Le degré de Brouwer

Le degré de Brouwer

Logan Cartau

24 mai 2017

Table des matières

1 Préambule 1

2 Théorie des valeurs regulières 5

3 Variétés à bord 11

4 Le degré modulo 2 18

5 Le degré de Brouwer 25

6 Cohomologie de De Rham et théorie du degré 36

Introduction

Le cadre de ce mémoire est celui des variétés diérentiables de classeC^∞, dites lisses. On s'intéresse aux applications entre de telles variétés. Le but du mémoire est de dénir un invariant homotopique pour ces applications, que l'on appelera le degré de Brouwer, et d'en donner des applications.

Les 5 premières sections sont basées sur le classique Topology From the Dierentiable Viewpoint ([1]) de John Milnor. En particulier les sections 1-4 sont dédiées au développement de la machinerie nécessaire à la compréhension du degré de Brouwer, à savoir :

- La section 1 rappelle les notions de base sur les variétés lisses. Le lecteur familier avec ces objets peut s'en épargner la lecture sans problème.

- La section 2 introduit aux valeurs régulières, qui jouent un rôle crucial dans toute la suite du texte. On donne en particulier une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss dans cette saveur diérentielle, ainsi que des résultats quantitatifs importants.

- La section 3 ouvre sur les variétés à bord, qui géneralisent les variétés

"classiques". Grâce à un théorème de classication puissant on regarde le rôle du bord de telles variétés, ainsi que des applications diverses, qui culminent en une démonstration du théorème du point xe de Brouwer.

- La section 4 a pour but de familiariser avec la notion d'homotopie et son rôle fondamental (ce qui n'est pas forcément apparent à première vue) dans la théorie des valeurs régulières. On donne deux lemmes importants, ainsi qu'un avant-goût de la section 5 par le biais du degré modulo 2.

- La section 5 introduit les variétés orientables. C'est dans ce cadre qu'on dénit enn le degré de Brouwer. On donne des outils importants pour sa manipulation ainsi que de nombreuses applications, par exemple avec le théo- rème de la boule chevelue.

La section 6, basée sur le chapitre 7 de [3], est relativement indépendante.

Elle a pour but de redénir le degré, que l'on appelera degré cohomologique, par le biais des formes diérentielles et de la cohomologie de De Rham. On y présuppose une connaissance des objets en question. Le résultat fondamental de cette partie est celui selon lequel le degré cohomologique, déni de manière abstraite, et le degré de Brouwer, déni "naivement", sont les mêmes.

1 Préambule

Sont supposés connus les résultats et méthodes de la topologie générale et du calcul diérentiel de base.

Le but de cette première partie est de se familiariser avec la notion de variété, en suivant [1] et [2]. De manière informelle, il s'agit d'objets qui

"ressemblent" localement à des ouverts de Rⁿ. Ici, "ressembler" signie être au moins homéomorphe. On s'intéressera dans ce mémoire au cas où il s'agit de diéomorphismes : ceux-ci donnent à la variété une structure sympathique sur laquelle on peut faire du calcul diérentiel, et on parlera de variété lisse.

1.1 Vocabulaire diérentiel

Dénition 1.1.1 : Soient U ⊂ R^k et V ⊂R^l des ouverts, et f :U →V une application de classeC^∞(rappel : cela veut dire que ses dérivées partielles de tout ordre existent et sont continues). On dit que f est lisse.

Dénition 1.1.2 : Sif :U →V est une bijection lisse d'inverse lisse, on dit que c'est un diéomorphisme.

On admet les propriétés et théorèmes usuels sur ces objets.

1.2 Variétés

Dénition 1.2.1 : SoitM ⊂R^k. On dit que M est une variété lisse de dimensionmsi chaque pointx∈M admet un voisinageU diéomorphe à un ouvertV deR^m. On appelera un diéomorphisme g :V →U une paramétri- sation deU, et le diéomorphisme inverseg⁻¹ :U →V une trivialisation, ou carte surU. En général, le terme carte désignera un tuplet(U, g)d'un ouvert U de la variété et de sa trivialisation g. Un ensemble de cartes trivialisant intégralement la variété prend le nom d'atlas.

Sauf mention explicite du contraire, toutes les variétés rencontrés à partir de maintenant seront supposées lisses.

1.3 Applications entre variétés

Les variétés étant localement "proches" deRⁿ, on a envie de géneraliser les notions d'applications lisses/diéomorphismes pour des applications dénies

sur une variété (et à valeur dans une variété). C'est un exercice formel direct mais auquel il faut faire attention.

Dénition 1.3.1 : Soit M une variété lisse de dimension m. Soit f : M →R^k quelconque. On dit quef est lisse si pour toutx∈M, il existe un voisinage U de x une carte lisse (U, φ)telle que f ◦φ⁻¹ soit une application lisse entre les ouverts φ(U) etR^k.

Dénition 1.3.2 : SoientM, N des variétés lisses de dimensions respec- tivesmetn. SoitF :M →N quelconque. On dit queF est lisse si pour tout x ∈ M il existe des voisinage U, V de x et F(x), et des cartes (U, φ), (V, ψ) telles que l'application ψ◦F ◦φ⁻¹ soit lisse entre les ouverts φ(U)⊂ R^m et ψ(V)⊂Rⁿ

Avec cette dénition, on peut maintenant dire que deux variétés lisses sont diéomorphes si il existe une telle application F bijective, lisse et d'inverse lisse.

1.4 Diérentielle, espace tangent

Il est naturel de s'intéresser à la notion de dérivée/diérentielle pour des applications entre variétés. Comme précédemment il convient d'être méti- culeux dans la manipulation des objets en essayant de se rammener dès que possible dans des situations bien connues. On rappelle brièvement le cas clas- sique.

Dénition 1.4.1 : Soit f : U → V une application lisse entre deux ouverts de (respectivement)R^k etR^l. Alors la diérentielledf_x :R^k →R^l de f au point x selon le vecteur h est donnée par :

df_x(h) = lim

t→0

f(x+th)−f(x) t

Cette application est linéaire en h. Sa représentation matricielle n'est autre que la jacobienne J_(i,j)(x) = (_∂x^∂fi

j(x))

Théorème 1.4.2 (Inversion locale classique) : Soitf lisse entre deux ouverts U ⊂ R^k et V ⊂ R^k. Alors si df_x : R^k → R^k est inversible, f est un diéomorphisme entre un voisinage W de x etf(W).

Pour comprendre le vrai sens de la diérentielle, on introduit la notion d'espace tangent en un point pour une variété. De manière informelle, il s'agit de la meilleure approximation de la variété au voisinage de ce point.

Dénition 1.4.3 : Soit M ⊂ R^k une variété lisse, U ⊂ R^m un ouvert et g : U → M une paramétrisation d'un voisinage g(U) ⊂ M de x tel que g(u) = xpour un certain u∈U. On se ramène à une application entre deux ouverts en considérant g comme allant de U dans R^k.

Alors la diérentielle dg_u : R^m →R^k existe, et on dénit l'espace tangent à M enx comme Im(dg_u) = dg_u(R^m). On le noteT M_x.

Remarque 1.4.4 : Cette dénition ne dépend pas du choix de g.

Remarque 1.4.5 : Il est évident qu'un ouvertU deRⁿsera toujours une variété lisse dansRⁿ(il sut de le munir de l'atlas(U_α, Id|_Uα)où[

α

U_α =U).

