélien cyclique d’ordre qui divisep−1. Soientp₁, ..., p_r les nombres premiers qui divisentp−1. Par hypothèse de récurrence, il existe une suite d’extensions radicales irréductibles qui commence àKet se termine àK⁰, le corps engendré par les racines primitivespi−ième de l’unité pour toutpi.

Il suffit donc de montrer que z peut s’exprimer avec des radicaux sur K⁰. On peut donc supposer que pour tout i, K contient les racines primitipves p_i−ièmes de l’unité.

On a :K⊆K(z). On montre facilement que l’extensionK(z)/K est galoisienne. Soit G:= Gal(K(z)/K). Le groupe Gest abélien d’ordre un diviseur dep−1. Soit une suite de sous-groupes :

G=G0> G1> ... > Gn= 1

tels queGiest distingué dansG_i−1etG_i−1/Gi est cyclique d’ordre un nombre premier pν_i. Comme |G| = Qn

i=1|G_i−1|/|Gi|, chaque pν_i est un diviseur de p−1.

Considérons les corpsK_i:=K(z)^Gⁱ.

On a : K=K0 ⊆K1⊆... ⊆Kn=K(z)et chaque extensionKi/K_i−1 est galoisienne de groupe de GaloisG_i−1/Gi donc est cyclique d’ordre un nombre premier pν_i qui divise p−1. D’après le lemme 2, chaque Ki/K_i−1 est donc une extension radicale irréductible. Ainsiz peut s’exprimer avec des radicaux

surK. q.e.d.

Théorème 2 Soit K un corps de caractéristique nulle. Soit f(X) ∈ K[X] un polynôme irréductible. On suppose que le groupe de Galois de f sur K est

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résoluble. Alors toutes les racines de f peuvent s’exprimer avec des radicaux sur K.

Démonstration :Soient x1, ..., xn les racines def dans Ωune clôture algé- brique deK. SoitL=K(x1, ..., xn). On noteG:= Gal(L/K); c’est un groupe résoluble. Donc il existe des sous-groupes :

G=G0> G1> ... > GN = 1

tels que Gi est distingué dans Gi−1 et Gi−1/Gi est cyclique d’ordre premier pi.

SoitK⁰une extension deKqui contient toutes les racinespi−èmes de l’unité et qui est le dernier terme d’une suite d’extensions radicales irréductibles : K ⊆ ... ⊆ K⁰. Une telle suite existe d’après le lemme 5. Il suffit donc de montrer que x₁, ..., x_n peuvent s’exprimer avec des radicaux sur K⁰. On peut donc supposer que K contient les racinesp_i−ièmes de l’unité. On considère K_i:=L^Gⁱ.

Ona une suite d’extensions de corps :

K=K0⊆...⊆Kn=L

telle que :

x1, ..., xn∈Kn

et Ki/K_i−1 est une extension galoisienne de groupe de Galois (isomorphe à) Gi−1/Gi. en particulier, les extensionsKi/Ki−1 sont de degré premierpi pour touti. D’après le lemme 2, les extensionsKi/Ki−1sont radicales irréductibles et on en conclut que x1, ..., xn peuvent s’exprimer avec des radicaux sur K.

q.e.d.