Question d'examen (École navale)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ERONO

Question d’examen (École navale)

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 20 (1861), p. 391-393

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QUESTION D'EXAMEN (ÉCOLE NAVALE).

Quel est le plus grand quadrilatère que Von puisse former avec quatre cotés donnés a, b, c, dp

Soit ABCD l'un des quadrilatères que Ton peut former en prenant pour côtés consécutifs <2, i , c, d. Supposons AB = a, BC = &, CD = c, DA = d. En nommant S Taire de ce quadrilatère, on aura

i

(i) S = — (adsin A -h ccsmC).

2

E n outre

BD2 =: b2 - h c2 — 2 bc cos C , et BD2 = a2 H- d1 — 2 Ö^COS A,

donc

a2 -H d2 — 2 ad cos A = b7 -f- c2 — 2 6c cos C ;

d'où

2 ad cos A — 2 bc cos C = à1 4- d2 — b* — c2; (be\ n a> + #—b*

COS A — ( — ; ) COS C = ;

\adj i.ad Si Ton pose

bc _ a2 -f- d2 — £2 — c2

— = h et

l'équation précédente deviendra

(2) cos À — ÀcosC = /-.

D ' a u t r e p a r t , l'équation (i) d o n n e (3) sin A •+• h sin C = - ™2 S

ad

Elevant au carré les équations (2) et (3) et additionnant, il vient

/ C2

— nk (cos A cos C — sin A sin C) = JF -f- -—>

' a? d2

ou

i -f- K1 — 2 A cos ( A +-C) = X2 -+- — : ; et par conséquent

(4) s =

4 V

L'équation (4) montre que la plus grande valeur de S correpond à

cos(A-f-C) = — 1, égalité qui donne

A + C = 1800.

Il en faut conclure que le plus grand des quadrilatères

que Pon puisse former avec quatre cotés donnés a, 6, c, rf, est le quadrilatère inscriptible dans un cercle.

En remplaçant cos (A-f-C) par — i , l'équation (4) devient

ad /-— ad S = — v ( ^ - f - i ) — k* -=. —

2 2

ou, parce que h = — et /r =. — ^{— b ' — c2}

ad*J(2bc-h%ad-ï-a²-i-d²— b⁷ — c⁷) {ibc-\-iad— a²—'d²

2 2. ad

équation qui donne successivement

S = y *J(a-\-d-t-b—- c) (a-t-d+c--b)(b-\-c-ha—d)(b-i-c-}-d—a).

Si Ton désigne par ip la somme des quatre droites don- nées, on aura pour l'expression du maximum de S, s/(p-a) (p-b) (p-c)(p-d). G.