Dans ce cas l'espace tangent sera tout simplement Rⁿ lui-même.

Un exemple enrichissant est le groupe linéaire géneral surR,GL_n(R), des matrices réelles n×n inversibles. On a que

GL_n(R) = det⁻¹(R∗)

où det⁻¹ est l'image réciproque de l'application déterminant. Cette applica- tion de Rⁿ

2 (avecn² le nombre d'éléments dans la matrice) dans R, en tant que polynôme à coecients réels, est bien continue. De plusR^∗ est un ouvert de R donc det⁻¹(R^∗) est un ouvert de de Rⁿ

2. Ainsi GL_n(R) est une variété lisse de dimension n², et son espace tangent en tout point n'est autre que Rⁿ².

Nous sommes désormais en mesure de dénir la diérentielle dans le sens voulu, c'est à dire comme application linéaire entre espaces tangents.

Dénition 1.4.6 : Soient M ⊂ R^k, N ⊂ R^l deux variétés lisses et f : M → N lisse. Soit x ∈ M. Comme f est lisse, il existe un ouvert W ⊂ R^k contenantx, et une application lisseF :W →R^ltelle quef|_W∩M =F. Alors pour tout v ∈T M_x, on pose

df_x(v) = dF_x(v)

On considère la diérentielledfx :T Mx →T N_f(x)comme une application linéaire entre espaces vectoriels (si f est un diéomorphisme, alorsdf_x est un isomorphisme). On l'appelle également pushforward de l'espace tangent.

On conclut avec la géneralisation naturelle suivante.

Théorème 1.4.7 (Inversion locale entre variétés) : Soient M, N des variétés lisses de même dimension et f : M → N lisse. Soit x ∈ M, et considérons df_x : T M x → T N_f(x). Si df_x est inversible, alors il existe un voisinage U de x dans M et un voisinage V de f(x) dans N tels que f soit un diéomorphisme entre U et V.

Preuve : Immédiate. En eet il sut d'appliquer le théorème d'inversion locale classique à ψ◦F ◦φ⁻¹, avec les conventions de la dénition 1.3.2

2 Théorie des valeurs regulières

2.1 Dénition

Dénition 2.1.1 : SoientM etN des variétés lisses de même dimension et f : M → N lisse. Un point x ∈ M est un point régulier de f si df_x est inversible. On dit que y ∈ N est une valeur regulière si tous les points de f⁻¹(y) sont réguliers. Un élement non-régulier est dit critique.

On peut étendre cette dénition au cas où M et N n'ont pas même dimension : on regarde alors les points où le rang de la diérentielle n'est pas maximal.

Dénition 2.1.2 : En eet soientM, N deux variétés lisses (de dimension respectivement m et n, avec m ≥ n) et f : M → N lisse. On considère df_x : T M_x → T N_f(x). L'ensemble C des x ∈ M où rg(df_x) < n (i.e. où f n'est pas une submersion) est l'ensemble des points critiques de f et f(C) est celui des valeurs critiques. De manière analogue, M\C est l'ensemble des points réguliers, et N\f(C) est celui des valeurs régulières.

Ces deux dénitions coincident bien quandM etN ont même dimension.

2.2 Propriétés

On s'occupera ici du cas où M est compacte (en tant qu'espace topolo- gique), et où M et N ont même dimension. Soit f :M → N et y ∈N une valeur régulière.

Proposition 2.2.1 : L'ensemblef⁻¹(y) est ni (possiblement vide).

Preuve : L'application f étant lisse (et donc continue), on a que f⁻¹(y) est un fermé. De plus M est compact donc f⁻¹(y) est compact. On a égale- ment que f⁻¹(y)est discret. En eet supposons le contraire. Soitx∈f⁻¹(y), U un voisinage dexetV un voisinage dey tels quef :U →V soit un diéo- morphisme (de tels voisinages existent par le théorème d'inversion locale, car x est un point régulier). Soit maintenant x˜ ∈ f⁻¹(y). Comme f⁻¹(y) n'est pas discret, on a x˜ ∈ U. Cependant f est un diéomorphisme U → V et en particulier une bijection, or on a f(x) = f(˜x) = y, ce qui nous donne la contradiction. Ainsi f⁻¹(y) est un ensemble compact discret, et il est donc ni.

Proposition 2.2.2 : La fonction #f⁻¹(y) : Ω ⊂ N → N qui donne le nombre de points dans f⁻¹(y), où Ω est l'ensemble des valeurs régulières de f, est localement constante.

Preuve : On construit explicitement un voisinage de y sur lequel la pro- position est vériée. Posons k = #f⁻¹(y)

Soient [x₁, x₂, ..., x_k] les élements (en nombre ni par ce qui précède) de f⁻¹(y). Il existe des voisinages U₁, U₂, ..., U_k dans M disjoints deux à deux de chacun de ces points qui sont envoyés diéomorphiquement parf sur des voisinages V₁, V₂, ..., V_k deN. Alors le voisinage

V =

k

\

i=1

V_i\f(M\

k

[

i=1

U_i)

sut. Il s'agit bien d'un ouvert : comme lesV_i le sont, alors

k

\

i=1

V_i l'est aussi.

De plus, comme M est compact et que les U_i sont ouverts, M\

k

[

i=1

U_i est un compact et f(M\

k

[

i=1

U_i) l'est aussi car f est continue. Au nal V est bien ouvert en tant qu'ouvert privé d'un compact. Il est non-vide car trivialement y∈V.

Montrons désormais queV réponde à nos attentes. Soity˜∈V une valeur regulière. Alors y˜ appartient à chacun des V_i. En particulier, il existe des

˜

x₁ ∈ U₁, ...,x˜_k ∈ U_k tels que f( ˜x_i) = ˜y. Par le théoreme d'inversion locale, ces x˜_i sont uniques, donc y˜ admet k pré-images dans

k

[

i=1

U_i. De plus, par

construction, y /˜∈ f(M\

k

[

i=1

U_i), ce qui veut exactement dire que y˜ n'admet aucune pré-image dans M\

k

[

i=1

U_i. Comme

k

[

i=1

U_i

!

∪ M\

k

[

i=1

U_i

!

=M

on a que y˜admet au totalk+ 0 =k pré-images, et#f⁻¹ est bien localement constante sur V.

2.3 Le théorème fondamental de l'algèbre

Une application surprenante de ces concepts est la preuve diérentielle du théorème fondamental de l'algèbre, que l'on va énoncer :

Théorème 2.3.1 :Tout polynôme non-constant à coecients complexes admet au moins une racine dans C.

Preuve : On fait l'identicationC'R²×0par

z = (a+ib)∈C z = (a, b,0)∈R²×0

SoitP(z) =a₀+a₁z+...+a_nzⁿ, avec a_n non-nul, un polynôme de degré n.

