Équations diﬀérentielles y′ −

(1)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Équations différentielles y ^′ − ay = 0 avec a ∈ R

Les solutions de l’équation y^′−ay= 0 aveca∈R sont les fonctions y=ke^ax, k ∈R

Énoncé

Trouver toutes les solutions de l’équation 3y^′−2y= 0, puis la solution f telle que f(3)=-1.

Réponse

L’équation3y^′−2y= 0 s’écrity^′−²₃y= 0et possède ainsi les solutions f(x) = y=ke²³^x, k ∈R

−1 = ke²³³ fournit k=−e⁻², donc la solution demandée est f(x) = −e⁻²³^x⁻².

Trouver toutes les solutions de :

y^′ = 2y (1)

√3y^′ =y (2)

y^′+y= 0 (3)

Soit y =f(x). Trouver chaque fois la solution particulière de :

y^′+ 2y= 0; f(1) = 3 (4)

2y^′ =y; 2f(−1) = 3 (5)

y−2y^′ = 0; f(0) = 3 (6)

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(2)

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Réponses :

(1) y=ke²^x, k ∈R

(2) y=ke

√3 3 x

, k ∈R (3) y=ke⁻^x, k∈R

(4) y= 3e⁻²^x⁺²

(5) y= 3

2e¹²⁽^x⁺¹⁾ (6) y= 3e¹²x

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