Devoir Maison n

ECE 1 - Année 2016-2017 Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com

Devoir Maison n

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Solution

Exercice 1. La suite (uⁿ)est définie par

u0 = 1, u1 = 0 et 9un+2 = 12un+1−4uⁿ.

C’est une suite à récurrence linéaire d’ordre 2. Comme présenté dans le cours, la méthode consiste à commencer par introduire et résoudre l’équation caractéristique, ici:

9q²−12q+ 4 = 0

qui admet une unique solution q0 = ²₃. Dans ce cas, on sait que le terme général de la suite (uⁿ) est de la forme

uⁿ= (λ+µn) 2

3 ⁿ

,

où λ et µ sont à déterminer à l’aide des premiers termes. Les deux conditions initiales donnent alors le système

λ = 1 (λ+µ)²₃ = 0. ⇐⇒

λ = 1 µ = −1 et il suit que

uⁿ=−(n−1) 2

3 ⁿ

,

ce qui permet de voir, par croissance comparée, que la suite (uⁿ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Exercice 2. Pour n∈N^∗ etx∈R, on pose Pⁿ(x) =

n

Y

k=1

1 + x k

.

(1) Soit n∈N^∗. On a Pⁿ(0) =

n

Y

k=1

1 + 0

k

= 1, Pⁿ(1) =

n

Y

k=1

1 + 1

k

=

n

Y

k=1

k+ 1 k

=n+ 1

et

Pⁿ(−n) =

n

Y

k=1

1 + −n k

= 0

car le dernier terme du produit est nul (1−n/k = 0 sik =n).

2 Solution (2) Cette question est la seule un peu technique de l’exercice. Soit x6= 0.

Pⁿ(x) =

n

Y

k=1

1 + x k

=

n

Y

k=1

x+k k

=

n

Y

k=1

x−1 + (k+ 1)

k+ 1 ×k+ 1 k

=

n

Y

k=1

x−1 + (k+ 1) k+ 1

×

n

Y

k=1

k+ 1 k

=

n+1

Y

k=2

x−1 +k k

×(n+ 1)

=

n

Y

k=1

x−1 +k k

×x−1 +n+ 1

n+ 1 × 1

x−1 + 1 ×(n+ 1)

=

n

Y

k=1

x−1 +k k

×x+n x

= x+n

x Pⁿ(x−1), ce qu’on voulait.

(3) Par la formule précédente,

Pⁿ(2) = 2 +n

2 Pⁿ(1) = (n+ 1)(n+ 2) 2 et

Pⁿ(3) = 3 +n

3 Pⁿ(2) = (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

6 .

(4) On a choisi d’écrire une fonction y=P(n,x) dépendant des deux variables n et x puis de l’utiliser pour la définition des trois autres fonctions demandées. On pouvait tout à fait faire autrement.

Devoir Maison n^◦3 3 (5) Les commandent suivantes permettent d’utiliser la fonction plot2d() pour représenter simultanément les courbes. On a choisi une subdivision de l’intervalle de pas 0,1. (On a transposé les vecteurs-lignes en vecteurs colonnes pour pouvoir les représenter sur une même figure, avec l’apostrophe.) On fait également apparaître l’affiche que nous propose SciLab et qui fait bien plaisir.

Exercice 3. On considère la suite (uⁿ) définie, pour n∈N, par







u0 = 1 2 un+1 = u²n

3uⁿ+ 1

(1) C’est une récurrence facile et classique. Pour n = 0, u0 = 1/2 > 0. Si, pour un certain n, uⁿ existe et est strictement positif, alors en particulier, uⁿ 6= −1/3 et on peut calculer un+1. De plus, en partant de uⁿ > 0, on voit tout de suite que 3uⁿ+ 1 > 0 et, comme u²n>0, on a immédiatement un+1 >0, ce qui termine cette petite récurrence.

(2) On doit trouver le signe deun+1−uⁿ. C’est en fait très facile:

un+1−uⁿ = u²n

3uⁿ+ 1 −uⁿ

= −(2u²n+ 1) 3uⁿ+ 1 <0 car uⁿ>0. Ainsi, la suite est décroissante.

4 Solution (3) La suite est décroissance et minorée (par0). Le théroème de convergence monotone assure donc qu’elle converge vers une limiteℓ. Par passage à la limite dans les inégalités, on sait queℓ ≥0.

Cela n’était pas demandé, mais on peut quand même essayer de déterminer la valeur de la limite en faisant tendren vers l’infini dans la relation de récurrence. On sait alors que ℓ doit vérifier

ℓ= ℓ² 3ℓ+ 2, équation dont les solutions sont

ℓ = 0 ou ℓ=−1.

Comme on sait queℓ ≥0, on conclut donc que (uⁿ) converge vers0.

(4) Le programme demandé est ultra-classique. En voici une version