La notationS² désignera la sphère unité dans R³ : S² =

(x₁, x₂, x₃)∈R³|x²₁+x²₂+x²₃ = 1

Considérons tout d'abord la projection stéréographique par le pôle nord (0,0,1) :

h₊ : S²\ {(0,0,1)} → R²×0⊂R³ (x₁, x₂, x₃) 7→ (_1−x^x1

3,_1−x^x2

3,0) Il s'agit d'un diéomorphisme, d'inverse :

h⁻¹₊ : R²×0 → S²\ {(0,0,1)}

z 7→ (_1+a^2a2+b²,_1+a^2b2+b²,^−1+a_1+a2²+b^+b22)

De même, introduisons la projection h− par le pôle sud (0,0,−1) ainsi que son inverse h⁻¹₋ :

h− : S²\ {(0,0,1)} → R²×0⊂R³ (x₁, x₂, x₃) 7→ (_1+x^x1

3,_1+x^x2

3,0) h⁻¹₊ : R²×0 → S²\ {(0,0,1)}

z 7→ (_1−(a^2a2+b²),_1−(a^2b2+b²),^−1−(a_1−(a2²+b^+b22)⁾)

L'application polynômiale P :R²×0→R²×0 induit l'application :

f : S² → S²

(x1, x2, x3) 7→

(h⁻¹₊ P h₊(x₁, x₂, x₃) (x₁, x₂, x₃)6= (0,0,1) (0,0,1) sinon

On se propose de montrer que f est lisse et ce même dans un voisinage de (0,0,1). Pour cela on va introduire une autre applicationQ:R²×0→R²×0 en posant

Q(z) =h−f h⁻¹₋ (z) =h−h⁻¹₊ P h₊h⁻¹₋ (z)

On remarque que h−h⁻¹₊ = (h₊h⁻¹₋ )⁻¹. Calculons alorsh−h⁻¹₊ :

h−h⁻¹₊ (z) =

2a 1+a²+b²

1 + ^−1+a_1+a2²+b^+b22

,

2b 1+a²+b²

1 + ^−1+a_1+a2²+b^+b22

,0

!

=

2a 1+a²+b² 2(a²+b²) 1+a²+b²

,

2b 1+a²+b² 2(a²+b²) 1+a²+b²

,0

!

=

a

a²+b², b a²+b²,0

= z

|z|²

= 1

¯ z

De plus, h₊h⁻¹₋ = (h−h⁻¹₊ )⁻¹ = ¹_¯z car ¹1

¯ z

=z. On a donc

Q(z) = 1 P(¹_z¯) Avec P déni comme plus haut :

P(1

¯

z) =a0+ a1

¯

z +...+ an

z¯ⁿ P(1

¯

z) = ¯a0 = +a¯1

z +...+a¯n

zⁿ 1

P(¹_z¯) = 1

¯

a₀+^a¯_z¹ +...+ ^a_z^¯nn

= zⁿ zⁿ

1

¯

a₀+^a¯_z¹ +...+ ^a_z^¯nn

= zⁿ

¯

a₀zⁿ+ ¯a₁zⁿ⁻¹+...+ ¯a_n Donc Q(z) = _a¯ ^zn

0zⁿ+ ¯a1zⁿ⁻¹+...+ ¯an. De plus, le dénominateur ne s'annulant pas en 0, on a que :

lim

[z|→0

zⁿ

¯

a0zⁿ+ ¯a1zⁿ⁻¹+...+ ¯an

= 0

Donc Qest lisse dans un voisinage de0. En particulier, commef =h⁻¹Qh−

et queh−(0,0,1) = 0, on obtient quef est lisse dans un voisinage de(0,0,1). La projection stéréographique étant un diéomorphisme surS²\ {(0,0,1)}

, les points critiques de f s'identient à ceux du polynôme dérivé P⁰(z) = a₁+ 2a₂z+...+na_nzⁿ⁻¹

et éventuellement (0,0,1). Comme P est non-constant, le polynôme dérivé P⁰ n'est pas identiquement nul, et ces points sont alors en nombre ni.

Ainsi, l'ensembleRdes valeurs regulières def sera S² privé d'un nombre ni de points. Il est évident que R est connexe. Comme toute application localement constante sur un connexe est constante sur le connexe tout entier, on a, par la proposition précédente, que l'application#f⁻¹ est constante sur R. De plus elle est non-nulle, car l'image de f n'est pas vide. Ceci revient exactement à dire f que est surjective surR (chaque valeur regulière admet au moins un antécédent).

De plus, mème les valeurs critiques ont une pré-image (sinon f(S²) ne serait pas compact, ce qui est absurde par continuité def), etf est surjective surS² tout entier. En particulier, le pôle sud(0,0,−1)admet une pré-image, et P admet au moins une racine.

Remarque 2.3.2 : on utilise ici le fait que la composition (plus particu- lièrement la conjugaison) avec un diéomorphisme ne change pas les valeurs régulières. Un simple calcul de jacobienne permet de voir le résultat. En ef- fet soit f un diéomorphisme et g lisse quelconque. Alors, le théorème de dérivation des fonctions composées nous donne :

J_f⁻¹_◦g◦f(a) =J_f⁻¹(g(f(a)))

| {z }

inversible

J_g(f(a)) J_f(a)

| {z }

inversible

et on a que cette matrice est inversible si et seulement si Jg(f(a)) l'est.

Plus généralement, même siM etN n'ont pas même dimension ceci reste vrai. Cependant à la place de regarder l'inversibilité on s'interésse au rang.

Un résultat simple d'algèbre linéaire permet de conclure. En eet soientA, B des matrices à coecients rééls quelconques telles que la multiplication AB ait un sens (par exemple A ∈M_n,m(R) et B ∈ M_m,l(R). Supposons de plus que le rang de B soit maximal (c'est à dire que rg(B) = l). Alors :

rg(AB) = rg(A)

2.4 Résultats de densité

On va maintenant énoncer un résultat quantitatif important sur les va- leurs critiques. Soit f :M →N lisse et C l'ensemble de ses points critiques.

Théorème 2.4.1 (Sard) : La mesure de Lebesgue def(C) est nulle.

Corollaire 2.4.2 (Brown) : L'ensemble des valeurs régulières de f est dense partout dans N.

On admettra ces résultats. Pour une preuve détaillée on regardera [1, Ÿ3].

2.5 Considérations topologiques

On a un cas particulier où l'ensemble des valeurs régulières s'avère avoir une topologie particulièrement sympathique.

Proposition 2.5.1 : Soit f : M → N lisse, avec M et N des variétés lisses de même dimension. On suppose de plus M compacte. Alors pout toute valeur régulièrey∈N def, il existe un voisinageV ⊂N deyqui ne contient que des valeurs régulières de f.

Preuve : On reprend la construction faite en 2.2.2. On a montré que f est, par exemple, un diéomorphismeU₁ →V₁ (oùV₁ est un voisinage dey).

En particulier pour tout x∈U₁, on a que df_x est inversible, ce qui revient à dire que pour tout x ∈ U₁, x est un point régulier. Mais ceci veut dire par dénition que pour tout y ∈ V₁, y est une valeur régulière. On prend alors V =V₁.

3 Variétés à bord

3.1 Caractérisations supplémentaires des variétés

On énonce un critére simple pour identier des variétés dans le cas pra- tique. Soit f :M →N lisse, avec M, N des variétés lisses etdim(M) = m≥ dim(N) =n. Soit y∈N une valeur régulière de f.

Proposition 3.1.1 : L'ensemble f⁻¹(y) ⊂ M est une variété lisse de dimension m−n.

Preuve : Soitx∈f⁻¹(y). L'applicationdf_x :T M_x →T N_y est bien dénie.

D'après le théorème du rang,

dim(ker(df_x)) +rg(df_x) =dim(T M_x) = m Comme

rg(df_x) = dim(Im(df_x)) = dim(T N_y) = n

on a bien que ker(df_x) est un espace vectoriel de dimension m−n.

