G286 – Les cartes magiques [*** à la main]
Problème proposé par Patrick Gordon
Ce jeu de "bataille" renouvelé se joue à deux joueurs avec n cartes comportant chacune m symboles graphiques tous différents. Les cartes sont ainsi constituées que deux cartes quelconques ont toujours 1 symbole commun et 1 seul.
Les joueurs abattent simultanément chacun une carte. Le premier qui identifie le symbole commun ramasse le pli. C'est donc un jeu d'acuité visuelle et de vivacité, mais cet aspect ne nous concerne pas ici.
Les questions qui intéressent le mathématicien sont :
1- Avec m ≥ 2 symboles par carte,calculer le nombre maximum de cartes qu’il est possible de fabriquer,
2- Avec m ≥ 2 symboles par cartes et n cartes, calculer le nombre total minimum de symboles utilisés,
3- Déterminer le cas optimal qui combine le nombre maximum de cartes et le nombre minimum de symboles utilisés.
4- Dans les cas optimaux, décrire explicitement pour les valeurs de m = 3,4,5 et 6 un mode de répartition des symboles selon les cartes.
Solution des questions 1,2 et 3 proposée par Patrick Gordon Remarques liminaires
Remarquons tout d'abord que la solution triviale consistant en ce qu'il y ait un seul symbole commun aux n cartes est à exclure, car les joueurs s'en apercevraient très vite et le jeu n'aurait aucun intérêt!
En outre une telle solution, si elle permet un n aussi grand qu'on veut, exige un nombre de symboles s = (m – 1) n + 1, donc très élevé.
Supposons d'abord que les s symboles sont uniformément distribués entre les cartes (c’est-à-dire qu'il y a autant de 1 que de 2, etc. – ce qui exige que mn soit divisible par s).
Chaque symbole apparaitra alors mn / s fois.
Les cartes qui comportent un 1 (pour fixer les idées) sont aussi nombreuses que les 1, puisqu'aucune ne peut en comporter plus d'un, donc au nombre de mn / s.
Ces mn / s cartes-là doivent présenter des ensembles de (m–1) autres symboles tous différents, ce qui exige (m–1) mn / s symboles.
Si l'on ajoute le 1, s doit satisfaire : s ≥ (m–1) mn / s + 1 soit : s (s – 1) ≥ (m –1)mn.
Une solution à l'égalité est obtenue pour : n1 = (m –1)m – 1 et s1 = n1 + 1 n2 = (m –1)m + 1 et s2 = n2
Raisonnons toujours avec une distribution uniforme des symboles
Comme il faut alors en outre que mn soit divisible par s, seul le cas n°2 (où s = n) est acceptable, soit :
s = n = (m –1)m + 1
Mais est-ce bien le maximum de n pour m donné, c’est-à-dire ne peut-on avoir n > (m –1)m + 1?
Prenons un exemple. Pour m = 8, on a : s = n = (m –1)m + 1 = 57.
Soit une 58ème carte. Imaginons qu'elle comporte le nombre a (compris entre 1 et 57). Les 8 cartes qui, parmi les 57 premières, comportent le nombre a, comportent par ailleurs 8 fois 7 nombres tous différents de a et entre eux, soit au total tous les nombres de 1 à 57. La 58ème carte ne devra donc comporter, outre a, que des nombres ≥ 58, faute de quoi elle aurait 2 symboles communs avec l'une des 57 premières cartes. Cette 58ème carte n'aurait donc aucun symbole commun avec celles des 57 premières qui ne comportent pas a.
Il en résulte que n = (m –1)m + 1 est bien le maximum du nombre de cartes pour m donné (avec une distribution uniforme des symboles) et que s = n est bien le minimum de symboles différents pour m donné.
Si la distribution des symboles n'est pas uniforme, il y a un symbole qui apparaît plus de mn/s fois. Les cartes qui le comportent doivent donc comporter plus de symboles que dans le cas d'une distribution uniforme et l'on retrouve l'inégalité (stricte cette fois) s > (m–1) mn / s + 1 soit :
s (s – 1) > (m –1)mn.
Comparons ce s avec le s minimum (notons le s*) trouvé dans le cas d'une distribution uniforme pour la même valeur de m, soit (voir ci-dessus) :
s* = (m –1)m + 1 On a :
s (s – 1) > n (s* – 1).
Si n est le maximum n* trouvé dans le cas d'une distribution uniforme, on a vu qu'il vaut s* et par conséquent s > s*, car la fonction y = x (x – 1) est croissante pour x ≥ 1.
Si n est supérieur à s*, alors :
s (s – 1) > n (s* – 1) > s* (s* – 1) et s > s* par a fortiori.
Dans ces deux premiers cas, s n'est donc pas minimal et ne répond donc pas aux conditions de l'énoncé.
Le cas de n inférieur à s* est possible (on peut toujours supprimer des cartes du paquet optimal à distribution uniforme) mais n n'est pas maximal et ne répond donc pas aux conditions de l'énoncé.
En résumé :
Le nombre maximal n de cartes comportant chacune m symboles graphiques tous différents et telles que deux cartes quelconques ont toujours 1 symbole commun et 1 seul que l'on peut constituer, tout en maintenant minimal le nombre de symboles différents s à utiliser est obtenu avec une distribution uniforme des symboles et satisfait à :
s = n = (m –1)m + 1 m n = s
1
2 3
3 7
4 13
5 21
6 31
7 43
8 57
9 73
10 91
