Jean-Pierre Richard Centrale Lille

(1)

1

Jean-Pierre Richard

Centrale Lille

UMR

Equipe-Projet

jean-pierre.richard@centralelille.fr Master SMaRT – septembre 2017

http://researchers.lille.inria.fr/~jrichard

pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm

voir aussi le livre en téléchargement https://hal.inria.fr/hal-00519555/

(2)

PLAN D’ENSEMBLE

1. Introduction 2. Basic notions 3. Stability

4. Controllability 5. Observability 6. Delay systems 7. Distributions

(3)

3

Plan plus détaillé…

1. Introduction

- various examples, including chaotic systems, delay systems…

2. Basic notions

- definitions of solutions, flows, transients and invariant solutions, phase portrait - equilibrium points, periodic solutions, limit cycles

- Lipschitz systems and existence/uniqueness of solutions - autonomous/time-varying, linear/nonlinear models

- Lie brackets and commutativity of flows

3. Stability

- Lyapunov stability, attractivity, attractivity does not imply stability - exponential stability, stability of linear systems

- absolute stability, BIBO stability

- different criteria of stability of linear systems in different norms (continuous / discrete time) - Aizerman's conjecture in the nonlinear case

- 1st Lyapunov method, limitations, center manifold theorem

- 2nd Lyapunov method, Lyapunov functions for stability and instability, Chetaev function

4. Controllability

- general definition

- linear case, verification for linearization, nonlinear case, accessibility - difference between controllability and stabilizability

5. Observability

- see nextpage…

J.P. Richard 8h cours + C. Fiter 4h TD

D. Efimov

0h cours + 2h TD C. Fiter

6h cours + 4h TD

(4)

Plan plus détaillé…

5. Observability

- general notions: state, input, parameters

- model-based vs model-free techniques (geometric vs algebraic frameworks)

- linear systems: definitions (observability, detectability...), full and reduced order observers - nonlinear case by linearization

- observability, distinguishability and identifiability in nonlinear case

- observer design for nonlinear systems: high-gain, finite-time observer via homogeneity - adaptive observers

- differentiation algorithms

6. Delay systems

- examples, motivation from networked control systems and (a)periodic sampling problems - Lipschitz conditions in the delayed case

- analysis of FDE: operators, geometry, algebra formalisms - Smith predictor

- stability, Lyapunov-Krasovskii and Lyapunov-Razumikhin approache

7. Distributions

- mathematical tools, applications

D. Efimov

10h cours + 2h TD

C. Fiter

2h Cours + 2h TD J.P. Richard 2h cours

L. Belkoura 4h Cours

(5)

1- Introduction :

(6)

Petit rappel sur les systèmes lagrangiens…

1- Introduction : exemple mécanique 1

d frottement

l longueur

m masse

u couple moteur

q angle

g gravité

g m

u

(7)

7

1- Introduction : exemple mécanique 1

NB : inversible  ^etc.

exemple académique, et... inutile ?

G

M

m

F x

2l

(8)

B2, projet IMARA, juin 2003

G

M

m

F x

2l

mais aussi… (2010)

Puma 2009(GM)

2003

(9)

9

1- Introduction : exemple mécanique 3

x1

x₂

ò

u₂

u1

Monocycle simplifié : entrées = vitesses (pas d’inertie), pas de glissement…

(modèle cinématique, pas modèle dynamique)

on modélise



ça…

mais pas

2005

2004

(11)

11

1- Introduction : exemple mécanique 4



q u

₁

u

₂

Tricycle (simplifié)

x 2

x 1

(12)

1- Introduction : exemple électrique 1

Moteur Courant Continu (sortie = position)

courant rotorique (armature)

vitesse angulaire (armature)

position angulaire flux inducteur (stator)

tension rotorique (armature)

gain moteur («fem/vitesse»)

inertie, frot. charge résist., self rotoriques

(13)

13

1- Introduction : exemple électrique 2

Moteur Shunt x₁ position angulaire x₂ vitesse angulaire x₃ courant armature

(14)

1- Introduction : exemple électrique 3

Moteur Pas-à-Pas (modélisé dans le repère de Park)

(15)

1- Introduction : exemple en GdP

S

c_A c_B

(16)

Autres exemples …

Site JPR ^ pictures/video ^ movies

Boston Dyn.

