G237 : Un mélangeur de cartes
Ce mélangeur de cartes est conçu de façon très simple : pour un ordonnancement donné des cartes, il réarrange toujours de la même façon les n cartes selon leur ordre d’apparition. Il peut
donc être représenté par l’expression !!
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n 1 - n i 3 2
1a a ...a ....a a a
n 1 - ...n i 3...
2
1 dans laquelle la première ligne
donne l’ordre d’apparition des cartes avant mélange et la deuxième ligne donne pour toute carte ayant la position initiale i la position finale ai avec tous les ai distincts entre eux et compris entre 1 et n.
1- On dispose de 21 cartes numérotées de 1 à 21 qui au départ sont dans l’ordre suivant :5, 13, 19, 2, 16, 11, 10, 3, 17, 18, 8, 6, 21, 1, 14, 12, 4, 20, 7, 9, 15. Après le 2ème mélange, les cartes sont dans l’ordre suivant : 13, 20, 12, 18, 21, 1, 11, 16, 7, 8, 5, 14, 9, 2, 4, 15, 10, 3, 6, 19, 17. Quelle est la position des cartes après le 2008ème mélange ?
2- On dispose d’un jeu de 52 cartes. Existe-t-il un mélange qui répété 150 000 fois ne donne toujours pas la répartition d’origine ?
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La substitution qui caractérise le mélangeur est le produit de k cycles dont la somme des longueurs est n.
1) En deux mélanges, la première carte (5) va en 11ème position, celle en 11ème position (8) en 10ème, etc… On obtient ainsi : 11, 10, 4, 14, 6, 7, 17, 15, 12, 19, 9, 21, 16, 3, 20, 13, 5, 8, 18, 2, 1, donc un cycle complet de longueur n=21. Après 21 étapes, on retrouvera donc la position initiale. Puisque 1004=47*21+17, la position après 2008 mélanges est la même qu’après 17*2 mélanges, soit 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6 , 7 , 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
2) Si la substitution est un produit de cycles de longueurs n1, …, nk avec
n=n1+…+nk, on ne retrouvera la disposition initiale qu’après p mélanges avec p=PPCM(n1,…, nk).
On vérifie qu’avec un ensemble de cycles de longueurs (1,1,1,4,5,7,9,11,13), on ne retrouve la position initiale qu’après 180180 mélanges.
