ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 5 7 janvier 2013
Exercice I.
Les formules littérales utilisées dans les calculs devront apparaître clairement, et être citées.
On pourra éventuellement donner des noms à certains évènements.
Parmi100dés cubiques,75sont équilibrés, et25sont truqués, de telle sorte que la probabilité d'obtenir 6 soit 1
2 et que les autres numéros aient la même probabilité d'apparaître.
On prend un dé au hasard parmi les 100 (dont on ne sait donc pas s'il est truqué ou non), et on le lance.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir 6?
2. On obtient 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
3. On obtient 5. Quelle est la probabilité que ce dé ne soit pas truqué ? Exercice II.
On considère la fonction f dénie par f(x) = (x−1) ln(x−1) + 1 . On donne e−2 '0.14
1. Déterminer Df. 2. Calculer f(2).
3. a. Vérier que f est continue surDf. b. Calculer lim
x→1+f(x)
c. Peut-on prolonger f par continuité en1? Préciser.
d. Calculer lim
x→+∞f(x).
4. a. Montrer que ∀x >0, f0(x) = ln(x−1) + 2. b. Etudier le signe de f0.
c. En déduire alors les variations def, ainsi que ses éventuels extrema.
5. a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur [min(f) ; +∞[.
b. Justier l'unicité de cette solution.
6. Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2. 7. Déterminer les branches innies de f.
8. En s'aidant de l'étude précédente, tracer l'allure de la courbe représentative Cf de f, dans un repère adapté.
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