Suites et fonctions en Python – Corrigés

Suites et fonctions en Python – Corrigés

Exemple 1.

1. u₁ = 1

5u₀+ 1 3⁰ = 1

5 ×8 + 1 = 13

5 etu₂ = 1

5u₁+ 1 3¹ = 1

5× 13 5 + 1

3 = 64 75

2. a. Lorsqu’on exécute terme(2), la variable u prend initialement la valeur 8. Ensuite, il n’y a qu’un seul tour de bouclefor(carivarie de 1 et 2−1 = 1 donci ne prend que la valeur 1) et uprend la valeur 1

5×8 + 1 3¹ = 29

15. On n’obtient donc pas la valeuru₂ comme attendu.

b. La fonction proposée ne convient pas en raison de l’intervalle d’itérationrange(1,n).

Lorsqu’on calcule la valeur de u_n, on va d’abord calculer u₁ grâce à la formule de récurrence u₁ = 1

5u+ 1

3⁰. Ici, il faut donc que i soit égal à 0. Ensuite, on continue ainsi jusqu’au calcul de u_n qui se fait à l’aide de la formule u_n = 1

5 ×u_n

−1 + 1 3ⁿ⁻¹. Ici, la valeur dei est n−1. Ainsi, il faut itérer dans la boucle forsur des valeurs de i entre 0 et n−1.

On obtient la fonction modifiée suivante : def terme(n):

u=8

for i in range(0,n):

u=1/5*u+1/(3**i) return(u)

ou de façon équivalente

def terme(n):

u=8

for i in range(n):

u=1/5*u+1/(3**i) return(u)

Remarque. On constate donc que la convention en Python qui fait que range(a,b) renvoie les entiers entre a et b-1est en fait parfaitement adaptée au calcul des termes d’une suite.

Exemple 2

def somme(n):

U=1 S=1 K=0

while (K<n-1):

U=2*U-K+1 S=S+U K=K+1 return(S)

Explication. La variable U prend les valeurs successives de la suite (u_n), la variable S prend les valeurs successives de la somme des premiers termes de (u_n) et la variableKprend les valeurs successives d’un entier de 0 à n−1. En effet, si on note, pour tout k ∈N, S_k la somme des k premiers termes de la suite (u_n) alors

• à l’entrée de la boucle, la variableK à une valeur k;

• on affecte à U la valeur de u_k+1 = 2u_k−k+ 1 ;

• on affecte à S la valeur S_k+u_k+1 =S_k+1;

• on affecte à K la valeur k+ 1.

On arrête la boucle whilelorsqu’on a obtenuS_n =u₀+u₁+· · ·+u_n

−1 i.e. lorsque la valeur K en sortie de boucle vautn−1 i.e. lorsque la valeur de K en entrée de boucle vaut n−2. Ceci se traduit par le fait qu’on arrête les itérations quandK vautn−1 pour la première fois i.e. on continue tant que la valeur de K en entrée de boucle est strictement inférieur à n−1.

Exemple 3. En s’inspirant de ce qui a été vu dans l’exercice 1, on obtient la fonction suivante : def terme3(n):

v=1

for i in range(n):

v=9/(6-v) return(v)

Exemple 4. Dans cet exercice, on aurait envie de considérer la fonction suivante : def terme4(n):

u=2 v=10

for i in range(n):

u=(2*u+v)/3 v=(u+3*v)/4 return(u,v)

Cependant, cette fonction ne convient pas car, dans la boucle for, lors du calcul de v, on a besoin de la valeur deutelle qu’elle était à l’entrée de la boucle. Or, cette valeur a été modifiée lors de l’affectation précédente. Ainsi, si u etv ont pour valeurs respectives u_k et v_k à l’entrée de boucle alors l’affectation u=(2*u+v)/3 donnera la valeur 2u_n+v_n

3 = u_n+1 à u (ce qui est bien ce qu’on veut) mais, commeu a été modifiée, l’affectationv=(u+3*v)/4 donnera la valeur

2u_n+1+v_n

4 àv (e qui n’est pas ce qu’on veut).

Pour contourner ce problème, on va utiliser une variable supplémentaire pour conserver en mémoire la valeur de u à l’entrée de la boucle.

def terme4(n):

u=2 v=10

for i in range(n):

w=u

u=(2*w+v)/3 v=(w+3*v)/4 return(u,v)

Ainsi, la variable w stocke la valeur de u à l’entrée de la boucle et n’est pas modifiée lors d’une itération donc on peut l’utiliser pour calculer la nouvelle valeur de uet la nouvelle valeur de v.

Remarque. L’affectation u=(2*w+v)/3 pourrait tout aussi bien être u=(2*u+v)/3 puisqu’à cet endroit-là de l’itération la variable u n’a pas encore été modifiée.