Si M ⊂ R^k alors il existe une application linéaire L : R^k → R^m−n non- singulière sur ker(df_x). Les applications f etL induisent

F : M → N ×R^m−n ξ 7→ F(ξ) = (f(ξ), L(ξ))

dont la diérentielle n'est autre que la concaténation des diérentielles pour chaque coordonnée. De plus, comme L est linéaire,

dF_x(h) = (df_x(h), dL_x(h)) = (df_x(h), L(h))

On a quedF_xn'est pas singulière : par constructionLne l'est pas surker(df_x), et trivialementdf_xne l'est pas surT M_x\ker(df_x). Par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage U de x envoyé diéomorphiquement par F sur un voisinage V de(f(x), L(x)) = (y, L(x)). De plus,

F(f⁻¹(y)) = (f(f⁻¹(y), L(f⁻¹(y)))

= (y, L(f⁻¹(y)))

=y×R^m−n(∗)

On peut justier plus précisement le passage en(∗). Soitx∈f⁻¹(y): comme Ln'est pas singulière si on la restreint àker(df_x), le rang de Ly est maximal (i.e. la dimension de l'image estm−n). En particulier on a queL(f⁻¹(y)) = R^m−n.

AinsiF envoie diéomorphiquementf⁻¹∩U sur(y×R^m−n)∩V etf⁻¹(y) est une variété lisse de dimension m−n.

Exemple 3.1.2 : La sphère unité Sⁿ dans Rⁿ⁺¹ peut s'écrire comme f⁻¹(1), où

f : Rⁿ⁺¹ → R

(x₁, x₂, ..., x_n+1) 7→ x²₁ +x²₂+...+x²_n+1

On remarque quef est bien lisse, et que 1 en est valeur régulière. En eet la jacobienne de f en (x₁, x₂, ..., x_n+1)n'est autre que

2x₁ 2x₂ · · · 2x_n+1

Dans le cas où la variété est de cette forme, on a une expression simple de l'espace tangent. Soit f comme précédemment, et df_x : T M_x → T N_f(x) (f(x) = y). Notons M⁰ la variétéf⁻¹(y).

Proposition 3.1.3 : T M_x⁰ =ker(df_x)

Preuve : Par dénition,f envoieM⁰ sury. Ainsi la diérentielledf_x envoie l'espace tangent T M_x⁰ sur 0 , et T M_x⁰ ⊂ ker(df_x). Par le théorème du rang, on a égalité des dimensions, donc égalité des espaces.

Exemple 3.1.4 : On reprend le cas de la sphère unité de 3.1.2. Alors pour x= (x₁, x₂, ..., x_n+1),

df_x = [2x₁2x₂...2x_n+1] = 2[x₁x₂...x_n+1] Alors

T S_xⁿ =ker(df_x) =

y = (y₁, ..., y_n+1)∈Rⁿ⁺¹|2(x₁y₁+...+x_n+1y_n+1) = 0 Autrement dit,

T S_xⁿ=

y ∈Rⁿ⁺¹|hx, yi= 0 =x^⊥ ce qui coincide bien avec l'intuition qu'on pourrait en avoir.

3.2 Variétés à bord

On noteraH^m le "demi-plan supérieur" :

H^m ={(x₁, x₂, ...x_m)∈R^m|x_m ≥0}

. Le bord de H^m noté ∂H^m n'est autre que R^m−1×0.

Dénition 3.2.1 : Un ensemble X ⊂ R^k est une variété à bord (de dimension m) si tout élement x ∈X admet un voisinage diéomorphe à un ouvert de H^m.

Par analogie (on fait attention à ne pas confondre les notions car elles ne coincident pas) avec les concepts topologiques classiques, on peut faire les dénitions-propositions suivantes.

Dénition 3.2.2 : Le bord ∂X de X est l'ensemble des points envoyés sur∂H^mpar un tel diéomorphisme. Il s'agit d'une variété lisse de dimension m−1.

Remarque 3.2.3 : ∂(∂X) =∅.

Dénition 3.2.4 : L'intérieur Int(X) de X est X\∂X. Il s'agit d'une variété lisse de dimension m.

Preuve : Il s'agit simplement de faire attentions aux topologies utilisées quand on parle d'ouverts.

◦ Preuve de 3.2.2 : Soit x ∈ ∂X envoyé diéomorphiquement sur y ∈

∂H^m = R^m−1 × 0. Alors, par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage U ∩∂X de x envoyé diéomorphiquement sur un voisinage V ∩ R^m−1 ×0 de y. Les ensembles R^m−1 ×0 et R^m−1 étant diéomorphes, on a exactement que ∂X est une variété lisse de dimension m−1.

◦ Preuve de 3.2.4 : Par dénition, aucun point de Int(X) n'est envoyé sur ∂H^m, et réciproquement. Soit x ∈Int(x), envoyé sur y∈ H^m\∂H^m par un diéomorphisme ψ. La séparabilité de H^m nous assure l'existence d'un voisinage V de y (simplement une boule ouverte B(y, ) dans R^m telle que B(y, )∩∂H^m = ∅) envoyé par ψ⁻¹ sur un voisinage U de x ne contenant aucun élément de ∂X. Ceci revient à dire queInt(X)est une variété lisse de dimension dim(R^m) =m.

On a le résultat suivant (pour une preuve, on pourra se réferer à [2] ou [4]) :

Théorème 3.2.5 (Invariance du bord) : Soient M et N des variétés à bord et f : M → N un diéomorphisme. Alors F(∂M) = ∂N et F se restreint en un diéomorphisme Int(M)→Int(N).

Comme pour les variétés sans bord, on va maintenant enoncer des critères d'identication utiles.

Proposition 3.2.6 : Soit M une variété lisse sans bord et g : M → R une application lisse qui admet 0 comme valeur régulière. Alors {x|g(x)≥0}

est une variété lisse avec pour bord g⁻¹(0).

Soit désormaisf :X →N lisse, oùX est une variété à bord de dimension m et N une variété lisse de dimension n (avec la convention m > n).

Proposition 3.2.7 : Soit y ∈N une valeur régulière à la fois pour f et pour f|_∂X. Alorsf⁻¹(y)est une variété à bord de dimension m−n. De plus, on a que ∂(f⁻¹(y)) =f⁻¹(y)∩∂X.

Esquisse de la preuve : On va simplement donner les grandes idées :

•On se ramène en prenant des cartes, sans perte de généralité, au cas où f :H^m → Rⁿ, ety ∈Rⁿ régulière. On prend x∈f⁻¹(y) etx ∈∂H^m, le cas x∈Int(H^m) étant trivial.

• On construit g qui coincide avec f sur un voisinage de x. On montre que g⁻¹(y) est une variété.

• On considère la projection π : g⁻¹(y)→ R sur la dernière coordonnée.

On montre que 0 est régulière pour π. La proposition 3.2.6 nous donne alors que {x|π(x)≥0} est une variété de bordπ⁻¹(0)

•On réecrit ces quantités en fonction de g puis de f, et on conclut.

3.3 Points xes, rétractions

On s'intéresse aux propriétés des applications lisses sur des variétés à bord. Ces résultats seront alors utilisés pour prouver le théorème du point xe de Brouwer.