BigDog DARPA Jap-Fr

HRP2 2006 (planif !)

Boston Dyn.

Atlas 2015 DARPA

Boston Dyn.

Atlas 2016 DARPA

Boston Dyn.

Spot 2016 DARPA

(17)

17

1- Introduction : exemple en écologie

Proies-Prédateurs (Lotka-Volterra)

Nbre Herbivores :

x

seuls :

dx/dt = ax,

⁽^a ^{> 0)}

Nbre Carnivores :

y

^{seuls :}

^dy/dt = - by ,

⁽^b ^{> 0)}

Herbivores Carnivores

ensemble 

dx/dt = ax - ^cxy

^(a,b,c,d ^{> 0)}

dy/dt = - by + dxy

Vito Volterra (1860-1940), mathématicien, fondateur de l’analyse fonctionnelle,

systèmes héréditaires.

Alfred James Lotka, chimiste :

« Elements of Physical Biology », 1925.

NB : Volterra avait remarqué que

(simu)

… sacré Vito !

Lions :

y

^{seuls :} ^simu…

(herbe seule)

saturation

analyse ?

ensemble



(19)

1- Introduction : exemple en météorologie

Mêmes CI xyz(t₀≠)

Credit: W. Perruquetti

Sensibilité aux C.I. pressentie vers 1875 par James Clerk Maxwell (1831-1879) puis Henri Poincaré.

Lorenz (Edward Norton Lorenz, météorologiste, 1917- ?) étudie en 1963 l’équation déterministe : (modèle très simplifié des

écoulements dans l’atmosphère)

 Chaos : pour C.I.  , solutions 

pas de cycle limite !

Même t₀

CI xyz #

(20)

1- Introduction : attracteur étrange issu du chaos

Section de Poincaré d’un attracteur étrange (ici, cas d’un pendule forcé) :

La permanence d’une même structuration à différentes échelles signe un objet fractal.

(a) Représentation globale de l’attracteur : structure feuilletée et repliements.

(b) Agrandissement de la partie encadrée : topologie semblable à celle de l’attracteur dans sa totalité.

(21)

21

1- Introduction :

un autre exemple de chaos

Attracteur de Rösler :

Question: à partir de quel ordre d’équation différentielle peut-on rencontrer ce type de comportement ?

dx/dt = - x - y

dy/dt = x + 0.2y

dz/dt = 0.2 - 5.8z + xz

rythme gouttes d’eau, rythmes cardiaques, etc.

(22)

1- Introduction :

un autre exemple de chaos

Système scalaire discret :

Pour quelles valeurs de a

a-t-on un phénomène de chaos ?

(click me…)

Valeurs d’adhérence

x

_i _

(oh, click me again…)

x densité de population en début d’année n

f facteur de fécondité,

r ressources nutritives

x(n +1) = f r x(n)

r = r (x) = k (1 - x)

« FONCTION LOGISTIQUE »

a 

 Nbre val.adh.

m_i

d'après le nom du physicien-mathématicien Mitchell Jay Feigenbaum, PhD MIT 1970 (Feigenbaum = figuier en allemand)

Nombre de Feigenbaum : les m_iétant les ade bifurcation, on a une constante d

qui s’avère commune à d’autres systèmes, comme

=

4,66920160910299067185320382…

 « arbre de Feigenbaum »

(23)

23

Un ptit dernier ?

moteur

tension u angle mesuré x

angle voulu

x = 0

+ -

écart

e

^{= 0 –}

x

(24)

Un ptit dernier ? (suite)

moteur embarqué (satellite)

u angle mesuré x(t)

+ -

ligne de com.

 retard h/2

ligne de com.

 retard h/2

angle voulu

x^c = 0

angle transmis x(t-h/2) e

commande transmise e(t-h/2)

simu h =1.5

(25)

et un lien chaos-retard

simu

(26)

Retard : un vieux sujet ?

