1
Jean-Pierre Richard
Centrale Lille
UMR
Equipe-Projet
jean-pierre.richard@ec-lille.fr
Filière Recherche – septembre 2017
http://researchers.lille.inria.fr/~jrichard
pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm
© J.P. RICHARD 2017
voir aussi le livre en téléchargement https://hal.inria.fr/hal-00519555/
PLAN
1 introduction / exemples 2 outils mathématiques
3 stabilité, comportements asymptotiques 4 inégalités différentielles
5 éléments de commandabilité
6 équa.diff. fonctionnelles – retards 7 encore des exercices…7 Inclusions différentielles
3 Petit rappel sur les systèmes lagrangiens…
1- Introduction : exemple mécanique 1
d frottement
l longueur
m masse
u couple moteur
q angle
g gravité
g m
u
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1- Introduction : exemple mécanique 2
NB : inversible etc.
exemple académique, et... inutile ?
G
M
m
F x
2l
5 B2, projet IMARA, juin 2003
G
M
m
F x
2l
mais aussi… (2010)
2003
© J.P. RICHARD 2017
… et une autre application ;)
Fête de la Science 2008
7
1- Introduction : exemple mécanique 3
x1
x2
ò
u2
u1
Monocycle simplifié : entrées = vitesses (pas d’inertie), pas de glissement…
(modèle cinématique, pas modèle dynamique)
on modélise
ça…
mais pas
ça
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1- Introduction : exemple mécanique 3 bis
Monocycle simplifié (modèle cinématique, entrées = vitesses)
v
1v
2x2
x1
q
u
1u
1=
1/2(v
1+v
2) u
2=
1/2(v
1- v
2)
2005
9
1- Introduction : exemple mécanique 4
q u
1u
2Tricycle (simplifié)
x 2
x 1
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1- Introduction : exemple électrique 1
Moteur Courant Continu (sortie = position)
courant rotorique (armature)
vitesse angulaire (armature)
position angulaire flux inducteur (stator)
tension rotorique (armature)
gain moteur («fem/vitesse»)
inertie, frot. charge résist., self rotoriques
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1- Introduction : exemple électrique 2
Moteur Shunt x1 position angulaire x2 vitesse angulaire x3 courant armature
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1- Introduction : exemple électrique 3
Moteur Pas-à-Pas (modélisé dans le repère de Park)
sensorless
1- Introduction : exemple en GdP
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S
cA cB
Autres exemples …
Site JPR pictures/video movies
Boston Dyn.
BigDog DARPA Jap-Fr
HRP2 2006 (planif !)
Boston Dyn.
Atlas 2015 DARPA
Boston Dyn.
Atlas 2016 DARPA
Boston Dyn.
Spot 2016 DARPA Fr
G2 2008 (trop fort)
15
1- Introduction : exemple en écologie
Proies-Prédateurs (Lotka-Volterra)
Nbre Herbivores :
x
seuls : dx/dt = ax, (a > 0)Nbre Carnivores :
y
seuls : dy/dt = - by , (b > 0)Herbivores Carnivores
ensemble dx/dt = ax
-
cxy (a,b,c,d > 0)dy/dt = -by + dxy
Vito Volterra (1860-1940), mathématicien, fondateur de l’analyse fonctionnelle,
systèmes héréditaires.
Alfred James Lotka, chimiste :
« Elements of Physical Biology », 1925.
NB : Volterra avait remarqué que
(simu)
… sacré Vito !
… sacré Vito !
x
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x
h y
1- Introduction : exemple en écologie (suite)
Modèle proies-prédateurs à 3 espèces :
Plants d’herbe :
h
seuls :Gazelles :
x
seuls :Lions :
y
seuls : simu…(herbe seule)
saturation
analyse ?
ensemble
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1- Introduction : exemple en météorologie
Mêmes CI xyz(t0≠)
Credit: W. Perruquetti
Sensibilité aux C.I. pressentie vers 1875 par James Clerk Maxwell (1831-1879) puis Henri Poincaré.