3.3.1 Classication des 1-variétés

Les variétés étant des objets dénis avec relativement peu de contraintes, les classier (à diéomorphisme près) s'avère être une tâche extraordinaire- ment complexe. Cependant pour les dimensions "petites" (0,1,2) il existe des résultats qui permettent de les lister de manière exhaustive : en dimension 0 par exemple, il existe une unique variété connexe, le point. Une variété non-connexe de dimension 0 n'est autre qu'un ensemble discret de points.

Bien entendu cette structure est inintéressante du point de vue diérentiel donc on ne s'y intéressera pas.

On va énoncer sans démontrer le résultat suivant :

Théorème 3.3.1.1 : Soit M une variété lisse et connexe de dimension 1. Alors M est diéomorphe à S¹ ou à un intervalle quelconque des R.

Preuve : Se réferer à [1, Annexe]

Remarque 3.3.1.2 : Si M est compacte, alors l'intervalle en question sera de la forme [a, b], avec a, b∈R.

3.3.2 Rétraction lisse sur le bord

Soit E un espace topologique quelconque etF ⊂E.

Dénition 3.3.2.1 : On appelle rétraction deE surF toute application (continue) f :E →F telle que f|_F =Id_F.

Soit désormais X une variété compacte à bord.

Théorème 3.3.2.2 : Il n'existe pas de rétraction lisse deX sur son bord.

Autrement dit, aucune application lisse f :X →∂X ne peut xer ∂X. Preuve : Raisonnons par l'absurde en supposant qu'une telle application existe. Soit y ∈ ∂X une valeur régulière de f : c'est donc aussi une valeur régulière de f|_∂X =Id_∂X. Par la proposition 3.2.7, f⁻¹(y) est une variété à bord de dimension dim(X)−dim(∂X) = 1. De plus,

∂(f⁻¹(y)) =f⁻¹(y)∩∂X ={y}

et #∂(f⁻¹(y)) = #({y}) = 1. Cependant on a aussi que f⁻¹(y)est compact (car fermé et contenu dans un compact). Le théorème de classication 3.3.1.1 nous assure alors que f⁻¹(y)est diéomorphe à une union nie, disjointe de cercles S¹ et d'intervalles de la forme [a, b]. On a que

∂(S¹) =∅ =⇒ #∂(S¹) = 0 et

∂([a, b]) ={a, b} =⇒ #

n

[

i=1

[a_i, b_i]

!

≡0[2]

Donc, par le théorème 3.2.5, le cardinal du bord de cette union est égal au cardinal du bord de f⁻¹(y)(car il y a un diéomorphisme entre les deux) et

#∂(f⁻¹(y))≡0[2]

Ce qui contredit le fait que #∂(f⁻¹(y)) = 1.

3.3.3 Théorème du point xe de Brouwer

On énonce et démontre successivement les versions faibles et fortes de ce fameux théorème.

Lemme 3.3.3.1 : Toute application lisse du disque unité (fermé) dans lui-même admet un point xe. Formellement, pour toute g : Dⁿ→ Dⁿ lisse, il existe x∈Dⁿ tel que g(x) = x.

Preuve : On raisonne par l'absurde en supposant queg n'ait pas de point xe. Alors pour tout x ∈ Dⁿ, on trace une droite entre x et g(x) (qui par hypothèse sont diérents), et on note f(x) l'intersection de cette droite et Sⁿ⁻¹ qui soit plus proche dex que de g(x). Alors f vaut l'identité sur Sⁿ⁻¹. De plus, f :Dⁿ →Sⁿ⁻¹ est une application lisse : en eet on peut eectuer la paramétrisation

f(x) =x+ h−x, x−g(x)

||x−g(x)||i+ s

1− hx, xi+hx, x−g(x)

||x−g(x)||i²

!

x−g(x)

||x−g(x)||

Ce qui contredit le théorème précédent (car ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹) et conclut la preuve.

Théorème 3.3.3.2 (Brouwer) : Toute application G:Dⁿ→Dⁿ conti- nue admet un point xe.

Preuve : On eectue un argument classique d'approximation pour se ram- mener au cas précédent. En eet pour tout > 0, le théorème de Stone- Weierstrass appliqué à chacune des fonctions coordonnées nous assure l'exis- tence d'un polynôme Q:Rⁿ→Rⁿ tel que pour tout x∈Dⁿ,

||Q(x)−G(x)||<

Pour être sûr que l'ensemble d'arrivée du polynôme approximateur soit bien Dⁿ, on renormalise Qen posant :

P(x) = Q(x) 1 + Alors on a que P :Dⁿ→Dⁿ, et

||P(x)−G(x)|| ≤ ||P(x)−Q(x)||

| {z }

<

+||Q(x)−G(x)||

| {z }

<

<2

Raisonnons par l'absurde et supposons que G n'ait pas de point xe surDⁿ. Alors l'application ||G(x)−x||, qui est continue (par continuité de G), ne s'annule jamais. Elle admet donc un minimum µ > 0sur le compactDⁿ. En choisissant convenablement et P, on a que pour tout x∈Dⁿ

||P(x)−G(x)||< µ

En particulier, ceci nous donne que pour toutx∈Dⁿ,P(x)6=x. Si ça n'était pas le cas, alors on aurait un point x₀ avecP(x₀) =x₀ tel que

||P(x₀)−G(x₀)||=||x₀−G(x₀)||< µ

ce qui est absurde carµest le minimum de l'application||G(x)−x|| surDⁿ. Au nal, on a construit une application P : Dⁿ → Dⁿ lisse mais qui n'admet pas de point xe, ce qui contredit le lemme précédent.

4 Le degré modulo 2

Dans cette partie nous allons développer les outils nécessaires à la com- préhension de ce que l'on appelera le degré modulo 2 d'une application. Il s'agit d'un invariant homotopique qui nous donne des informations sur une application lisse entre variétés. Dans la section suivante on étendra cette no- tion aux variétés dites orientables pour avoir un outil bien plus n (i.e. à valeur dans Zet pas dans {0,1}) : il s'agira du degré de Brouwer.

4.1 Homotopie

On va regarder, dans cette partie et la suivante, le rôle primordial du concept d'homotopie dans la théorie des valeurs régulières.

Dénition 4.1.1 : Soit X une partie quelconque de l'espace euclidien R^k, Y une partie quelconque de R^l.

On dit que deux applications lisses f, g : X → Y sont homotopes de manière lisse (notation : f ∼ g) si il existe une application lisse F : X × [0,1]→Y telle que

F(x,0) =f(x) et

F(x,1) =g(x)

Remarque 4.1.2 : L'aspect lisse d'une application f : X → Y entre deux parties X ⊂ R^k et Y ⊂ R^l peut être dénie comme suit : on dit que f est lisse si pour tout x ∈ X il existe un voisinage U ⊂ R^k de x et une application lisse (entre ouverts) f˜:U →R^l qui coincide avec f sur U ∩X.

On aurait pu dans la section 1 dénir une application lisse entre variétés comme une simple conséquence de cette dénition là. Cependant la dénition choisie est plus intrinsèque aux variétés car elle fait appel aux cartes. On remarquera que ces deux versions sont (bien heureusement) compatibles entre elles.

Proposition 4.1.3 : La relation d'homotopie lisse est une relation d'équi- valence.

Preuve :

•Réexivité : On a bienf ∼f, en eet il sut de prendre F(x, t) = f(x) pour tout t∈[0,1]. Comme f est lisseF l'est aussi.