⁽¹⁾

(Springer, 2006)

(27)

PhD en cours (Feingesicht + Polyakov, Kerhervé, Richard + IEMN, LML, Onera, LAMIH, etc.)

estimation algorithm

PROCESS

sensors

modelling errors

measurement noises

actuators

control algorithm

Desired behavior

Modèles ?

- Navier Stokes...

- non linéaire + retard(s)

Retard : un vieux sujet ?

⁽²⁾

(28)

2 EDO : Équations Différentielles Ordinaires

Équations différentielles ordinaires (EDOs) : (E)

* f continue  intégrale classique

f mesurable  intégrale au sens de Lebesgue ( dérivée de  p.p.) intervalles de IR et de IRⁿ

E

Problème de Cauchy (PC) :

intervalle centré en t₀

(29)

29

(2- EDO, suite) (E)

Définition :

On appelle solution de (E) passant par

x

₀ à

t

₀ toute fonction



:

- définie sur un intervalle non vide contenant

t

₀ :

- absolument continue* (dérivable presque partout), - vérifiant (E) presque partout sur

- et telle que : .

On la notera aussi, plus simplement, .

*

(30)

(2- EDO, suite)

Cas « standard » :

Théorème local : valable pour un intervalle de temps centré sur t₀

Énoncés plus complets et preuves : cf. [RIC02] p. 176-178.

Preuves basées sur approximations des solutions par des suites.

(31)

31

(2- EDO, suite)

Définitions d’ensembles particuliers :

Point d’équilibre :

soit, si unicité de solution :

Ensemble invariant

[positivement] :

« J’y suis, j’y reste. » Marie Edmé Patrice Maurice de Mac-Mahon, 1808-1893

« Ce n’est rien, j’y suis, j’y suis toujours… » Jean Nicolas Arthur Rimbaud, 1854-1891

(32)

(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)

Question subsidiaire : comment voit-on que ce comportement n’est

pas linéaire ?

Exemple 1 :

 ! x

_e

= 0

oui, mais prouvez-le…

(simu1)

(simu2)

(33)

33

Exemple 2 :

(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)

Remarque : non lipschitzienne pour (essayer ).

Essayer les solutions, :

t₀

(34)

Classification des EDO

Non linéaire, Non stationnaire

Non linéaire, Stationnaire Linéaire, Stationnaire (LTI) Linéaire, Non stationnaire

« stationnaire » = « autonome » = « time invariant » Périodique si









(35)

Cas particulier NL1 – équations linéaires

Solution ?

sauf si… ?

(36)

Cas particulier NL2 – équat. de Lagrange, de Clairaut

(d/dt ^puisdm/dt)

(37)

37

Cas particulier NL3 – équation de Bernouilli

(38)

Cas particulier 3 – équation de Riccati

(39)

39

2 Outils mathématiques pour EDO : flot

(un point ^| un point sur la traj.)

Propriétés : Définition :

Exemple :

(40)

2 Outils Mathématiques : flot, non commutativité

cas linéaire :

Composition de flots : non commutativité



on va définir le « commutateur » des flots, ou crochet de Lie

qui s’annule lorsqu’il y a commutativité.

(41)

41

2 Outils mathématiques : crochet de Lie

(Lie bracket)

* Marius Sophus Lie, 1842-1899, Norvégien, théorie des groupes continus

*

f,g analytiques

(42)

2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)

Une interprétation du crochet de Lie en termes de commande :

Système affine en la commande et « sans dérive » :

proof?

wait a mn!

