Équations différentielles a(x)y′ −

ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Équations différentielles a(x)y ^′ − b(x)y = c(x)

Méthode par la recherche d’une solution particulière

Les solutions de l’équationa(x)y^′−b(x)y=c(x), aveca(x), b(x)etc(x)fonctions dex, sont les fonctionsy =ke

R b(x) a(x)dx

+y₀, k∈Roùy₀ est une solution particulière quelconque de cette équation qu’il s’agit de trouver par une des méthodes expliquées ☞ ici.

Exemple

Énoncé

Trouver toutes les solutions de l’équation y^′−y =x−1

Réponse

On voit tout de suite quey₀ =−xest une solution particulière.

Les solutions de l’équation y^′ −y=x−1 sont les fonctions y=ke^R1dx−x=ke^x−x, k ∈R

Exercices

Trouver toutes les solutions de :

2xy^′ −y=x+ 1 (1)

y^′ = 2x

1 +x²y+ 2

1 +x² (2)

cos²xsinxy^′ =−cos³xy+ 1 (3)

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ANALYSE/DIFFERENTIELLES

Exercice

Réponses :

2xy^′−y=x+ 1 (1)

L’équation 2xy^′−y= 0 possède dans R^∗+ la solution k√

x,k ∈R Cherchons une solution y₀(x) =k(x)√

x de l’équation (1) : On trouve y₀^′(x) =k(x)₂^√1_x +k^′(x)√

x

En introduisant dans (1), il vient : k^′(x) = ₂^√1x + ₂x¹√x, d’où : k(x) =√

x− ^√1x +c, c∈R et enfin : y = (√x− ^√1x +c)√x=x−1 +k√x

y^′ = ₁₊^2x_x2y+ ₁₊²_x2 (2)

L’équation y^′− 1+^2xx2y= 0 possède dans R la solution k(1 +x²),k ∈R Cherchons une solution y₀(x) =k(x)(1 +x²) de l’équation (2) :

On trouve y₀^′(x) =k(x)2x+k^′(x)(1 +x²)

En introduisant dans (2), il vient : k^′(x) = ₍₁₊²x2)², d’où : k(x) =R ₂

(1+x2)²

k(x) = 2R ₍₁₊x²)−x² (1+x2)²

k(x) = 2tan⁻¹x+ ₁₊^x_x2 −tan⁻¹x+c, c∈R (intégration par parties) k(x) =tan⁻¹x+ ₁₊^xx2 , et enfin :

y = (1 +x²)tan⁻¹x+x+k(1 +x²)

cos²xsinxy^′ =−cos³xy+ 1 (3)

L’équation cos²xsinxy^′+cos³xy = 0 possède dans R− {απ, α∈Z} la solution k_sinx¹ , k∈R Cherchons une solution y₀(x) =k(x)sinx¹ de l’équation (3) :

On trouve y₀^′(x) =−k(x)_sin^cosx2x+k^′(x)_sinx¹

En introduisant dans (3), il vient : k^′(x) = cos¹2x, d’où : k(x) =tanx+c,c∈R et enfin :

y =tanx_sinx¹ +c_sinx¹ = _cosx¹ +c_sinx¹ ,c∈R

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Exercice

Méthodes pour trouver une solution particulière de a(x)y^′−b(x)y=c(x) : – Méthode heuristique (Trial and error)

Exemple : Soit l’équation y’-3y=2x-1. On essaie, si une solution particulière ne pourrait pas être de la forme y₀ =ax+b, avec a, b∈R :

Mais alors :

y^′₀−3y0 = 2x−1 a−3(ax+b) = 2x−1

−3ax+ (a−3b) = 2x−1 a=−2

3;b = 1 9 y₀ =−2

3x+1 9 – Méthode de Lagrange

Méthode : Si la solution générale de l’équation a(x)y^′+b(x)y= 0 est de la formeks(x)avec k ∈R, s(x) fonction de x, alors une solution particulière de l’équation a(x)y^′+b(x)y=c(x) sera de la forme k(x)s(x), c.à.d. que la constante k est remplacée par une fonctionk(x) : Exemple : Soit l’équation x²y^′ +y =xe^x1. En résolvant x²y^′+y = 0, on obtient y =ke^1x = ks(x) avecs(x) = e^1x

Mais alors :

y₀ =k(x)s(x) y₀ =k(x)e^1x x²y^′₀+y₀ =xe^1x x²(k^′(x)e^1x − 1

x²k(x)e^x1) +k(x)e^1x =xe^x1 x²k^′(x)e^1x =xe^1x

x²k^′(x) =x k^′(x) = 1

x

k(x) =ln|x|+c, c∈R. Choisissons c= 0 y₀ =ln|x|e^x1

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