•Symétrie : Supposons f ∼g, et soitF l'homotopie entre f et g. Alors G(x, t) =F(x,(1−t))

est une homotopie lisse entre g et f. En eet G(x,0) = F(x,1) = g(x), G(x,1) = F(x,0) = f(x), et G est lisse car F l'est et l'application 1−t : [0,1]→[0,1]l'est aussi.

•Transitivité : Ce point recquiert un peu plus de soin. Supposons f ∼g par une homotopie F, et g ∼ h par une homotopie G. Considérons une application lisse (dont nous admettrons l'existence) :

φ : R → R

t 7→

(0 t≤1/4 1 t≥3/4 Alors l'application

H : M ×[0,1] → N

(x, t) 7→

(F(x, φ(2t)) 0≤t≤1/2 G(x, φ(2t−1)) 1/2≤t ≤1

est une application lisse M ×[0,1] → N, et de plus c'est une homotopie entre f eth : en eet elle vaut f pour tout t∈ [0,1/8], et vaut h pour tout t ∈[7/8,1].

Lemme 4.1.4 : Soientf, g :M →N lisses entre variétés lisses de même dimension avec f ∼ g. De plus on suppose M compacte et sans bord. Soit y∈N une valeur régulière pour f et g. Alors

#f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y)[2]

Preuve : L'énoncé a bien un sens. En eet une telle valeur régulière doit bien exister, par le théorème 2.4.1 (plus précisement le corollaire 2.4.2). Soit alors F : M ×[0,1] → N l'homotopie lisse entre f et g. On va distinguer deux cas :

• Cas 1 : y est valeur régulière de F. Alors F⁻¹(y) est une variété lisse, compacte (par compacité de M et [0,1]) de dimension

dim(M) +dim([0,1])−dim(N) = 1 dont le bord est

∂(F⁻¹(y)) = F⁻¹(y)∩∂(M ×[0,1])

=F⁻¹(y)∩(M ×0∪M ×1)

= (F⁻¹(y)∩M ×0)∪(F⁻¹(y)∩M×1)

= (f⁻¹(y)×0)∪(g⁻¹(y)×1) d'où

#∂(F⁻¹(y)) = #f⁻¹(y) + #g⁻¹(y)

mais le théorème de classication 3.3.1.1 nous donne que le cardinal du bord d'une variété compacte de dimension 1 sera toujours un nombre pair. Ainsi

#f⁻¹(y) + #g⁻¹(y) = 0[2]

et

#f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y)[2]

•Cas 2 :yn'est pas valeur régulière deF. On a vu que la fonction "cardi- nal de l'image réciproque d'une valeur régulière" était localement constante sur les valeurs régulières. Ceci nous assure l'existence de voisinagesV₁, V₂ ⊂N de y tels que :

∀y⁰ ∈V₁,#f⁻¹(y⁰) = #f⁻¹(y) et

∀y⁰ ∈V₂,#g⁻¹(y⁰) = #g⁻¹(y)

On arme que l'intersection V₁∩V₂ n'est pas vide. Soit alorsz ∈V₁∩V₂ une valeur régulière de F (qui existe d'après le théorème 2.4.1). Alors on peut se rammener au cas 1 : on a (mod 2)

#f⁻¹(y) = #f⁻¹(z)≡#g⁻¹(z) = #g⁻¹(z)

Le résultat suivant peut s'avérer utile.

Proposition 4.1.5 : Soit X une variété lisse et f, g : X → S^p des applications lisses telles que pour tout x ∈ X,||f(x)− g(x)|| < 2. Alors f ∼g.

Preuve : La condition ||f(x)−g(x)||<2 veut exactement dire que pour toutx∈X,f(x)etg(x)ne sont pas antipodaux (i.e. diamétralement opposés sur le cercle par rapport à l'origine). En particulier, pour tout t ∈ [0,1], la quantité

tg(x) + (1−t)f(x)

ne s'annulera jamais : en eet cela reviendrait à ce que le segment paramétrisé par cette expression traverse l'origine, ce qui n'est possible que sif(x)etg(x) sont des points antipodaux. Ainsi l'application

F : X×[0,1] → S^p (x, t) 7→ tg(x)+(1−t)f(x)

||tg(x)+(1−t)f(x)||

est bien dénie, à valeur dansS^p, et il s'agit d'une homotopie (F(x,0) =f(x) etF(x,1) =g(x)). Commef, g, t,1−tsont lisses, alors F est lisse et on a le résultat.

Remarque 4.1.6 : Toute application lisse f : M → Rⁿ est homotope à une constante c∈Rⁿ. En eet, l'homotopie

F(x, t) =tf(x) + (1−t)c

convient. Une telle application est dite contractile. Dans ce cas le résultat est intuitivement évident : dans Rⁿ, on a "la place" pour venir se contracter en un point.

4.2 Isotopie

On reprend les conventions de la partie 4.1.

Dénition 4.2.1 : Soientf, g:X →Y des diéomorphismes. Alors f et g sont isotopes de manière lisse si il existe une homotopie lisse F entre f et g, et que pour tout t∈[0,1] xé,

x7→F(x, t) soit un diéomorphisme entre X et Y.

Lemme 4.2.2 : Soit N une variété lisse et connexe. Soit y, z ∈Int(N). Alors il existe un diéomorphisme h : N → N isotope de manière lisse à l'identité tel que h(y) = z.

Preuve : Soit tout d'abord une application lisseφ:Rⁿ→Rqui soit nulle uniquement en dehors de la boule unité, i.e. telle que

∀x∈Rⁿ,||x||<1, φ(x)>0 et

∀x∈Rⁿ,||x|| ≥1, φ(x) = 0

(on admet l'existence d'une telle application). Considérons désormais, pour tout vecteur unitairecdeSⁿ⁻¹, les équations diérentielles (pouri= 1, ..., n) :

dx_i

dt =c_iφ(x₁, ..., x_n)

Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous donne que pour tout x˜ ∈ Rⁿ, ces équations ont une unique solution x = x(t) dénie sur R tout entier qui répondent à la condition initiale x(0) = ˜x. Pour conserver le langage des champs de vecteurs, on notera ces solutions x(t) =F_t(˜x) (avecF pour ot) pour une condition initiale x˜donnée. Un peu de géométrie diérentielle nous donne que :

(i) F_t(˜x) est déni pour tout t ∈ R, x˜∈ R et dépend de ces paramétres de manière lisse.

(ii) F₀(˜x) = ˜x(par unicité)

(iii) F_s+t(˜x) = F_s ◦F_t(˜x) (autrement dit, le champ de vecteur engendré par les équations diérentielles est autonome) Observation : Ces 3 points nous donnent que les F_t sont des diéomorphismes Rⁿ → Rⁿ. De plus, en

faisant varier t, les F_t sont isotopes à l'identité par une isotopie lisse qui xe tous les points en dehors de la boule unité. On note enn que par un bon choix de c et t, le diéomorphisme Ft peut envoyer l'origine sur n'importe quel point de la boule unité.

Considérons désormais une variété connexe N. On dénit une relation déquivalence sur N comme suit : deux points x, y ∈N seront dits "isotopes"

si il existe une isotopie lisse qui envoie l'un sur l'autre. Il s'agit bien d'une relation déquivalence. Soity ∈Int(N): par dénition il existe un voisinageU dey dansN qui soit diéomorphe àRⁿ. Cependant l'observation précédente nous donne l'existence d'un voisinage U⁰ de y dans N tel que tout point dans U⁰ soit isotope à y. Ainsi les classes d'isotopie qui partitionnentN sont ouvertes : par connexité de N, il ne peut y en avoir qu'une seule, ce qui achève la preuve.

