1 Chapitre 3 Probabilités conditionnelles ACTIVITÉS TES1
AP1 : Rappels (Probabilités-variables aléatoires)
ENTREPRISE PAYS BRANCHE
1 Wal-Mart Stores E.U Commerce détail
2 Royal Dutch Shell Pays-Bas Pétrole 3 Exxon Mobil E.U Pétrole
4 BP Royaume-
Uni
Pétrole
5 Toyota Motor Japon Automobile
6 Japan Post Holdings Japon Services
7 Sinopec Chine Pétrole
8 State Grid Chine Électricité
9 AXA France Assurances
10 China National Petroleum
Chine Pétrole
11 Chevron E.U Pétrole
12 ING Group Pays-Bas Banque/Assurances 13 General Electric E.U Société mixte
14 Total France Pétrole
15 Bank of America Corp. E.U Banque
16 Volkswagen Allemagne Automobile
17 ConocoPhillips E.U Pétrole
18 BNP Paribas France Banque
19 Assicurazioni Generali Italie Assurances
20 Allianz Allemagne Assurances
21 AT&T E.U Télécommunications
22 Carrefour France Commerce de détail
23 Ford Motors E.U Automobile
24 ENI Italie Pétrole
25 J.P. Morgan Chase &
Co
E.U Banque
ENTREPRISE PAYS BRANCHE
26 Hewlett-Packard E.U Informatique
27 E.ON Allemagne Énergie
28 Berkshire Hathaway E.U Assurances
29 GDF-Suez France Énergie
30 Daimler Allemagne Automobile
31 NTT Japon Télécommunications
32 Samsung Corée Technologie
33 Citigroup E.U Banque
34 McKesson E.U Santé
35 Verizon
Communications
E.U Télécommunications 36 Crédit Agricole France Banque 37 Banco Santander Espagne Banque 38 General Motors E.U Automobile 39 HSBC Holdings Royaume-
Uni
Banque
40 Siemens Allemagne Technologie
41 American International Group
E.U Assurances
42 Lloyds Banking Group Royaume- Uni
Banque 43 Cardinal Health France Santé
44 Nestlé Suisse Agroalimentaire
45 CVS Care mark E.U Santé
46 Wells Fargo E.U Banque
47 Hitachi Japon Technologie
48 I.B.M E.U Informatique
49 Dexia Belgique Banque
50 Gazprom Russie Pétrole
Le tableau ci-contre, répertorie les 50 plus grandes entreprises mondiales (en termes de chiffre d’affaires) en 2010) selon le
classement Fortune Global 500.
1- Souhaitant faire un stage, un étudiant choisi au hasard l’une de ces cinquante entreprises. On note :
E l’événement « L’entreprise choisie a son siège dans un pays de l’UE » ;
F l’événement « L’entreprise choisie exerce son activité dans un secteur financier (banque ou assurance) »
Calculer p(E) et p(F).
Décrire l’événement EF et calculer p(EF).
2- L’étudiant, souhaitant travailler dans le secteur financier, choisit au hasard une entreprise exerçant son activité dans ce secteur.
a) Quelle est la probabilité que
l’entreprise choisie ait son siège dans un pays de l’EU ?
Cette dernière probabilité est appelée la probabilité de E sachant F.
Elle est notée pF(E)..
b) Comment aurait-on pu mener le calcul de pF(E) à partir de p(F) et de
p(EF). ?
c) Calculer pE(F). et comparer avecpF(E).
2 AP3 :
A- Probabilité conditionnelle avec un tableau à double entrée
A l’épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 500 candidats se présentant pour la première fois
1- . On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon : la population de référence est « tous les candidats », soit un total de 500 candidats.
La probabilité qu’un élève soit admis est : p(A)=
2- La probabilité qu’un élève ait pratiqué la conduite accompagnée et soit admis est P(AC)=
3- Le candidat choisit au hasard déclare avoir pratiqué la conduite accompagnée : ainsi, la population de référence est « les candidats qui ont pratiqué la conduite accompagné»,soit 84 candidats
Sachant qu’il a pratiqué la conduite accompagnée, la probabilité que cet élève soit admis est : pC(A) =
Définition : Pour tout événement A et B tel que p(B)0
La probabilité conditionnelle de A sachant B notée pB(A) =………
B- Déterminer des probabilités conditionnelles à partir d’un tableau d’effectifs Dans le cadre de l’exemple ci-dessus :
1. On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon.
Calculer la probabilité qu’un candidat ait pratiqué la conduite accompagnée.
2. Le candidat choisit au hasard déclare avoir été admis à l’épreuve pratique.
Calculer alors la probabilité que ce candidat ait pratiqué la conduite accompagnée.
C- Construire et utiliser un arbre pondéré :
Trois candidats A, B et C se présentent à une élection. Ils obtiennent respectivement la moitié, les trois dixièmes et le cinquième des suffrages. D’autres parts, on sait que 50% des électeurs de A, 30% des électeurs de B et 40% des électeurs de C sont des entrepreneurs.
3
On interroge au hasard une personne s’étant prononcée pour l’un des trois candidatsC) = 70
Notons respectivement
• A, B et C les événements « avoir voté pour le candidat A, B ou C »,
• H « être entrepreneur »
• 𝐻 « ne pas être entrepreneur »
1- Décrire l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré.
2- En déduire la probabilité d’interroger un entrepreneur ayant voté pour le candidat C.
