E584 −Trois par trois.
Problème proposé par Michel Lafond
Trouver tous les ensembles composés de 6 nombres réels tels que les 20 sommes obtenues en ajoutant de toutes les manières possibles trois de ces nombres, une fois classées par valeurs croissantes, donnent la liste [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, …].
Solution proposée par l'auteur.
Voir les 4 ensembles solutions à la fin.
Notons les 6 nombres (1)
Pour alléger les notations, on notera dans la suite (de manière inhabituelle) xyz la somme x + y + z.
Le graphe ci-dessous donne les inégalités découlant de (1) entre les 20 sommes : signifie
Puisque les deux plus petites sommes sont 8 et 9, on a nécessairement a + b + c = 8 et a + b + d = 9 Par contre on peut avoir indifféremment a + b + e = 10 ou a + c + d = 10 [Figure 1]
Premier cas : a + b + e = 10 [Figure 2]
La valeur suivante : 12 ne peut être que abf ou acd.
[Ce ne peut pas être ace ou bcd car acd n’aurait pas de valeur possible].
Si abf = 12 [Figure 3]
La valeur suivante : 13 ne peut être que acf ou acd.
Si acf = 13 [Figure 4]
abc abd
abe acd
abf ace bcd
acf ade bce
adf bcf bde
aef bdf cde
bef cdf
cef def
8 abc
abe acd
abf ace bcd 9
abd Figure 1
8 abc
abf ace bcd 9
abd Figure 2
10 abe
acf ade bce
acd
8
abc ace
bcd 9
abd Figure 3
10 abe
acf ade bce
acd
12 abf
8
abc ace
bcd 9
abd Figure 4
10 abe
13 acf ade bce
acd
12 abf
adf bcf bde
On a 13 – 12 = (a+c+f) – (a+b+f) = c – b = (a+c+d) – (a+b+d) = (a+c+d) – 9 D’où l’on tire a+c+d = 10 ce qui est impossible car on a déjà a+b+e = 10.
Si acd = 13 (Deuxième cas possible) [Figure 5]
La Figure 6 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants :
On a (a+c+f) – (a+b+f) = (a+c+d) – (a+b+d) = c – b d’où acf = 16.
De même (a+c+e) – (a+b+e) = (a+c+d) – (a+b+d) = c – b d’où ace = 14.
Puis (a+d+e) – (a+c+e) = (a+b+d) – (a+b+c) = d – c d’où ade = 15.
Puis (a+d+f) – (a+c+f) = (a+b+d) – (a+b+c) = d – c d’où adf = 17.
La valeur de bcd ne peut donc être que 18.
La connaissance de abc ; abd ; abe ; abf ; acd et bcd permet de calculer les 6 inconnues a, b, c, d, e, f en résolvant le système linéaire correspondant.
On trouve une première solution :
Les 20 sommes sont S = [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28.
Si acd = 12 [Figure 7]
La Figure 8 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (a+c+e) – (a+b+e) = (a+c+d) – (a+b+d) d’où ace = 13.
Puis (a+d+e) – (a+c+e) = (a+b+d) – (a+b+c) d’où ade = 14.
La valeur suivante : 15 ne peut être que abf ou bcd.
Si abf = 15 [Figure 9]
8 abc
9
abd Figure 5
10 abe
acf ade bce 13
acd
12 abf
adf bcf bde
ace bcd
8 abc
9
abd Figure 6
10 abe
16 acf 15 ade bce 13
acd
12 abf
17 adf bcf bde 14
ace 18 bcd
8
abc ace
bcd 9
abd Figure 7
10 abe
acf ade bce 12
acd abf
8 abc
9
abd Figure 8
10 abe
acf 14 ade bce 12
acd abf
adf bcf bde 13
ace bcd
8 abc
9
abd Figure 9
10 abe
acf 14 ade bce 12
acd
15 abf
adf
bcf bde 13
ace bcd
La Figure 10 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (a+c+f) – (a+b+f) = (a+c+d) – (a+b+d) = c – b d’où acf = 18.
Ensuite, 16 ne peut être qu’en bcd.
La connaissance de abc ; abd ; abe ; abf ; acd et bcd permet de calculer les 6 inconnues a, b, c, d, e, f en résolvant le système linéaire correspondant.
On trouve une deuxième solution :
Si bcd = 15 [Figure 11]
La Figure 12 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (b+c+e) – (b+c+d) = (a+b+e) – (a+b+d) d’où bce = 16.
(b+d+e) – (b+c+e) = (a+b+d) – (a+b+c) d’où bce = 17.
Ensuite, abf ne peut prendre que la valeur 18.
Mais (a+c+f) – (a+b+f) = (a+c+e) – (a+b+e) d’où acf = 21.
(b+c+f) – (b+c+e) = (a+c+f) – (a+c+e) d’où bcf = 24.
