Cours et méthodes

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Utiliser la division euclidienne

Définition

On considère un entier naturel

a

et un entier naturel non nul

b.

Effectuer la diiision euclidienne de

a

par

b

, c'est trouier les deux entiers naturels

q

et

r

tels que :

a

=

b

×

q



r

aiec

r  b

où

q

est le quotient (entier) et

r

le reste de la diiision euclidienne.

»

^{Remarque :} Le couple (

q

;

r

) est unique.

Effectuer une division euclidienne



Énoncé

• Effectue la diiision euclidienne de 83 par 82.

• 273 = 6 × 45  3 : quelle(s) diiision(s) euclidienne(s) cette égalité

représente-t-elle ?

Correction

• On peut donc écrire :

183 = 12 × 15 + 3 avec 3



12.

• 3



45 mais 3



6 donc l'égalité représente la diiision euclidienne de 273 par 45 mais ne peut pas représenter celle de 273 par 6.

Définitions

Quand le reste de la diiision euclidienne est nul, on dit que :

b

divise

a

ou que

b

est un diviseur de

a ou que a

est un multiple de

b

ou que

a

est divisible par

b.

»

Exemples : 8 274 = 49 × 26 + 0. 49 et 26 diiisent 8 274. On dit alors que :

• 1 274 est divisible par 49 (et par 26) ;

• 49 est un diviseur de 1 274 (et 26 aussi) ;

• 1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26).

Règles de divisibilité

• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 3.

• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses « chiffres *»

est un multiple de .

* Il s'agit des nombres représentés par chacun des chiffres

Utiliser les nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diiiseurs : 8 et lui-même.

»

Remarque : 8 n'est pas premier

»

Exemple

Voici la liste des 80 premiers nombres premiers : 2 ; ; 5 ; 7 ; 88 ; 8 ; 87 ; 89 ; 2 ; 29.

Propriété

Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique sous la forme d'un produit de nombres premiers.

NOMBRESENTIERS • A5

b q a r

12 1 3 8 1

6 5 3

Cours et méthodes

72

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Effectuer une décomposition en aacteurs premiers



Énoncé

Décompose en produit de facteurs premiers le nombre 4630.

Correction

4 630 est pair, donc diiisible par 2.

4630 ÷ 2 = 2 40 ; nombre pair, diiisible par 2 2 40 ÷ 2 = 8870 ; nombre pair, diiisible par 2 8870 ÷ 2 = 535 ; fni par 5, diiisible par 5 535 ÷ 5 = 887 ; 8 + 8 + 7 = 9, diiisible par 887 ÷ 3 = 9 ; + 9 = 82, diiisible par 9 ÷ 3 = 13 ; nombre premier

La décomposition de 4 630 est donc : 4 630 = 2 × 3² × 5 × 13

Définition

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont 8 pour seul diiiseur commun.

Rendre une araction irréductible



^Énoncé

Rends la fraction 230

443 irréductible.

Correction

On commence par décomposer 230 et 443 en facteurs premiers.

230 = 2 × 7 × 5 et 443 = 2⁶ × 7 230

443= 2×5×7 2⁶×7 = 5

2 = 5

3qui est irréductible car 5 et 3 n'ont que 8 comme diiiseur commun.

NOMBRESENTIERS • A5 73