3- On interroge au hasard une personne s’étant prononcée pour l’un des trois candidats.
Déterminer la probabilité que ce ne soit pas un entrepreneur
D- Applications : Exercice 1
Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations: la destination A, la destination G et la destination M. 50% des clients choisissent la destination A. 30% des clients choisissent la destination G.
20 % des clients choisissent la destination M.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l’agence répondent aune enquête de satisfaction.
Le dépouillement des réponses ace questionnaire permet de dire que 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80% des clients ayant choisi la
destination G. On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires
recueillis. On note les évènements : A : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination A »;
G : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination G »;
M : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination M » ; S : « le questionnaire est celui d’un client satisfait »;
S: « le questionnaire est celui d’un client insatisfait ».
1. Traduire les données de l’énoncé sur un arbre de probabilité.
2. Traduire par une phrase les évènements GSet MS puis calculer les probabilités
( )
P GS et P M( S).
L’enquête montre que 72% des clients de l’agence sont satisfaits.
En utilisant la formule des probabilités totales, calculerP A( S).
En déduireP SA( ), probabilité de l’évènement S sachant que l’évènement A est réalisé.
3. Le questionnaire prélevé est celui d’un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu’il ait choisi la destination G
4
Exercice 2
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que : la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ; 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.
Recopier et compléter le tableau suivant
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage.
On pourra utiliser les notations suivantes
A l’évènement « la personne appelée est un adulte » ; M l’évènement « la personne appelée a choisi la magie » ; T l’évènement « la personne appelée a choisi le théâtre » ;
N l’évènement « la personne appelée a choisi la photo numérique ».
1. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
2. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?
3. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ? 4. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
5. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
Magie Théâtre Photo numérique Total Adultes
Enfants
Total 150
5
6
Correction exo 1 :
A
G
M
S
S
S S
S
S 0,5
0,9 0,3
0,8
0,2
0,2
0,1
▪ 1- Les données de l’énoncé nous permettent d’établir que :
( ) 0,5
p A = p B( )=0,3 , et p M( )=0, 2
puisque « 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits », on aurapM( )S =0,9 .
doncpM( ) 1S = −pM( ) 1 0,9 0,1S = − = .
De même p SG( ) 0,8= donc p SG( ) 1 0,8 0,2= − =
2- Traduire :
▪ GSest l’événement :
« le questionnaire est celui d’un client satisfait ayant choisi la destination G ».
p G( =S) p G( )p SG( ) 0,3 0,8 0, 24= = .
▪ MSest l’événement :
« le questionnaire est celui d’un client satisfait ayant choisi la destination M ».
p M( =S) p M( )pM( ) 0, 2 0,9 0,18S = = .
▪ L’énoncé nous fournit :
( ) 0, 72
p S = . Les événements A, G et M forment une partition de l’univers, Donc, d’après la formule des probabilités totales, on a :
p S( )=p A( S)+p G( S)+p M( S)
Or, p S( )=0, 72, p G( S)=0, 24 et p M( S)=0,18.
Donc, p A( S)= p S( )−p G( S)−p M( S)=0, 72 0, 24 0,18− − =0,3
▪ On en déduit : ( ) ( ) 0,3 0,6 ( ) 0,5
A
p A S p S
p A
= = =
3) La probabilité que le client ait choisi la destination G sachant qu’il est satisfait est égale à :
( ) ( ) 0, 24 1
( ) 0,72 3
S
p G S p G
p S
= = =
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Correction exo 2 :
On complète le tableau en calculant successivement : Le nombre d’enfants = 150-90=60.
Le nombre d’enfants ayant choisi la magie :50% des 60 enfants, soit 30 enfants Le nombre d’adultes ayant choisi la magie : 20% des 90 adultes, soit 18 adultes Le nombre d’enfants ayant choisi la photo : 10% des 60 enfants, soit 6 enfants Les autres nombres sont obtenus par additions et soustractions
Magie Théâtre Photo numérique Total
Adultes 18 45 27 90
Enfants 30 24 6 60
Total 48 69 33 150
1- Si on note l’ensemble des 150 personnes, par application de la formule du calcul des probabilités, en cas d’équiprobabilité, on établit que la probabilité que la personne appelée soit un enfant vaut :
90 60 2
( ) 1 ( ) 1 0, 4
150 150 5
p A = −p A = − = = = .
2- Sachant que « 27 adultes ont opté pour la photo numérique », sur un total de 90 adultes, la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c’est un adulte vaut ( ) 27 3 0,3
90 10
pA N = = =
3- D’après le tableau, la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre vaut
45 3
( )
150 10 p AT = =
4- * 1ère méthode :
On lit « directement » dans le tableau que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie vaut ( ) 48 8 0,32
150 25
p M = = =
*2ème méthode : Les événementsA,A et Mforment une partition de l’univers, Donc, d’après la Formule des probabilités totales, on a :
18 30 48
( ) ( ) ( ) 0,32
150 150 150 p M = p AM + p AM = + = =
ou encore
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
90 18 60 30 18 30 48
150 90 150 60 150 150 150 0,32
A A
p M =p AM +p AM =p A p M +p A p M
= + = + = =
5- On calcule ( ) ( ) 30 /150 0,625
( ) 0,32
M
p A M p A
p M
= = = .
Le directeur du village a tort en affirmant qu’il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant.
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