• Aucun résultat trouvé

Le théorème de Burnside

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Le théorème de Burnside"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Le théorème de Burnside

2011-2012

Définition 1

On dit qu’un groupeGest d’exposant fini si ∃k∈N, ∀g∈G, gk=e.

Si Gest d’exposant fini, on appelleexposant de Gle plus petit k qui convienne, et siGn’est pas d’exposant fini, l’exposant deGest+∞.

Historique: En 1902, Burnside se demande si un groupe de type fini d’exposant fini est nécessairement fini. Ce n’est qu’en 1975 qu’on a pu répondre par la négative, par un contre-exemple.

Théorème 2

SoitGun sous-groupe deGLn(C).

AlorsGest finisi et seulement siGest d’exposant fini.

Notation– On noteraω(g) l’ordre d’un élément d’un groupe.

Démonstration. Le sens réciproque est évident, on peut considérer par exemplek=Q

g∈Gω(g).

Pour le sens direct, commençons par montrer un lemme sur les matrices nilpotentes :

Lemme 3

SoitA∈Mn(C)telle que∀k∈N, Tr(Ak) = 0. AlorsAest nilpotente.

Démonstration. Supposons queAn’est pas nilpotente. AlorsApossède des valeurs propres non nullesλ1, . . . , λr

de multiplicités respectivesn1, . . . , nr.

L’hypothèse nous donne donc (quitte à trigonaliser la matrice) :

∀k∈N, n1λk1+· · ·+nrλkr= 0.

En écrivant ces relations pourk= 1, . . . , r, on obtient que (n1, . . . , nr) est une solution non nulle du système

λ1 λ2 · · · λr

λ21 λ22 · · · λ2r ... ... ... ...

λr1 λr2 · · · λrr

x1

x2

... xr

= 0

Or le déterminant de la matrice du système est non nul car lesλi sont tous distincts par hypothèse (matrice de Vandermonde). Donc (n1, . . . , nr) = 0, ce qui est une contradiction. ♦

1

(2)

Soit (Mi)16i6mune base de Vect(G), où tous lesMi sont dans le groupe G.

Introduisons la fonction

f : G −→ Cm

A 7−→ (Tr(AMi))16i6m

.

Lemme 4

Sif(A) =f(B), alorsAB−1In est nilpotente.

De plus,f est injective.

Démonstration. Comme (Mi) est une base, et que Tr est linéaire, on a Tr(AM) = Tr(BM) pour toutM dans Vect(G), et en particulier pour toutM dansG.

SoitD=AB−1G. Alors pour toutk>1 :

Tr(Dk) = Tr AB−1Dk−1

= Tr BB−1Dk−1

= Tr Dk−1 Une récurrence immédiate nous donne donc Tr Dk

= Tr (In) =n, et donc : Tr (D−In)k= Tr

k

X

j=0

Ckj(−1)jDk−j

=n

k

X

j=0

Ckj(−1)j

=n(1−1)k

= 0

Le lemme3 nous permet d’affirmer queDIn est nilpotente.

Montrons que toute matrice deGest diagonalisable. SoitN <∞l’exposant deG. Alors le polynômeXNIn

annule toutes les matrices deG. Comme il est scindé à racines simples, les matrices deGsont diagonalisables.

La matriceDprécédente est donc diagonalisable, et doncDInaussi. Comme elle est aussi nilpotente, elle est nulle, et doncAB−1In= 0, d’oùA=B.

Doncf est injective. ♦

Étant donnée la définition def, on peut affirmer que Im(f)⊆Tm, oùT ={Tr(A)|AG}.

On a vu que toute matrice de Gest annulée par XNIn, donc les valeurs propres des matrices de G sont toutes des racinesN-ième de l’unité. Donc l’ensemble des traces possiblesT est fini.

f est donc une application injective deGdans un ensemble fini, et donc Gest nécessairement fini.

Référence: Oraux X-ENS, algèbre 2.

Remarque– Il y a plusieurs façon de démontrer le lemme3 dans le bouquin. Cependant, celle qui utilise les polynômes symétriques élémentaires et formules de Newton demande de maîtriser celles-ci, et la récurrence sur la dimension est moche (comme toute récurrence sur la dimension).

2

Références

Documents relatifs

C'est un polynôme symétrique à coecients réels en les x i , on peut donc par théorème l'écrire comme un polynôme à coecients réels en les polynôems symétriques élémentaires

De tels G k sont nécessairement symétriques, car si l'on eectue une permutation sur les indices, on ne change pas le degré total du polynôme, et comme G est lui-même

Leçon 144- Racines de polynômes.. Fonctions

Le théorème des polynômes symétriques affirme que tout polynôme symétrique s’écrit comme un unique polynôme en les polynômes symétriques élémentaires s

Polynômes symétriques extensions de corps.. Extensions de corps

On obtient donc n racines distinctes car la restriction de cos dans cet intervalle est injective.. Sommes et produits

Antoine Chambert-Loir et Stéfane Fermigier 2011-2012. Soit ξ

[r]