AP : correction de la feuille sur les fonctions, équations I

AP : correction de la feuille sur les fonctions, équations

I

On considère les fonctionsf :x7→x²+x+1 etg:x7→p x²+1.

• f(2)=2²+2+1= 7

• f(−3)=(−3)²+(−3)+1=9−3+1= 7

• f(2u)=(2u)²+2u+1= 4u²+2u+1

1. g(2)=p

2²+1= p 5 2. g(−3)=p

(−3)²+1= p 10 3. f(2u)=p

(2u)²+1= p 4u²+1

II

SoitC la courbe représentative de la fonctionf définie surRparf(x)= x+1 x²+1. 1. Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartient àC_?

La courbe représentativeC_f d’une fonctionf est l’ensemble des points de coordonnées (x; f(x)).

Pour savoir si un point de coordonnées (x;y) appartient àC_f, on regarde siy=f(x).

• f(xA)=f(1)= 1+1 1²+1=2

2=16=yAdonc A∉C_{f .}

• f(xB)=f(−3)= −3+1 (−3)²+1=−2

10 = −0, 2=yBdonc B∈C_{f .}

• f(xC)=f(p 5)=

p5+1 p5²+1=

p5+1 5+1 =

p5+1

6 =yCdonc C∈C_{f .} 2. Les points suivants appartiennent àC; Donner l’ordonnée de chacun :

• f(1)=1 donc M(1 ; 1)

• f(−5)= −5+1 (−5)²+1=−4

26 = − 2

13 donc N µ

5 ;−2 13

¶ .

• f(p 2)=

p2+1 p2²+1=

p2+1 2+1 =

p2+1

3 donc P Ãp

2 ; p2+1

3

! .

III

La température en France se mesure en degrés Celcius ; dans les pays anglo-saxons, elle se mesure en degrés Fahrenheit.

La formule qui permet de passer de la température T exprimée en degrés Fahrenheit à la températureten ˚C est une fonction affine deT; il existe donc deux nombresaetbtels quet=aT+b.

On sait que l’eau gèle à 32 ˚F et bout à 212 ˚F.

1. L’eau gèle à 0 ˚C donca×32+b=0.

L’eau bout à 100 ˚C donca×212+b=100.

aetbsont donc solutions du système

½ 32a+b=0 212a+b=100

En soustrayant les deux lignes, on obtient 180a=100 donca=100 180=5

9. On obtient alorsb= −32a= −160

9 Les solutions sonta= 9

20 etb= −160 9 . On a alorst=5

9T−160

9 = 5T−160 9 2. On remplaceT par 60 :t=5×60−160

9 =140

9 ≈ 15, 6 ˚C.

IV

Une équation qui a pour solutions les nombres -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2 est par exemple x(x+3)(x+2)(x+1)(x−1)(x−2)=0 En effet, en appliquant le théorème du produit nul, on retrouve toutes les solutions exigées.

V Brevet Antilles-Guyane septembre 2001

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, I, J), l’unité est le centimètre.

1. Plaçons les points : A(−4 ; 5) B(2 ;−3) C(−1 ; 6).

b

A

bB

b

C

2 4 6

−2

−4

−2 2

-5 −4-4 -3 -2 -1 0 1 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

2. • AB= q

(xB−xA)²+¡ yB−yA

¢2

=p

6²+(−8)²= p

100=10

• BC= q

(xC−xB)²+¡

yC−yB¢2

= r

(−3)²+9²=p

9+81= p 90

• AC= q

(xC−xA)²+¡ yC−yA

¢2

=p

3²+1²= p 10 3. Le plus grand côté estAB.

On aAB²=100 ;AC²+BC²=10+90=100.

On constate queAB²=AC²+BC².

D’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

4. On considère la fonction affinef r´telle quef(x)=ax+bqui vérifie :f(−4)=5 etf(−1)=6.

(a) f(−4)=5⇔ −4a+b=5 f(−1)=6⇔ −a+b=6

aetbsont alors solutions du système

½ −4a+b=5 (L1)

−a+b=6 (L2)

On calculeL2−L1: on obtient (−a+b)−(−4a+b)=6−5⇔ −a+b+4a−b=1⇔3a=1⇔a=1 3. En remplaçant dansL2, on trouveb=6+a=6+1

3=19 3. On en déduit : f(x)=1

3x+19 3

(b) La représentation graphique de cette fonction affine est une droite. Pour la tracer, on utilise les renseignements surf : f(−4)=5 etf(−1)=6 La droite passe donc par les points de cordonnéesA(−4 ; 5) etC(−1 ; 6) du début de l’exercice 5. f(2)=2+19

3 =21 3 = 7 .

6. On résout l’équationf(x)=0, c’est-à-dire x+19 3 =0.

On trouvex= −19.

Le point E a pour coordonnées E(−19 ; 0).