Énoncé Huit cents poules pondent en moyenne huit cents oeufs en huit jours.
Combien d'oeufs pondent quatre cents poules en quatre jours ?
Solution
Deux cents oeufs ; en effet : si huit cents poules pondent en moyenne huit cents oeufs en huit jours, quatre cents poules pondent quatre cents oeufs en huit jours.
Donc quatre cents poules pondent deux cents oeufs en quatre jours.
ENIGMES DE CALCUL
Les deux verres pleins À l'hotel
Le ver et l'encyclopédie Le dépensier
Les deux pesées
Les sacs et la pesée unique Les oeufs des poules Les cyclistes
Le jeu à trois
Le tournoi de tennis Le nénuphar de l'étang
La mouche entre les trains La bouteille et le bouchon Les chaussettes
Le problème des âges Où est le père ? L'âge des trois filles
Les participants au pique-nique Chaînettes et maillons
Peindre la maison
Les poulets et les lapins
Énoncé
Comment couper un cake en huit morceaux en trois coups de couteau ?
Solution Deux solutions :
• Une coupe doit être faite dans le sens de l'épaisseur.
• On coupe une première fois à moitié, ensuite on superpose les 2 moitiés. On coupe une seconde fois, nous avons 4 tranches. On superpose une dernière fois les 4 tranches et au 3ème coup nous avons 8 tranches de cake identiques.
Énoncé Quatre allumettes sont disposées en croix :
Comment obtenir un carre en ne bougeant qu'une seule allumette ?
Indices
Solution
Il ne fallait pas prendre carré dans son sens géométrique mais arithmétique :
4 est le carré de 2.
Soient deux verres 1 et 2, remplis respectivement des liquides A et B. Les volumes sont identiques. On prend une cuillère du liquide B que l'on verse dans le verre 1. Après avoir remué, on verse dans le verre 2 une cuillère du mélange.
Y a-t-il alors plus de B dans le verre 1 ou de A dans le verre 2 ? Solution
En fait, les concentrations sont identiques. Puisque les volumes finaux sont égaux, tout volume de B trouvé dans 1 doit correspondre à un volume identique de A déversé dans 2.
On peut faire une démonstration plus précise.
Soit Z le volume d'un verre. Au debut, les verres sont ainsi :
| Z | | 0 | liquide A | 0 | | Z | liquide B +--+--+ +--+--+ | | --+-- --+-- Verre 1 : Z unités de liquide A et 0 unité de liquide B.
Verre 2 : 0 unité de liquide A et Z unités de liquide B.
Soit X le volume de la cuillère. En la plongeant dans le verre 1, on prend donc X unités de liquide A et 0 unité de liquide B. On peut représenter ce mouvement par la flèche suivante :
X liquide A 0 liquide B --->
À la suite de ce mouvement, les volumes se répartissent ainsi : Verre 1 : Z-X unités de liquide A et 0 unité de liquide B.
Verre 2 : X unités de liquide A et Z unités de liquide B.
| Z-X | | X | liquide A | 0 | | Z | liquide B +--+--+ +--+--+ | | --+-- --+--
Vient ensuite la seconde cuillèrée. Le volume total pris est encore de X unités. Appelons Y le volume de liquide A dans cette cuillère. Donc cette dernière contient Y unité de liquide A et X-Y unité de liquide B.
Y X-Y <---
À la suite de ce dernier mouvement, les volumes se répartissent ainsi : Verre 1 : Z-X+Y unités de liquide A et X-Y unité de liquide B.
Verre 2 : X-Y unités de liquide A et Z-(X-Y) =Z-X+Y unités de liquide B.
|Z-X+Y| | X-Y | liquide A | X-Y | |Z-X+Y| liquide B +--+--+ +--+--+ | | --+-- --+-- La quantité de A dans le verre 1 est donc égale à celle de B dans 2, et inversement.
Trois hommes vont partager une chambre à 30 euros la nuit. Chacun donne donc 10 euros. Mais comme la réceptionniste les trouve sympas, elle baisse le prix à 25 euros, et leur rend 5 euros.
Seulement, ils sont trois, donc elle rend à chacun 1 euro, et eux sympa à leur tour, lui laisse en pourboire les deux euros qui restent. Chacun a donc payé 9 euros (3*9=27), la fille en a recuperé 2. 27+2=29 : où est passé le trentième euro ?
Solution
Le problème est dans la somme de fin : 27+2=29 À la fin des échanges, la répartition est la suivante :
• Hotel : 27 euros dont :
o Patron de l'hotel : 25 euros o Réceptionniste : 2 euros
• Gars1 : 1 euro
• Gars2 : 1 euro
• Gars3 : 1 euro Rien n'est perdu.
