Sur les fractions décimales périodiques

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

W. L OOF

Sur les fractions décimales périodiques

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 14 (1855), p. 115-117

<

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(2)

( " 5 )

SUR LES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES,

D'APRÈS M. W . LOOF, Directeur du Gymnase ducal à Gotha.

(Archives de Grunert, p . 5/f< 1851.)

Si la fraeLion - donne la période P de k chiffres, on a

io*— i = nV\

donc pour trouver le nombre ou les nombres n qui donnent une période de k chiffres, il faut chercher tous les divi- seurs de io'—i oude = n i . . . (/îfois le chiffre i).

Dans le tableau suivant, n indique le dénominateur de

9

la fraction - et k le nombre correspondant de chiffres de la période.

A I '>

3 4 5

6

*

8 9

IO 11

r»

i3

'4

i5 16

3

9

.

I I .

3

7

.

IOI .

4. ^ i .

7

. . 3 .

:> 39.4649.

73.i37.

333667.

9°9

r

-

21649.513239.

99° *•

53.79.265.371653

909091.

3i.2906161.

1 T.588a353.

(3)

k

'7

18

*9

2 0 21 2 2 23

24

25 26

2

7

28

2

9 3o

3i 32

33

34 35 36 37-40 4i 42

43 44 45 46 47 48 49

5o

5i

n inconnu (*).

19.52579.

inconnu (**).

354i•27961.

43.1933.10838689.

23.4093.8779.

11111.111111 (?).

99990001.

100001000010000i00001 (?).

8 59. I O 5 8 3 I 3 O 4 9 .

757.440334654777631(?)>

29.281.121499449.

3191.x.

211.241.2161.

2791.398105020104303515267327521 (?).

353.449•641•14°9•69857.

67.1344628210113298373 (?).

io3.4oi3.2i993833369(?).

71.12676184367477604353521 (?).

999999

0 0 0 0 0 1

(

?

)-

inconnus.

83.i23x.or.

127.2689.459691.

173.0:.

89.1112470797641561909 (?).

299700000299700299999703 (?).

47.139.2531.54979718449191 (?).

inconnu.

99999999

O O O O O O O I

(

?

)-

inconnu.

251.5051.717061202105779291 (?).

613.146965889217112709610099495907 (?).

(*) Tous les nombres premiers de 1 à 23oooo ont été essayés sans suc- cès.

(**) Les nombres premiers de 1 a 100000 essayés sans succès.

(4)

52

53

54 55 56 57 58 59 6o

Les (?

mier ou

n

52i•1900381976777332243781 (?).

107.*.

999999999

0 0 0 0 0 0 0 0 1

(

?

) •

l32I.X.

7841 «I27522ooio2oi5o5o376i (?).

inconnu.

5

9

.i54o832o4

9

3o66255778i2oi84

9

(?).

inconnu.

61.i655736049181983604901641.

) indiquent qu'on ignore si le n o m b r e est pre-

non.