Lorenz (Edward Norton Lorenz, météorologiste, 1917- ?) étudie en 1963 l’équation déterministe : (modèle très simplifié des
écoulements dans l’atmosphère)
Chaos : pour C.I. , solutions
pas de cycle limite !
Même t0
CI xyz #
1- Introduction : attracteur étrange issu du chaos
Section de Poincaré d’un attracteur étrange (ici, cas d’un pendule forcé) :
La permanence d’une même structuration à différentes échelles signe un objet fractal.
(a) Représentation globale de l’attracteur : structure feuilletée et repliements.
(b) Agrandissement de la partie encadrée : topologie semblable à celle de l’attracteur dans sa totalité.
19
1- Introduction :
un autre exemple de chaos
Attracteur de Rösler :
Question: à partir de quel ordre d’équation différentielle peut-on rencontrer ce type de comportement ?
dx/dt = - x - y
dy/dt = x + 0.2y
dz/dt = 0.2 - 5.8z + xz
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rythme gouttes d’eau, rythmes cardiaques, etc.
1- Introduction :
un autre exemple de chaos
Système scalaire discret :
Pour quelles valeurs de a
a-t-on un phénomène de chaos ?
(click me…)
Valeurs d’adhérence xi
(oh, click me again…)
x densité de population en début d’année n
f facteur de fécondité,
r ressources nutritives
x(n +1) = f r x(n)
r = r (x) = k (1 - x)
« FONCTION LOGISTIQUE »
a
Nbre val.adh.
mi
d'après le nom du physicien-mathématicien Mitchell Jay Feigenbaum, PhD MIT 1970 (Feigenbaum = figuier en allemand)
Nombre de Feigenbaum : les miétant les ade bifurcation, on a une constante d
qui s’avère commune à d’autres systèmes, comme
=
4,66920160910299067185320382…
« arbre de Feigenbaum »
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Un ptit dernier ?
moteur
tension u angle mesuré x
angle voulu
x = 0
+ -
écart
e = 0 – x
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Un ptit dernier ? (suite)
moteur embarqué (satellite)
u angle mesuré x(t)
+ -
ligne de com.
retard h/2
ligne de com.
retard h/2
angle voulu
xc = 0
angle transmis x(t-h/2) e
commande transmise e(t-h/2)
simu h =1.5
et un lien chaos-retard
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simu
Retard : un vieux sujet ? (1)
(Springer, 2006)
PhD en cours (Feingesicht + Polyakov, Kerhervé, Richard + IEMN, LML, Onera, LAMIH, etc.)
estimation algorithm
PROCESS
sensors
modelling errors
measurement noises
actuators
control algorithm
Desired behavior
Modèles ?
- Navier Stokes...
- non linéaire + retard(s)
Retard : un vieux sujet ? (2)
2 EDO :
Équations Différentielles OrdinairesÉquations différentielles ordinaires (EDOs) : (E)
* f continue intégrale classique
f mesurable intégrale au sens de Lebesgue ( dérivée de p.p.) intervalles de IR et de IRn
E
Problème de Cauchy (PC) :
intervalle centré en t0
27
(2- EDO, suite) (E)
Définition :
On appelle solution de (E) passant par x0 à
t
0 toute fonction
:- définie sur un intervalle non vide contenant t0 :
- absolument continue* (dérivable presque partout), - vérifiant (E) presque partout sur
- et telle que : .
On la notera aussi, plus simplement, .
*
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(2- EDO, suite)
Cas « standard » :
Théorème local : valable pour un intervalle de temps centré sur t0
Énoncés plus complets et preuves : cf. [RIC02] p. 176-178.
Preuves basées sur approximations des solutions par des suites.
