EXERCICE1 3 points Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.
Barème : Une réponse exacte rapporte1point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n’enlève aucun point.
1. Voici la courbe représentative d’une fonctionf sur l’intervalle [0; 6[.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7
Sur l’intervalle [0; 6[, la fonction composéex7−→ln[f(x)] :
• est strictement croissante.
• a les mêmes variations quef.
• a les variations contraires de celles def.
2. Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=4x−2lnx.
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative degau point d’abs- cisse 1 est :
• y=2x+2.
• y=4x−2.
• y=2x+6.
3. L’ensemble des solutions de l’équation 2lnx=ln(2x+3) est :
• l’ensemble vide.
• {−1 ; 3}.
• {3}.
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
• la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20 % des adultes
• 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10 % des enfants.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Magie Théâtre Photo
numérique
Total Adultes
Enfants
Total 150
On appelle au hasard une personne qui s’est inscrite à un stage. On pourra utiliser les nota- tions suivantes :
• Al’évènement « la personne appelée est un adulte » ;
• Ml’évènement « la personne appelée a choisi la magie » ;
• Tl’évènement « la personne appelée a choisi le théâtre » ;
• Nl’évènement « la personne appelée a choisi la photo numérique ».
2. a. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
b. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c’est un adulte ?
c. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre 3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu’il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
5. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.
Quelle est la probabilité qu’une seule personne ait choisi la magie (on donnera une valeur arrondie au centième) ?
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectivesxetyexpri- mées en tonnes.
Le coût total de productionz, exprimé en milliers d’euros, est donné par la relation z=2x2−8x+y2−6y+18 avecx∈[0 ; 6] et y∈[0 ; 8] .
1. La surfaceS représentant le coût en fonction dexetydans un repère orthogonal³ O,−→
ı ,−→
,→− k´ est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.
b. Vérifier que, sous la contraintex+y=5,zpeut s’écrire sous la formez=g(x) avec g(x)=3x2−12x+13.
c. Déterminer la valeur dexpour laquellegadmet un minimum puis la valeur deyet le coût de productionzqui correspondent. On noteC le point de la surfaceS qui correspond à ce coût minimum.
d. On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2, la projection orthogonale de la surfaceS sur le plan¡
xOy¢
(« vue de dessus de la surfaceS »).
Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan¡ xOy¢
des points dont les coordonnées vérifientx+y=5.
Placer sur cette figure 2 le pointC1, projeté orthogonal du pointCsur le plan¡ xOy¢
.
ANNEXE 1 : Exercice 2 (spécialité) À rendre avec la copie Figure 1
20 40 60
10 30 50
0
y
x z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0
1 2
3 4
5 6
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
Figure 2
5 6
40-50 50-60
EXERCICE3 5 points Commun à tous les candidats
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du montant des ventes d’appareils photos numériques en France, en milliers d’euros, entre 1999 et 2004.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5 6
Montant des ventesyi 179 332 584 1 092 2 675 4 164
1. Calculer l’augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.
Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d’augmen- tation entre 1999 et 2001? Justifier.
2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose :zi=ln¡ yi
¢. a. Présenter la série statistique (xi;zi) dans un tableau en arrondissant les valeurs dezi au
centième.
b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine dezenxpar la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
c. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l’année 2008, arrondie au millier d’euros.
3. Du fait de l’apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5 027 milliers d’euros en 2005 puis une diminution de 10 % en 2006.
a. Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d’euros, pour 2006.
b. En supposant qu’après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10 % par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008? (On arrondira le montant au millier d ’euros)
EXERCICE4 7 points
Commun à tous les candidats
Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d’euros, pour la vente dexcen- taines d’appareils par la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
f(x)= −2x+¡ e2−1¢
lnx+2.
La courbe de la fonctionf est donnée sur la figure ci-dessous :
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
−1
−2
−3 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2 O
1. Vérifier par le calcul quef(1)=0 etf¡ e2¢
=0.
2. À l’aide du graphique, déterminer approximativement :
a. le nombre d’appareils que l’entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
b. les valeurs dexpour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul, 3. a. Déterminer la dérivéef′de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
b. Étudier le signe def′(x) et en déduire le sens de variation de la fonctionf.
c. En déduire le nombre d’appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l’unité).
4. Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d’une primitive def. Dé- terminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s’appuyer sur le signe def(x)).
5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d’aire) de l’aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
6. a. Démontrer que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : F(x)= −x2+¡
3−e2¢ x+¡
e2−1¢
xlnx est une primitive def.
ANNEXE : exercice 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−1
−2
−3
Courbe deF2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
Courbe deF3