(43)

43

2

(44)

44

proof? ?

do it CQFD₄₄

proof? ?

do it yourself! CQFD

xç = g

₁

(x)

(45)

Propriétés de

(46)

46

(47)

Juste pour l’entrainement…

? ?

(48)

48

2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite) Encore un p’tit, pour la route ?

Satellite sous-actionné

(49)

Pour que la commande soit « reconfigurable »

quel que soit l’actionneur en panne, il faudra(it) et suffira(it) que :

Remarque sur

(50)

50

- 3 -

Comportements asymptotiques :

stabilité, attractivité

(51)

3 Définitions : stabilité, attractivité

et (globalement) asymptotiquement stable s’il est stable et attractif.

(52)

52

3 Stabilité (définitions, suite)

attractif stable



 ?

trop facile…

(53)

(simu) (CI auto)

attractif stable



 ?

… et sans simulation ?

… étudier ?

(54)

54

Définition (suite) : Le point d’équilibre

est localement attractif si :

exponentiellement stable (localement pour ) si :

(55)

Définition (suite) :

(56)

56

Exemple 1 :

dx/dt = x - x y dy/dt = - y + x y

Herbivores Carnivores

Équation de Lotka-Volterra

Exemple 2 :

Équation… de l’herbe ? dx/dt = x( 1- x)

x

0 t 1

(57)

0

Équation de Van der Pol Exemple 3 :

est … est ... ? est …

globalement asympt. stable, localement asympt. stable.

instable, non attractif,

(58)

58

Définition ^(suite) : stabilité absolue

Définition

Le système (1) est absolument stable si, pour tout gain de la famille , l’équilibre est globalement asymptotiquement stable.

(59)

(2)

Définition ^{Le système} (2) est BIBO-stable si, pour toute entrée u bornée, la sortie y reste bornée :

Définition ^(suite) : stabilité BIBO (bounded input, bounded output)

Cas linéaire :

Pour A, B, C des matrices constantes bornées, si le spectre de A est dans le demi-plan Re(l) < 0,

alors le système (3) est BIBO stable.

(3)

Autrement dit : en linéaire, si y converge vers 0 pour u = 0, alors BIBO OK.

 Question : est-ce général ? Réponse : …

≠ stabilité « interne »

(60)

60

stabilité BIBO (suite)

Et en non linéaire ? Exemple : (E. Sontag)

(2)

(4)

Donc ici : y converge vers 0 pour u = 0, mais pas BIBO pour autant...

(ici, u tend même vers 0 quand t augmente)

Pas toujours !

(61)

Stabilité - rappel en linéaire :

Systèmes en temps continu

(62)

62

Exemples

Stabilité - rappel en linéaire (suite)

-1 0

(63)

3. Stabilité (linéaire continu, suite)

(éq. Lyapunov cont.)

(64)

64

3. Stabilité (linéaire, suite)

a _ii

C i

a _jj

 _a

i=j

ij C j

C

^k

Im

0 Re

Pour rappel, critère des cercles de Gershgorine :

(65)

Stabilité - rappel en linéaire :

Systèmes en temps discret

(66)

66

3. Stabilité (linéaire discret, suite)

(67)

3. Stabilité : problème en NL

Stabilité en NL : mais pourquoi tant de théorie ?

1) La résolution ?

2) La simulation ?

3) La linéarisation ?

(68)

68

3. Stabilité : problème en NL (suite)

Conjecture d’Aizerman

Contre-exemple

(Pliss, 1956)

..

(69)

Alexander Mikhaïlovich

 1ère méthode de Lyapunov

 Équivalences linéaires locales

 2ème méthode de Lyapunov

 Méthodes de comparaison

Stabilité : méthodes d’étude

nonlinear is kharacho^*…

* Le non-linéaire, c’est wonderful…

Mathématicien et physicien russe, membre de l’Académie des sciences.