On constate qu’il n’y a plus de place pour le second 18.
Il n’y a pas de solution dans ce cas, mais la résolution du système donne
Les 20 sommes : [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30]
montrent bien que le second 18 est absent.
8 abc
9
abd Figure 10
10 abe
18 acf 14 ade bce 12
acd
15 abf
adf bcf bde 13
ace 16 bcd
8 abc
c
9
abd Figure 11
10 abe
acf 14 ade bce 12
acd abf
adf bcf bde 13
ace 15 bcd
8 abc
c
9
abd Figure 12
10 abe
21 acf 14 ade 16 bce 12
acd
18 abf
adf 24 bcf 17 bde 13
ace 15 bcd
Second cas : a + c + d = 10 [Figure 13]
La valeur suivante : 12 ne peut être que abe ou bcd.
[Ce ne peut pas être ace ou abf car abe n’aurait pas de valeur possible].
Si abe = 12 [Figure 14]
La Figure 15 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (a+c+e) – (a+b+e) = (a+c+d) – (a+b+d) d’où ace = 13.
(a+d+e) – (a+c+e) = (a+b+d) – (a+b+c) d’où ade = 14.
La valeur suivante : 15 ne peut être que abf ou bcd.
Si abf = 15 [Figure 16]
La Figure 17 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (a+c+f) – (a+c+e) = (a+b+f) – (a+b+e) d’où acf = 16.
(a+d+f) – (a+c+f) = (a+b+d) – (a+b+c) d’où adf = 17.
Ensuite, bcd ne peut prendre que la valeur 18.
(b+c+e) – (b+c+d) = (a+b+e) – (a+b+d) d’où bce = 21.
(a+e+f) – (a+d+f) = (a+b+e) – (a+b+d) d’où aef = 20.
(b+c+f) – (a+c+f) = (b+c+d) – (a+c+d) d’où bcf = 24.
Mais il n’y a plus de place pour le deuxième 18.
8
abc ace
bcd 9
abd Figure 13
abe
acf ade bce 10
acd abf
8
abc ace
bcd 9
abd Figure 14
12 abe
acf ade bce 10
acd abf
8 abc
bcd 9
abd Figure 15
12 abe
acf 14 ade bce 10
acd abf 13 ace
8 abc
c
9
abd Figure 16
12 abe
acf 14 ade bce 10
acd
15 abf
adf bcf bde 13
ace bcd
8 abc
c
9 abd
Figure 17 12
abe
16 acf 14 ade 21 bce 10
acd
15 abf
17 adf 24 bcf bde 13
ace 18 bcd
20 aef bdf
cde
Il n’y a pas de solution dans ce cas, mais la résolution du système donne
Les 20 sommes : [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30]
montrent bien que le second 18 est absent.
Si bcd = 15 [Figure 18]
La Figure 19 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : (b+c+e) – (b+c+d) = (a+b+e) – (a+b+d) d’où bce = 18.
16 ne peut donc être qu’en abf.
La connaissance de abc ; abd ; abe ; abf ; acd et bcd permet de calculer les 6 inconnues a, b, c, d, e, f en résolvant le système linéaire correspondant.
On trouve la troisième solution :
Si bcd = 12 [Figure 20]
La Figure 21 ci-dessous s’obtient par les raisonnements suivants : abe ne peut prendre que la valeur 13.
(a+c+e) – (a+b+e) = (a+c+d) – (a+b+d) d’où ace = 14.
(b+c+e) – (b+c+d) = (a+b+e) – (a+b+d) d’où bce = 16.
(a+d+e) – (a+c+e) = (a+b+d) – (a+b+c) d’où ade = 15.
(a+b+f) – (a+b+e) = (a+b+f) – (a+b+e) d’où acf = 19.
(a+c+f) – (a+b+f) = (a+c+e) – (a+b+e) d’où abf = 18.
8 abc
c
9
abd Figure 18
12 abe
acf 14 ade bce 10
acd abf
adf bcf bde 13
ace 15 bcd
8 abc
c
9
abd Figure 19
12 abe
acf 14 ade 18 bce 10
acd
16 abf
adf bcf bde 13
ace 15 bcd
8
abc ace
9
abd Figure 20
abe
acf ade bce 10
acd abf
12 bcd
8 abc
c
9
abd Figure 21
13 abe
19 acf 15 ade 16 bce 10
acd
18 abf
adf bcf bde 14
ace 12 bcd
La connaissance de abc ; abd ; abe ; abf ; acd et bcd permet de calculer les 6 inconnues a, b, c, d, e, f en résolvant le système linéaire correspondant.
On trouve la quatrième solution :
Résumé :
Il y a 4 solutions :
Dans les 4 cas, les 20 sommes des éléments pris 3 à 3 forment la même suite :
S = [8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28].