29
(2- EDO, suite)
Définitions d’ensembles particuliers :
Point d’équilibre :
soit, si unicité de solution :
Ensemble invariant
[positivement] :
« J’y suis, j’y reste. » Marie Edmé Patrice Maurice de Mac-Mahon, 1808-1893
« Ce n’est rien, j’y suis, j’y suis toujours… » Jean Nicolas Arthur Rimbaud, 1854-1891
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(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)
Question subsidiaire : Comment voit-on que ce comportement est
non-linéaire ?
Exemple 1 :
! x
e= 0
oui, mais prouvez-le…
(simu1)
(simu2)
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Exemple 2 :
(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)
Remarque : non lipschitzienne pour (essayer ).
Essayer les solutions, :
t0
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Classification des EDO
Non linéaire, Non stationnaire
Non linéaire, Stationnaire Linéaire, Stationnaire (LTI) Linéaire, Non stationnaire
« stationnaire » = « autonome » = « time invariant » Périodique si
Cas particulier NL1 – équations linéaires
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Solution ?
sauf si… ?
Cas particulier NL2 – équat. de Lagrange, de Clairaut
(d/dt puis dm/dt)
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35
Cas particulier NL3 – équation de Bernouilli
Cas particulier 3 – équation de Riccati
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2 Outils mathématiques pour EDO : flot
(un point | un point sur la traj.)
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Propriétés : Définition :
Exemple :
2 Outils Mathématiques : flot, non commutativité
cas linéaire :
Composition de flots : non commutativité
on va définir le « commutateur » des flots, ou crochet de Lie
qui s’annule lorsqu’il y a commutativité.
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2 Outils mathématiques : crochet de Lie
(Lie bracket)
* Marius Sophus Lie, 1842-1899, Norvégien, théorie des groupes continus
*
f,g analytiques
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2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Une interprétation du crochet de Lie en termes de commande :
Système affine en la commande et « sans dérive » :
proof?
wait a mn!
41
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Cas particulier : système linéaire sans dérive
xç = b
1u
1+ b
2u
2g
1= b
1g
2= b
2© J.P. RICHARD 2017
42
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
proof? ?
do it CQFD42
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
proof? ?
do it yourself! CQFD
xç = g1(x)
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2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Propriétés de
44
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
© J.P. RICHARD 2017 45
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Juste pour l’entrainement…
46
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite) Encore un p’tit, pour la route ?
Satellite sous-actionné
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Pour que la commande soit « reconfigurable »
quel que soit l’actionneur en panne, il faudra(it) et suffira(it) que :
Remarque sur
48
- 3 -
Comportements asymptotiques :
stabilité, attractivité
© J.P. RICHARD 2017 49
3 Définitions : stabilité, attractivité
et (globalement) asymptotiquement stable s’il est stable et attractif.
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3 Stabilité (définitions, suite)
attractif stable
?
trop facile…
© J.P. RICHARD 2017 51
3 Stabilité (définitions, suite)
(simu) (CI auto)
attractif stable
?
… et sans simulation ?
… étudier ?
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3 Stabilité (définitions, suite)
Définition (suite) : Le point d’équilibre
est localement attractif si :
exponentiellement stable (localement pour ) si :
© J.P. RICHARD 2017 53
3 Stabilité (définitions, suite)
Définition (suite) :
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3 Stabilité (définitions, suite)
Exemple 1 :
dx/dt = x - x y dy/dt = - y + x y
Herbivores Carnivores
Équation de Lotka-Volterra
Exemple 2 :
Équation… de l’herbe ? dx/dt = x( 1- x)
x
0 t 1
© J.P. RICHARD 2017 55
0
3 Stabilité (définitions, suite)
Équation de Van der Pol Exemple 3 :
est … est ... ? est …
globalement asympt. stable, localement asympt. stable.
instable, non attractif,
56
Définition (suite) : stabilité absolue
3 Stabilité (définitions, suite)
Définition
Le système (1) est absolument stable si, pour tout gain de la famille , l’équilibre est globalement asymptotiquement stable.