Les 2 euros de la somme 27+2=29 font déjà partie des 27.
27 (dont 2[récep] + 25[patron]) + 3[clients] = 30[total]
ou encore :
30[total] - 3[clients] - 2[récep] = 25[patron]
Tout va bien !
Énoncé
Une encyclopédie en dix volumes est rangée dans l'ordre sur une planche de bibliothèque. Chaque volume est épais de 4,5 cm pour les feuilles et de deux fois 0,25 cm pour la couverture. Un vers né en page 1 du volume 1 se nourrit en traversant perpendiculairement et en ligne droite la collection complète et meurt à la dernière page du dixième volume.
Quelle distance aura-t-il parcourue pendant son existance ?
Solution Réponse : 40,5 cm et non pas 49,5.
En effet, la 1ère page du volume 1 et la dernière du volume 10 ne sont pas aux extrémités de la collection :
Énoncé
Une personne a dépensé tout ce qu'elle avait en poche dans cinq magasins. Dans chacun elle a dépensé dix euros de plus que la moitié de ce qu'elle avait en entrant. Combien avait-elle en poche au départ ?
Solution Posons :
x = ce qu'elle a en entrant dans un magasin y = ce qu'elle a en sortant du même magasin Ce quelle dépense est donc x/2 + 10 On peut écrire :
x - ( x/2 + 10 ) = y x - x/2 - 10 = y x/2 - 10 = y x/2 = y + 10 x = 2 × ( y + 10 )
Cette équation pourra être appliquée pour chaque magasin.
Après le dernier magasin, il ne lui reste plus rien ; on peut donc poser y=0 : 2 × ( 0 + 10 ) = 20
Elle avait donc 20 euros en entrant dans le dernier magasin.
Même calcul pour les précédents : 2 × ( 20 + 10 ) = 60
2 × ( 60 + 10 ) = 140 2 × ( 140 + 10 ) = 300 2 × ( 300 + 10 ) = 620
Elle avait donc 620 euros au départ.
Énoncé
Comment déterminer une fausse pièce d'or parmi neuf sanchant que celle-ci est plus légère. Nous disposons pour cela d'une simple balance de Roberval (possibilité de comparer la masse de deux ensembles de pièces posées sur deux plateaux). Nous n'avons droit qu'à deux pesées successives.
Nom des pièces : A B C D E F G H I
Indices
Solution Pesée 1 : ABC / DEF
• si même poids, pesée 2 : G/H
selon résultat, on peut choisir entre GHI
• si ABC < DEF, pesée 2 : ABC
selon résultat, on peut choisir entre ABC
• sinon (ABC > DEF), pesée 2 : DEF selon résultat, on peut choisir entre DEF
Énoncé
Nous disposons de 10 sacs de n pièces d'or (n>10) pesant chacune 1g. Un de ses sacs ne comporte que de fausses pièces qui ont pour caractéristique de peser 2g. Nous disposons d'une balance affichant la masse de ce qui est posé sur son plateau. Comment faire alors pour déterminer, en une seule pesée, le sac qui contient les fausses pièces ?
Solution On pose sur le plateau :
1 pièce du sac 1, 2 pièces du sac 2, 3 pièces du sac 3, ...
10 pièces du sac 10.
Si toutes les pièces étaient bonnes, le total ferait 55g.
S'il fait 56g : c'est le sac 1 S'il fait 57g : c'est le sac 2 S'il fait 58g : c'est le sac 3 ...
S'il fait 65g : c'est le sac 10
Énoncé
Pierre et Paul veulent comparer leurs vitesse à bicyclette bien qu'ils ne possèdent qu'un seul engin. Aussi, sur une route bien plate et pavée de bornes kilomètriques, Pierre pédale du kilomètre un au kilomètre douze ; Paul étant derrière pour chronomètrer. Puis, du kilomètre douze au kilomètre vingt-quatre, Paul pédale, Pierre étant derrière pour chronomètrer.
Pierre gagne haut la main. N'aurait-on pas pu prévoir ce resultat ?
Solution
Du km 1 au km 12, il y a 11 km. Du km 12 au km 24, il y a 12 km. Pierre a donc fait un trajet plus court.
Énoncé
Pierre, Paul et Jacques terminent un jeu qui s'est déroulé en cinq manches. Ils ont joué avec des pièces de 1 euro et n'ont donc eu, au cours de la partie, que des sommes entières.
À chaque manche, le perdant a doublé les avoirs des deux autres. À la fin de la partie, Pierre a 8 euros, Paul 9 et Jacques 10. Combien avait chacun au début ?