4.3 Le degré modulo 2

Nous sommes désormais en mesure d'énoncer et prouver le résultat sui- vant. Soitf :M →N lisse entre variétés lisses, avec M compacte, sans bord, et N connexe.

Théorème 4.3.1 : Soient y, z ∈N des valeurs régulières de f. Alors

#f⁻¹(y)≡#f⁻¹(z)[2]

Preuve : La démonstration de ce résultat fait appel aux deux lemmes précédents (4.1.4 (homotopie) et 4.2.2 (isotopie)). Par le lemme d'isotopie 4.2.2, il existe un diéomorphisme h : N → N isotope à l'identité tel que h(y) =z. Clairement, z est une valeur régulière de la composition h◦f. De plus,

h◦f ∼f

En eet,f ∼Id, d'oùh◦f ∼Id◦f =f. Ainsi, d'après le lemme d'homotopie 4.1.4,

#(h◦f)⁻¹(z)≡#f⁻¹(z)[2]

De plus, comme h est en particulier une bijection, (h◦f)⁻¹(z) = f⁻¹◦h⁻¹(z) = f⁻¹(y) On a donc égalité des cardinaux :

#(h◦f)⁻¹(z)≡#f⁻¹(y)

et

#f⁻¹(y)≡#f⁻¹(z)[2]

ce qui achève la preuve.

Dénition 4.3.2 : On appelle cet entier mod 2 le degré modulo 2 de f, et on le note deg2(f).

Proposition 4.3.3 :deg₂(f) ne dépend que de la classe d'homotopie de f.

Preuve : Soit g homotope à f. Le théorème 2.4.1 (Sard) nous assure l'existence d'un y ∈ N qui soit une valeur régulière à la fois pour f et pour g. Par le lemme d'homotopie,

#f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y)[2]

Mais par ce qui précède,

deg2(f)≡#f⁻¹(y)≡#g⁻¹(y)≡deg2(g)

Le degré modulo 2 ne dépend donc pas de la valeur régulière choisie, et c'est un invariant homotopique.

Remarque 4.3.4 : Une application constante c : M → M a une dié- rentielle identiquement nulle, donc elle n'admet pas de valeurs régulières. On a alors deg₂(c) = 0.

Remarque 4.3.5 : L'application identité Id : M → M est sa propre diérentielle et tous les points de M sont des valeurs régulières. De plus, deg₂(Id) = 1.

Remarque 4.3.6 : En combinant les remarques 4.3.4 et 4.3.5, on obtient que l'application identité n'est pas homotope à une constante, car leurs degrés modulo 2 sont diérents. Ceci est vrai car notre construction repose sur une variété M qui est compacte. En eet, on a vu dans la remarque 4.1.6 qu'une telle homotopie était possible dans le cas où l'application est à valeur dans Rⁿ (qui n'est pas compact !).

5 Le degré de Brouwer

Dans cette partie on va géneraliser le degré modulo 2 en développant une notion qui permet d'associer un entier à une application lisse entre varié- tés. Il s'agit d'une géneralisation de l'indice pour les courbes dans le plan.

Conformément à l'intuition, un tel entier ne changera pas si l'on "déforme continûment" l'application en question (formellement, si on regarde une ap- plication qui lui est homotope). Cet invariant puissant est un bon outil de classication, et a des applications surprenantes, en géométrie diérentielle par exemple.

5.1 Rappels su l'orientation des espaces vectoriels

Considérons E, unR-espace vectoriel de dimension nie. On dénit une relation d'équivalence sur l'ensemble des bases de E comme suit : si (e_i)_i et (e⁰_i)_i, avec i = 1, ..., n sont deux bases de E, alors elles sont équivalentes si et seulement si la matrice de passage entre ces deux bases a un déterminant positif. Cette relation partitionne l'ensemble des bases de E en deux classes d'équivalence.

On appelle orientation sur un espace vectoriel (réel) le choix d'une de ces deux classes, et on appelle espace vectoriel orienté un couple (E, e)oùE est un espace vectoriel, et e ≡ [e] est une classe d'équivalence de bases. On dit que [e] est l'orientation de E. La base canonique dans Rⁿ, par exemple, induit une orientation qu'on appelera orientation canonique sur Rⁿ.

Remarque 5.1.1 : L'ordre des vecteurs dans la base considérée joue un rôle crucial dans l'orientation déterminèe par ladite base.

Dénition 5.1.2 : Considérons (E, e) et (E⁰, e⁰) deux espaces vectoriels orientés de même dimension, et soitf :E →E⁰ un isomorphisme. On dit que f préserve l'orientation si f(e) = e⁰. La cas écheant, on dit que f renverse l'orientation.

5.2 Orientation des variétés

La question d'une orientation sur les variétés se pose directement par le biais des espaces tangents qui ont une structure naturelle d'espace vectoriel (de manière informelle, on veut faire un choix "continu" d'orientation pour chaque espace tangent de la variété).

Dénition 5.2.1 : SoitM une variété lisse de dimensionM. Une orien- tation sur M est un choix continu d'une orientation (au sens de espaces vectoriels) de l'espace tangent TxM pour tout x ∈ M. On dit qu'un choix d'orientation est continu si pour tout x∈M, il existe U voisinage de x dans M et une carteφ:U →V ⊂R^m telle que la diérentielledφpréserve l'orien- tation (au sens des espaces vectoriels) entre TyM et Tφ(y)V = R^m (muni de la base canonique) pour tout y∈U.

On peut faire une autre dénition de l'orientation, qui a l'avantage d'être universelle dans la mesure où elle ne fait appel qu'à la structure lisse de la variété.

Dénition 5.2.2 : Soit M une variété lisse de dimension m. Soient (Uα, φα), (Uβ, φβ) deux cartes sur M telles que Uα ∩Uβ 6= ∅. On considére l'application de transition τ_α,β :φ_α(U_α∩U_β)→φ_β(U_α∩U_β), avec

τ_α,β =φ_β ◦φ⁻¹_α

Il s'agit bien d'un diéomorphisme entre des ouverts de R^m. On dit que la variété M est orientable s'il existe un atlas (U_i, φ_i)_i sur M tel que toutes les applications de transition de cet atlas aient un jacobien positif en tout point : on l'appelle alors atlas positif. Un tel atlas Aest dit maximal si on ne peut pas l'agrandir en ajoutant une carte lisse, c'est à dire que si (U, φ) est une carte sur M, alors (U, φ) ∈ A. Si un atlas positif existe, alors on peut toujours construire un atlas positif maximal en considérant l'union de tous les atlas positifs.

On appelle orientation (lisse) sur la variétéM le choix d'un atlas maximal positif. La donnée d'une variété lisse et d'un atlas maximal positif constitue une variété lisse orientée. On ommetra fréquemment l'atlas lorsque l'on par- lera de variété orientée.

Dénition 5.2.3 : Soient M etN des variétés lisses orientées de même dimension, et soit f : M → N un diéomorphisme. On dit que f préserve l'orientation si pour tout x ∈ M, la diérentielle dxf : T Mx → T N_f(x) préserve l'orientation (au sens des espaces vectoriels).

5.3 Orientation du bord

SiM est une variété à bord, il convient d'être un peu plus délicats dans le traitement de T M_x si x∈∂M.

