Équations différentielles a2

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Équations différentielles a ₂ (x)b ₁ (y)y ^′ − a ₁ (x)b ₂ (y) = 0

(Variables séparées)

Les solutions de l’équation a₂(x)b1(y)y^′ − a₁(x)b2(y) = 0, pour a₂(x) 6= 0, b₂(y) 6= 0, sont obtenues

1) En multipliant formellement par _a ^dx

2(x)b2(y), ce qui mène à : ^b_b^1(y)

2(y)dy= ^a_a^1(x)

2(x)dx 2) En intègrant ensuite suivant :R b1(y)

b2(y)dy =R a1(x) a2(x)dx

Exemple

Énoncé

Trouver toutes les solutions de l’équation (1 +x³)y^′ −x²y= 0

Réponse

• Multiplions par : _y(1+x^{1 3}₎dx(Facteur intégrant)

• ^dy_y = _1+x^x23dx

• R _dy

y =R _x²

1+x³dx

• lny= ¹₃ln(1 +x³) +k, k ∈R

• y=k(1 +x³)¹³, k ∈R

On pourra d’ailleurs vérifier cette solution en appliquant la technique des équations différen- tielles linéaires d’ordre 1 sans second membre !

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ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Exercices :

Trouver toutes les solutions de :

x(y−3)y^′ = 4y (1)

x²(y+ 1)dx+y²(x−1)dy= 0 (2)

xyy^′ = (y+ 1)(1−x) (3)

(1 + 2y)dx−(4−x)dy = 0 (4)

y^′ = 1 + 1

y² (5)

1 +x²+y²+x²y² =y^′ (6)

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ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Réponses :

(1) x⁴y³ =ke^y, , k∈R ;f acteur: dx xy

(2) (x+ 1)²+ (y−1)² + 2ln(x−1)(y+ 1) =k , k∈R ;f acteur : 1 (y+ 1)(x−1) (3) y+x=lnx(y+ 1) +k;f acteur: dx

x(y+ 1) (4) (x−4)²(1 + 2y) =k, k ∈R;f acteur: 1

(1 + 2y)(4−x)

(5) y− 1

tany =x+k, k ∈R;f acteur : dx y²+ 1 (6) tan⁻1(y) =x+x³

3 +k;f acteur: dx y²+ 1

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