© J.P. RICHARD 2017 57
(2)
Définition Le système (2) est BIBO-stable si, pour toute entrée u bornée, la sortie y reste bornée :
Définition (suite) : stabilité BIBO (bounded input, bounded output)
3 Stabilité (définitions, suite)
Cas linéaire :
Pour A, B, C des matrices constantes bornées, si le spectre de A est dans le demi-plan Re(l) < 0,
alors le système (3) est BIBO stable.
(3)
Autrement dit : en linéaire, si y converge vers 0 pour u = 0, alors BIBO OK.
Question : est-ce général ? Réponse : …
≠ stabilité « interne »
58
stabilité BIBO (suite)
3 Stabilité (définitions, suite)
Et en non linéaire ? Exemple : (E. Sontag)
(2)
(4)
Donc ici : y converge vers 0 pour u = 0, mais pas BIBO pour autant...
(ici, u tend même vers 0 quand t augmente)
Pas toujours !
© J.P. RICHARD 2017 59
Stabilité - rappel en linéaire :
Systèmes en temps continu
60
Exemples
Stabilité - rappel en linéaire (suite)
-1 0
© J.P. RICHARD 2017 61
3. Stabilité (linéaire continu, suite)
(éq. Lyapunov cont.)
)> 0
62
3. Stabilité (linéaire, suite)
a ii
C i
a
jj a
i=j
ij C j
C
kIm
0 Re
Pour rappel, critère des cercles de Gershgorine :
© J.P. RICHARD 2017 63
Stabilité - rappel en linéaire :
Systèmes en temps discret
64
3. Stabilité (linéaire discret, suite)
© J.P. RICHARD 2017 65
3. Stabilité : problème en NL
Stabilité en NL :
mais pourquoi tant de théorie ?1) La résolution ?
2) La simulation ?
3) La linéarisation ?
66
3. Stabilité : problème en NL (suite)
Conjecture d’Aizerman
Contre-exemple
(Pliss, 1956)..
..
© J.P. RICHARD 2011 67
Alexander Mikhaïlovich
1ère méthode de Lyapunov
Équivalences linéaires locales
2ème méthode de Lyapunov
Méthodes de comparaison
Stabilité : méthodes d’étude
nonlinear is kharacho*…
* Le non-linéaire, c’est wonderful…
Mathématicien et physicien russe, membre de l’Académie des sciences.
Après des études à l’université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis professeur à l’université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à l’université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, il élabore dans sa thèse (1892) une méthode générale pour la solution des problèmes de stabilité. Avant lui, les problèmes de stabilité étaient habituellement résolus en linéarisant les équations différentielles et en négligeant tout ce qui était d’ordre supérieur.
68
3. Stabilité : 1ère méthode de Lyapunov
(linéarisé en 0)
© J.P. RICHARD 2017 69
3. Stabilité (1ère m.L., suite)
Exemple
(’tite simu)
70
3. Stabilité (1ère m.L., suite)
Limites de la 1ère m. L ?
A
1) Théorèmes d’équivalence locale 2) 2nde méthode de Lyapunov
1) Cas critique ( A juste stable) non considéré
2) Aspect qualitatif seul : sert à «trier» les pts d’équilibre
© J.P. RICHARD 2017 71
3. Stabilité :
équivalence locale à un champ linéaire
Exemple 1
© J.P. RICHARD 2017
3. Stabilité :
équivalence locale à un champ linéaire
Exemple 2
© J.P. RICHARD 2017 73
3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en linéaire
74
3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en NON linéaire
© J.P. RICHARD 2017 75
3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 1 : (cas hyperbolique) (1964)
76
3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 2 : (cas hyperbolique)
© J.P. RICHARD 2017 77
3. Stabilité (équiv. locale, suite) Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 3 : (cas non hyperbolique, enfin !)
Théorème 4 : (toujours le cas non hyperbolique)
??
78
3. Stabilité (équiv. locale, suite)
Exemple
Linéarisé : pas de conclusion
par la 1ère M.L.