Après des études à l’université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l’université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l’université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, il élabore dans sa thèse (1892) une méthode générale pour la solution des problèmes de stabilité. Avant lui, les problèmes de stabilité étaient habituellement résolus en linéarisant les équations différentielles et en négligeant tout ce qui était d’ordre supérieur.

(70)

70

3. Stabilité : 1ère méthode de Lyapunov

(linéarisé en 0)

(71)

3. Stabilité (1ère m.L., suite)

Exemple

(’tite simu)

(72)

72

3. Stabilité (1ère m.L., suite)

Limites de la 1ère m. L ?

A

1) Théorèmes d’équivalence locale 2) 2nde méthode de Lyapunov

1) Cas critique (

A

juste stable) non considéré

2) Aspect qualitatif seul : sert à «trier» les pts d’équilibre

(73)

3. Stabilité :

équivalence locale à un champ linéaire

Exemple 1

(74)

3. Stabilité :

équivalence locale à un champ linéaire

Exemple 2

(75)

3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en linéaire

(76)

76

3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en NON linéaire

(77)

Théorème 1 : (cas hyperbolique) ⁽¹⁹⁶⁴⁾

(78)

78

Théorème 2 : (cas hyperbolique)

(79)

Théorème 3 : (cas non hyperbolique, enfin !)

Théorème 4 : (toujours le cas non hyperbolique)

(80)

??

80

3. Stabilité (équiv. locale, suite)

Exemple

Linéarisé : pas de conclusion

par la 1ère M.L.

(E)

Variété centre :

développement en série de Taylor :

(81)

Exemple (suite)

Dynamique «réduite» à la variété centre : Variété centre :

Linéarisé : pas de conclusion

par la 1ère M.L.

(E)

asymptotiquement stable (non exponentiellement)

(82)

82

Exemple (interprétation)

(E)

Linéarisé, variété centre, système réduit…

Mais, que diable, n’aurait-on pas pu faire plus simple ?

« Ceci est une loupe » (R. Magritte) asymptotiquement stable (non exponentiellement)

(83)

3. Stabilité :

2

^ème

méthode de Lyapunov

(« méthode directe »)

Étudier la convergence de sans résoudre cette équation ?

xç = f (x); x(0) = x

₀

Utiliser une « distance » de à l’équilibre ,

pour se ramener à un système scalaire plus simple (syst. de comparaison).

x(t) x_e

(84)

84

3. Stabilité (2^ème M.L., suite) Principe des « fonctions de Lyapunov »

connu connu

inconnu

(85)

v(x)= ct e

x= 0

v(x)= 0

3. Stabilité (2^ème M.L., suite) Principe des « fonctions de Lyapunov »

vç = grad v(x) [ ]

^T

f (x; t)

Interprétation de

x(t) grad v(x)

(86)

86

3. Stabilité : Théorèmes

Notations

Définitions

« définie négative »

… c’est pareil dans l’autre sens.

(87)

3. Stabilité simple : Théorème

Démonstration ?

(S)

(88)

88

3. Stabilité asymptotique : Théorème

Démonstration ? (S)

<

(89)

3. Stabilité asymptotique globale : Théorème

x1

x2

(S)

v

⁽

x, t

⁾

(90)

90

3. Stabilité asymptotique exponentielle : Théorème

(S)

(91)

3. Stabilité : Fonction de Lyapunov

(92)

92

3. Stabilité : Théorème d’instabilité

x = 0

v(x)=0

x = 0

v(x)=0

v(x)=0 v<0

v>0 v<0

v>0 v<0 v<0

v<0 v<0

(S)

Démonstration : premier cas évident

deuxième cas plus amusant

(93)

3. Stabilité : principe d’invariance de LaSalle

(94)

94

3. Stabilité locale : domaine d’attraction

Estimation du domaine d’attraction d’un équilibre : (exemple dit « très important »)

(système mécanique à frottement non linéaire)

1ère m.L. As. stable pour . Points d’équilibre ?