Solution
Comme 9 est impair, seul Paul a pu perdre la dernière partie. Avant celle-ci leurs avoirs étaient : 4 / 18 / 5
Même méthode pour les précédentes : Jacques perd : 2 / 9 / 16
Paul perd : 1 / 18 / 8 Pierre perd : 14 / 9 / 4 Paul perd : 7 / 18 / 2
La mouche entre les trains
Énoncé
Deux villes distantes de 1 000 km sont reliées par une double voie de chemin de fer. À un moment donné, deux trains roulant à 100 km/h quittent chacune des deux villes en direction de l'autre.
Une mouche dont la vitessse est de 150 km/h commence alors un aller-retour ininterrompu entre ces deux trains. Quelle distance aura parcouru la mouche moment où les deux trains se croisent ?
Solution Énoncé
Un tournoi de tennis entre n joueurs est organisé. Le principe est l'élimination directe : un joueur qui a perdu un match ne peut participer à d'autres matches.
Quel est le nombre de parties jouées ( finale comprise ) en fonction du nombre de joueurs ?
Solution
Comme chaque match élimine un joueur et qu'il n'en reste qu'un, le nombre de parties est n-1.
Énoncé
Chaque jour, un nénuphar double de surface dans un étang. Il lui faut 100 jours pour recouvrir cet étang. Combien faudra-t-il de temps à deux nénuphars pour le couvrir ?
Solution 99 jours
Les trains se croiseront après 5 heures. La mouche aura donc volé 5 × 150 = 750 km.
La bouteille et le bouchon
Une bouteille et son bouchon valent 11 euros. La bouteille en vaut 10 de plus que le bouchon. Combien vaut la bouteille et combien le bouchon ?
Solution bouchon = 0,5 euro
bouteille = 10,5 euros
Les chaussettes
Énoncé
Marc se lève de très bonne heure tous les matins. Marc possède des chaussettes blanches, des noires et des bleues ; seulement comme il n'est pas très organisé, il les range en vrac dans un tiroir sans les mettre par paires.
Or ce matin, il n'y a plus de lumière dans sa maison et il ne parvient pas à distinguer les couleurs. Quel nombre minimum de chaussettes lui faut-il sortir pour être sûr qu'il en a bien deux de la même couleur ?
Solution
Il doit en prendre 4 car la 4ème est forcément de la même couleur qu'une des 3 premières.
Le problème des âges
Énoncé
J'ai quatre fois l'âge que vous aviez, quand j'avais l'âge que vous avez. J'ai quarante ans, quel âge avez- vous ?
Solution État des lieux :
Âge Avant Mantenant
Moi x 40
Vous y z
Que peut-on dire ?
• 40 = 4 * y car "J'ai quatre fois l'âge que vous aviez"
donc : y = 10
Âge Avant Mantenant
Moi x 40
Vous 10 z
•
• z = x car "j'avais l'âge que vous avez"
Âge Avant Mantenant
Moi x 40
Vous 10 x
•
• L'écart entre les âges est le même quelque soit l'époque, donc : x - 40 = 10 - x
2 * x = 50 x = 25
Vous avez donc 25 ans ...
Où est le père ?
Énoncé
Une mère est 21 ans plus agée que son fils. Dans 6 ans, son fils sera 5 fois plus jeune que sa mère.
Question : Où se trouve le père ?
Solution Soit x l'age en années du fil et soit y l'age en années de la mère.
Une mère est 21 ans plus agée que son fils.
On peut alors poser : x + 21 = y
Dans 6 ans, son fils sera 5 fois plus jeune que sa mère.
On peut alors poser : 5 × (x+6) = y+6 De cette équation on tire :
5x + 30 = y + 6 y = 5x + 24
On remplace y dans la première équation : x + 21 = 5x + 24
-3 = 4x x = -3/4 an x = -9 mois
Le père est donc sur la mère ! ;-)
L'âge des trois filles
Énoncé Une personne demande à une autre l'âge de ses trois filles :
• La multiplication de leur trois âges est égale à 36.
• Je ne peux pas savoir quel est leur âge!
• La somme de leurs trois âges est égale au numéro de la maison qui est en face de nous.
L'homme regarde le numéro et continue :
• Je ne vois toujours pas.
• L'ainée est blonde.
• Ah oui, maintenant je sais !
Comment a-t-il fait ? Quelle est l'âge des trois filles ?
