Un mélangeur de cartes
Problème G231 de Diophante
Ce mélangeur de cartes est conçu de façon très simple : pour un
ordonnancement donné des cartes, il réarrange toujours de la même façon les n cartes selon leur ordre d'apparition. Il peut donc être représenté par l'expression :
1 2 3 … n a1 a2 a3 … an
dans laquelle la première ligne donne l'ordre d'apparition des cartes avant mélange et la deuxième ligne donne pour toute carte ayant la position initiale i la position finale ai avec tous les ai distincts entre eux et compris entre 1 et n.
1 On dispose de 21 cartes numérotées de 1 à 21 qui au départ sont dans l'ordre suivant : 5, 13, 19, 2, 16, 11, 10, 3, 17, 18, 8, 6, 21, 1, 14, 12, 4, 20, 7, 9, 15. Deux mélanges plus tard, les cartes sont dans l'ordre suivant : 13, 20, 12, 18, 21, 1, 11, 16, 7, 8, 5, 14, 9, 2, 4, 15, 10, 3, 6, 19, 17.
Quelle est la position des cartes après le 2008ème mélange ?
2 On dispose d'un jeu de 52 cartes. Existe-t-il un mélange qui, répété 150 000 fois, ne donne toujours pas la répartition d'origine ?
Solution
1 Sur une première ligne, écrivons les rangs et, sur les deux lignes suivantes les objets qui occupent ces rangs, initialement et après deux mélanges :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5 13 19 2 16 11 10 3 17 18 8 6 21 1 14 12 4 20 7 9 15 13 20 12 18 21 1 11 16 7 8 5 14 9 2 4 15 10 3 6 19 17
On observe que le 5 qui est au premier rang va au onzième. Notons 1>11 que nous lisons « 1 va en 11 ». De proche en proche, on obtient :
1>11>10>4>14>6>7>17>15>12>19>9>21>16>3>20>13>5>8>18>2>1 qui montre que la permutation π relative à deux mélanges consécutifs est circulaire (ne comporte qu’un seul cycle). Ainsi π21 = Id.
Le 2008ème mélange correspond à π1004, ou encore π17 (car 1004 = 47*21 + 17) Dans un tableau, notons (de ligne en ligne) la disposition des cartes après un double mélange. Nous observons que la dix-septième fois chaque carte occupe le rang correspondant à sa valeur.
Ainsi, après 2008 mélanges, on a remis de l’ordre (pour la 48ième fois).
0 5 13 19 2 16 11 10 3 17 18 8 6 21 1 14 12 4 20 7 9 15 1 13 20 12 18 21 1 11 16 7 8 5 14 9 2 4 15 10 3 6 19 17 2 20 3 15 8 9 2 1 21 6 5 13 4 19 18 10 17 11 16 14 12 7 3 3 16 17 5 19 18 2 9 14 13 20 10 12 8 11 7 1 21 4 15 6 4 16 21 7 13 12 8 18 19 4 20 3 11 15 5 1 6 2 9 10 17 14 5 21 9 6 20 15 5 8 12 10 3 16 1 17 13 2 14 18 19 11 7 4 6 9 19 14 3 17 13 5 15 11 16 21 2 7 20 18 4 8 12 1 6 10 7 19 12 4 16 7 20 13 17 1 21 9 18 6 3 8 10 5 15 2 14 11 8 12 15 10 21 6 3 20 7 2 9 19 8 14 16 5 11 13 17 18 4 1 9 15 17 11 9 14 16 3 6 18 19 12 5 4 21 13 1 20 7 8 10 2 10 17 7 1 19 4 21 16 14 8 12 15 13 10 9 20 2 3 6 5 11 18 11 7 6 2 12 10 9 21 4 5 15 17 20 11 19 3 18 16 14 13 1 8 12 6 14 18 15 11 19 9 10 13 17 7 3 1 12 16 8 21 4 20 2 5 13 14 4 8 17 1 12 19 11 20 7 6 16 2 15 21 5 9 10 3 18 13 14 4 10 5 7 2 15 12 1 3 6 14 21 18 17 9 13 19 11 16 8 20 15 10 11 13 6 18 17 15 2 16 14 4 9 8 7 19 20 12 1 21 5 3 16 11 1 20 14 8 7 17 18 21 4 10 19 5 6 12 3 15 2 9 13 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18 2 18 16 10 13 14 6 5 19 11 1 15 20 4 17 21 7 8 12 3 9 19 18 8 21 11 20 4 14 13 12 1 2 17 3 10 7 9 6 5 15 16 19 20 8 5 9 1 3 10 4 20 15 2 18 7 16 11 6 19 14 13 17 21 12 21 5 13 19 2 16 11 10 3 17 18 8 6 21 1 14 12 4 20 7 9 15
Remarque La permutation suivante a pour carré la permutation π : 1>9>11>21>10>16>4>3>14>20>6>13>7>5>17>8>15>18>12>2>19>1
2 Rappelons que l’ordre d’une permutation p (le plus petit entier n non nul tel que pn = Id) est le PPCM des ordres de ses cycles.
Il s’agit donc de trouver des nombres dont la somme est 52 et dont le PPCM dépasse 150 000.
Idéalement, pour une somme S, le produit de nombres, dont la somme est S, est maximum lorsque ces nombres sont tous égaux à e ( 2,71828 … ), en quantité S/e.
Pour ce qui nous concerne cela signifie qu’il faut choisir des nombres premiers entre eux les plus petits possibles. Le choix 1, 3, 5, 7, 8, 11, 17 convient ( la somme est 52 et le produit 157 080).