Soit doncM une m-variété compacte à bord. Soit x∈∂M, et soit(U, α) une carte locale telle que α(y) = x, pour un y donné. Un vecteur tangent w à M en x s'écrit sous la forme w =dyα(v), où v = (a1, a2, ..., am) est un vecteur deR^m. Le choix de carte n'a pas d'importance (voir [4, III.5.19]). On distingue alors trois types de vecteurs tangents à M enx :

(1) L'espace des vecteurs tangents à ∂M qui n'est autre que T(∂M)x ⊂ T M_x, c'est à dire les vecteurs w=d_yα(v) aveca_m = 0. Comme ∂M est une variété de dimensionm−1il s'agit d'un espace vectoriel de dimensionm−1. Cet hyperplan va scinder l'espace T Mx en deux.

(2) Les vecteurs "sortants" de T(∂M)_x, c'est à dire les vecteurs w = d_yα(v) aveca_m<0

(3) Les vecteurs "rentrants"T(∂M)xqui forment l'espace complémentaire à celui du dessus, c'est à dire les vecteurs w=d_yα(v) aveca_m >0

On peut faire la dénition suivante. Supposons m≥2.

Dénition 5.3.1 (Orientation du bord) : Soitx∈∂M. Soit(v1, v2, ..., vm) une base orientée positivement (i.e. de déterminant > 0) de T M_x (en tant qu'espace vectoriel de dimension m) telle que les vecteurs (v₂, ..., v_m) soient tangents à∂M et quev1 soit un vecteur "sortant". Alors l'orientation de∂M au point x est donnée par la base (v₂, ..., v_m). Cette convention du "premier vecteur sortant" sera gardée pour le reste du texte.

Remarque 5.3.2 : Sim = 1, l'orientation de ∂M au point xest donnée par un vecteur v_x de T M_x : on lui donne l'orientation +1 si le vecteur est

"sortant", et −1 si le vecteur est "rentrant".

Exemple 5.3.3 : On peut orienter la sphère unité S^m−1 ⊂ R^m en la

considérant comme le bord du disque unité :

∂(D^m) = S^m−1

La gure suivante montre comment orienter S¹ considérée comme étant le bord du disque unité D² ⊂R².

Exemple 5.3.4 : SoitM une variété lisse orientée sans bord, et soit I = [0,1]. Pour tout x ∈ M, la base (v₁, ..., v_m) donne une orientation de T M_x. Considérons la variété produit I×M. Pour toutt∈I, la base(e₁, v₁, ..., v_m) donne une orientation de

T(I×M)_(t,x) =R⊕T M_x

On a de plus que ∂(I×M) = (0×M)∪(1×M). Alors le vecteur(e₁,0)∈ T(∂I ×M)_(t,x) est "sortant" si t = 1 et "rentrant" si t = 0. Ainsi les orien- tations induites sur 0×M et 1×M sont opposées.

5.4 Degré d'une application lisse

Nous avons désormais tous les outils nécessaires pour faire la dénition suivante.

Dénition 5.4.1 : Soient M et N des n-variétés lisses, sans bord, et orientables. On supposeM compacte etN connexe. Soit égalementf :M → N une application lisse. Soit x ∈ M un point régulier tel que dfx : T Mx → T N_f(x) soit un isomorphisme entre espace vectoriels de dimension n. On dénit le signe sgn dedf_x comme étant égal à 1 si df_x préserve l'orientation et −1sinon. Alors pour toute valeur régulière y∈N, on pose :

deg(f;y) = X

x∈f⁻¹(y)

sgn(df_x)

qui est le dégré de Brouwer l'application f au point y. Comme #f⁻¹ est localement constante sur les valeurs régulières, alorsdeg(f;y)l'est aussi (voir [4, V.4.3])

Le résultat principal qui rend cet outil aussi intéressant est le suivant : deg(f;y) ne dépend pas de la valeur régulière y choisie. On parlera alors simplement de deg(f). De plus, le degré est invariant par homotopie lisse.

Pour prouver ces résultats on va énoncer et démontrer les lemmes qui suivent.

Lemme 5.4.2 : Supposons que M soit le bord d'une variété compacte et orientable X, et que M soit orientée en tant que bord de X comme on l'a vu précedemment. Soit f : M →N lisse. Si il existe F :X → N lisse telle que F|_M =f, alors deg(f;y) = 0 pour toute valeur régulière y∈N.

Preuve : On va dénommer toutes les orientations que l'on utilise. Consi- dérons donc une orientation π de X qui induise une orientation µ sur le bord M = ∂X avec les conventions de la dénition 5.3.1. Soit y une valeur régulière deF et def =F|_M. D'après la proposition 3.2.7,F⁻¹(y)est une va- riété à bord de dimension 1, c'est à dire, d'après le théorème de classication 3.3.1.1, une réunion d'arcs et de cercles. De plus les cercles sont contenus dans X\M, et les extremités des arcs sont dans M. Soit A un tel arc, et notons ∂A={a, b}. On va montrer dans un premier temps que

sgn(daf) +sgn(dbf) = 0 Pour tout x∈A, d'après la proposition 3.1.3, on a

T_xA=ker(d_xF)

où d_xF : T X_x → T N_y. De plus pour on peut restreindre cette application à n'importe quel sous-espace supplémentaire pour en faire un isomorphisme d'espaces vectoriels. Soit donc x∈A, et considérons une base

[v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)]

de T Xx telle que :

-v₁(x)∈T A_x et ||v₁(x)||= 1

-[v₁(x), ..., v_n+1(x)]détermine une orientation de X enx, que l'on notera πx.

-[d_xF(v₂(x)), ..., d_xF(v_n+1(x))]donne une orientation de N eny, que l'on notera _y.

On a alors que le champ de vecteurs{v₁(x)}_x∈A donne une orientation de A. De plus, d'après la proposition 3.2.7, on a que

T Xa=T Aa⊕T Ma

et

T X_b =T A_b⊕T M_b

donc v1(a) etv1(b) sont des vecteurs tangents à X. Sans perte de géneralité on suppose que v₁(a) soit sortant. Alorsv₁(b) est rentrant et

[v₂(a), ..., v_n+1(a)]

et

[v₂(b), ..., v_n+1(b)]

déterminent des orientations que l'on notera respectivementµ_aetµ_b. D'après la dénition 5.3.1 (la convention du premier vecteur sortant), les orientations µ_a et µ_b sont contraires. De plus, comme

d_af =d_aF|_{T Ma} et

dbf =dbF|T M_b

on a que d_af envoie l'orientationµ_a sur l'orientation_aetd_bf envoie l'orien- tation µ_b sur l'orientation _b. Cependant les orientations _a et _b sont les mêmes, alors que µa et µb sont opposées. On a donc forcément que

sgn(d_af) =−sgn(d_bf) et le résultat suit.

Notons maintenant A1, ..., Ak tous les tels arcs de F⁻¹(y). On a ∂Ai = {a_i, b_i}, et pour touti,v₁(b_i)sera sortant etv₁(a_i)sera rentrant. En sommant sur tous ces arcs, et par ce qui précède, on a

deg(f;y) =

k

X

i=1

sgn(df_ai) +

k

X

i=1

sgn(df_bi) = 0

Considérons maintenant le cas de y₀ ∈ N qui soit une valeur régulière pour f mais pas pourF. L'application deg(f;y)est constante sur un voisinageU de y₀, donc

deg(f;y₀) = deg(f;y)