(E)
Variété centre :
développement en série de Taylor :
© J.P. RICHARD 2017 79
3. Stabilité (équiv. locale, suite)
Exemple (suite)
Dynamique «réduite» à la variété centre : Variété centre :
Linéarisé : pas de conclusion
par la 1ère M.L.
(E)
asymptotiquement stable (non exponentiellement)
80
3. Stabilité (équiv. locale, suite)
Exemple (interprétation)
(E)
Linéarisé, variété centre, système réduit…
Mais, que diable, n’aurait-on pas pu faire plus simple ?
« Ceci est une loupe » (R. Magritte) asymptotiquement stable (non exponentiellement)
© J.P. RICHARD 2017 81
3. Stabilité :
2
èmeméthode de Lyapunov
(« méthode directe »)Étudier la convergence de sans résoudre cette équation ?xç = f (x); x(0) = x0
Utiliser une « distance » de à l’équilibre ,
pour se ramener à un système scalaire plus simple (syst. de comparaison).
x(t) xe
82
3. Stabilité (2ème M.L., suite) Principe des « fonctions de Lyapunov »
connu connu
inconnu
© J.P. RICHARD 2017 83
v(x)= ct e
x= 0
v(x)= 0
3. Stabilité (2ème M.L., suite) Principe des « fonctions de Lyapunov »
vç = grad v(x) [ ]
Tf (x; t)
Interprétation de
x(t) grad v(x)
84
3. Stabilité : Théorèmes
Notations
Définitions
« définie négative »
… c’est pareil dans l’autre sens.
© J.P. RICHARD 2017 85
3. Stabilité simple : Théorème
Démonstration ?
(S)
86
3. Stabilité asymptotique : Théorème
Démonstration ? (S)
<
© J.P. RICHARD 2017 87
3. Stabilité asymptotique globale : Théorème
x1
x2
(S)
v (x,t)
88
3. Stabilité asymptotique exponentielle : Théorème
(S)
© J.P. RICHARD 2017 89
3. Stabilité : Fonction de Lyapunov
90
3. Stabilité : Théorème d’instabilité
x = 0
v(x)=0
v(x)=0
x = 0
v(x)=0
v(x)=0 v<0
v>0 v<0
v>0 v<0 v<0
v<0 v<0
(S)
Démonstration : premier cas évident
deuxième cas plus amusant
© J.P. RICHARD 2017 91
3. Stabilité : principe d’invariance de LaSalle
92
3. Stabilité locale : domaine d’attraction
Estimation du domaine d’attraction d’un équilibre : (exemple dit « très important »)
(système mécanique à frottement non linéaire)
1ère m.L. As. stable pour . Points d’équilibre ?
Stabilité ?
Stab. globale ? 2è m.L.
..
..
© J.P. RICHARD 2017 93 3. Stabilité locale : domaine d’attraction (suite) (suite de l’exemple dit « très important »)
?
00
94 3. Stabilité locale : Théorème d’estimation du domaine d’attraction
…
© J.P. RICHARD 2017 95
Un petit résumé de la démarche « classique »
96
3. Stabilité : fonctions candidates
Recherche de fonctions de Lyapunov
fonctions « candidates »
dérivable p.p., à sauts bornés
© J.P. RICHARD 2017 97
3. Stabilité : fonctions candidates quadratiques
équation de Lyapunov
Fonctions candidates quadratiques
98
3. Stabilité : fonctions candidates Holder 1
Max des sommes en colonnes < 0 indice ligne
Norme de Holder 1 (de la somme)
*
*
© J.P. RICHARD 2017 99
indice de colonne
3. Stabilité : fonctions candidates de Holder
Norme de Holder
(du max)Max des sommes en lignes < 0
3. Stabilité : exemples
100
Exemple 1
© J.P. RICHARD 2017 101
3. Stabilité : exemples
Exemple 2
CS de stab. asympt. glob. :
Exemple 3
Exemple 4
1
1 -1
-1
2 -2
-2 2
(inst.) (inst.)
102
3. Stabilité : exemples
Exemple 5
(pendule sans friction)(penser énergie…)