Solution
Voici les facteurs premiers de 36 : 3×3×2×2. Donc les combinaisons envisagables sont :
• 36, 1, 1 => somme=38
• 18, 2, 1 => somme=21
• 12, 3, 1 => somme=16
• 9, 4, 1 => somme=14
• 9, 2, 2 => somme=13
• 6, 6, 1 => somme=13
• 6, 3, 2 => somme=11
• 4, 3, 3 => somme=10
Contrairement à nous, l'homme connait le numéro de la maison d'en face. Par exemple, si ce numéro était 38 ou 11, il annoncerait tout de suite la solution ; s'il ne la trouve pas, c'est qu'il est sur le seul cas litigieux : 13. Donc les âges sont soit (6,6,1) soit (9,2,2).
Parmi ces deux configurations, seule (9,2,2) comporte une seule ainée, l'autre comportant des jumelles ainées. Voici donc l'âge des trois filles.
Les participants au pique-nique
Énoncé
Un homme fait une fête avec des amis, ils partent faire un pique-nique à l'extérieur de la ville en char.
Au départ, chaque char transporte le même nombre de passagers. 10 des chars deviennent inutilisables à mi-chemin, si bien que chacun des chars restant doivent prendre une personne de plus à son bord.
Au retour, 15 autres chars tombent en panne, et il faut à nouveau répartir équitablement les passagers entre les autres véhicules, si bien qu'à l'arrivée, chaque char contient 3 personnes de plus qu'au départ.
Combien y avait-il de chars au départ pour ce pique-nique et combien y avait-il de participants ?
Solution Posons x le nombre de participants.
Posons y le nombre initial de chars.
Le nombre initial de personnes par char est donc x/y 1ère étape : 10 chars tombent en panne.
Le nombre de char devient y-10
Nombre de personnes par char est maintenant de x/(y-10)
Comme on sait que le nombre de personnes par char a augmenté de 1, on peut dire que : x / (y-10) = x/y + 1
x = ( y - 10 )( x/y + 1 ) x = x + y - 10x/y - 10 0 = y - 10x/y - 10 10x/y = y - 10
x = ( y² - 10y ) / 10 équation (1)
2ème étape : 15 chars tombent en panne.
Le nombre de char devient y-25
Nombre de personnes par char est maintenant de x/(y-25)
Comme on sait que le nombre de personnes par char a augmenté de 3 par rapport au début, on peut dire que :
x/(y-25) = x/y + 3 x = ( y - 25 )( x/y + 3 ) x = x + 3y - 15x/y - 75 0 = 3y - 25x/y - 75 25x/y = 3y - 75
x = ( 3y² - 75 y ) / 25 équation (2) Équations (1) et (2) :
( y² - 10y ) / 10 = ( 3y² - 75 y ) / 25 y/10 - 1 = 3y/25 - 3
2 = ( 3/25 - 1/10 ) y 2y/100 = 2
y = 100 Équation (1) :
x = ( 100² - 10*100 ) / 10 x = 900
Donc le nombre de participants est de 900 et le nombre initial de chars de 100.
Vérifions :
Début : 100 chars, 900 personnes : 9 personnes par char Aller : 90 chars, 900 personnes : 10 personnes par char
Retour : 75 chars, 900 personnes : 12 personnes par char
Chaînettes et maillons
Énoncé On possède 5 petites chaînettes de 3 maillons en or chacune.
Comment construire une chaîne de 15 maillons à moinde coût, sachant que couper un maillon et le ressouder coûte 10 euros ?
Solution
On coupe les 3 maillons de la même chaînette et on joint les 4 autres avec.
Peindre la maison
Énoncé
Hector peint une maison en 6 jours ; sa collègue Clara, elle, peut faire le même travail en 3 jours seulement. Combien de temps faudrait-il pour repeindre cette maison s'ils unissaient leurs forces ?
Solution
2 jours, car en 2 jours : Hector peint 1/3 de la maison, Clara peint 2/3 de la maison.
Les poulets et les lapins
Énoncé
Pierre élève des poulets et des lapins. Quand il compte les têtes, il en trouve 8. Quand il compte les pattes, il en trouve 28.
Combien a-t'il de lapin(s) ? de poulet(s) ?
Solution Soit x le nombre de poulets et y le nombre de lapins.
Le nombre de tête est donc x + y et vaut 8.
Le nombre de pattes est donc 2x + 4y et vaut 28.
Posons donc : (1) x + y = 8 (2) 2x + 4y = 28
L'égalité (1) nous donne : x = 8 - y (3)
En remplaçant x par cette valeur dans (2) nous obtenons : 2( 8-y ) + 4y = 28
16 - 2y + 4y = 28 2y = 12
y = 6
De l'égalité (3) nous obtenons : x = 2
Pierre a donc 2 poulets et 6 lapins.