Stabilité ?

Stab. globale ? 2è m.L.

..

(95)

?

0 0

(96)

96 3. Stabilité locale : Théorème d’estimation du domaine d’attraction

…

(97)

Un petit résumé de la démarche « classique »

(98)

98

3. Stabilité : fonctions candidates

Recherche de fonctions de Lyapunov

fonctions « candidates »

dérivable p.p., à sauts bornés

(99)

3. Stabilité : fonctions candidates quadratiques

équation de Lyapunov

Fonctions candidates quadratiques

(100)

100

3. Stabilité : fonctions candidates Holder 1

Max des sommes en colonnes < 0 indice ligne

Norme de Holder 1 (de la somme)

*

(101)

*

indice de colonne

3. Stabilité : fonctions candidates de Holder



Norme de Holder



^{(du max)}

Max des sommes en lignes < 0

(102)

3. Stabilité : exemples

102

Exemple 1

(103)

3. Stabilité : exemples

Exemple 2

CS de stab. asympt. glob. :

Exemple 3

Exemple 4

1

1 -1

-1

2 -2

-2 2

(inst.) (inst.)

(104)

104

3. Stabilité : exemples

Exemple 5 (pendule sans friction)

(penser énergie…)

(105)

4. Inégalités différentielles

généraliser la dérivée

sauf en (non dérivable)

démontrer le résultat

(106)

106

4. Inégalités différentielles

Dérivée de Dini (à droite) :

Boîte à outils - 1

(107)

Boîte à outils - 2

Définition : M est une « –M matrice » (l’opposée d’une matrice de Metzler) si elle est Hurwitz et si f(x)=Mx est QMND.

Exemples : (cas linéaire) (cas ^NLstat.)

(108)

108

Lemme

Supposons que f _:

- vérifie les conditions d’existence et unicité de solution pour (2) ; - est quasi-monotone non décroissante en x .

Remarque : théorème généralisable au cas de solution non unique et d’équations définies presque partout (voir [RIC 02] chap.5.)

(1) (2)

Un résultat de base…

(de Wažewski-Kamke-Lakshmikantham-Leela) :

(109)

Application à la stabilité

?

Théorème 1 :

Démonstration :

(110)

Jean-Pierre Richard Centrale Lille

PLAN D’ENSEMBLE

Plan plus détaillé…

Plan plus détaillé…

1- Introduction :

1- Introduction : exemple mécanique 1

g m

u

1- Introduction : exemple mécanique 1

1- Introduction : exemple mécanique 3

ça…

ça

1- Introduction : exemple mécanique 3 bis

v

v

x 2

x 1 q

u

u

=

(v

+v

) u

=

(v

- v

)

1- Introduction : exemple mécanique 4



q u

u

x 2

x 1

1- Introduction : exemple électrique 1

1- Introduction : exemple électrique 2

1- Introduction : exemple électrique 3

1- Introduction : exemple en GdP

Autres exemples …

1- Introduction : exemple en écologie

x

dx/dt = ax,

y

dy/dt = - by ,

dx/dt = ax - cxy

dy/dt = - by + dxy

x

h y

h

x

y

1- Introduction : exemple en météorologie

1- Introduction : attracteur étrange issu du chaos

un autre exemple de chaos

dx/dt = - x - y

dy/dt = x + 0.2y

dz/dt = 0.2 - 5.8z + xz

un autre exemple de chaos

x

Un ptit dernier ?

+ -

e

x

+ -

et un lien chaos-retard

Retard : un vieux sujet ?

Retard : un vieux sujet ?

2 EDO : Équations Différentielles Ordinaires

x

t



t

Définitions d’ensembles particuliers :

 ! x

= 0

Classification des EDO









Cas particulier NL1 – équations linéaires

^dy/dt = - by ,

dx/dt = ax - ^cxy

a _ii

a _jj

 _a