G231. Un mélangeur de cartes
Ce mélangeur de cartes est conçu de façon très simple : pour un ordonnancement donné des cartes, il réarrange toujours de la même façon les cartes selon leur ordre d'apparition. Il peut donc être représenté par l'expression :
1 2 3 … … 1
… …
dans laquelle la première ligne donne l'ordre d'apparition des cartes avant mélange et la deuxième ligne donne pour toute carte ayant la position initiale la position finale avec tous les distincts entre eux et compris entre 1 et . 1. On dispose de 21 cartes numérotées de 1 à 21 qui au départ sont dans l'ordre suivant : 5, 13, 19, 2, 16, 11, 10, 3,
17, 18, 8, 6, 21, 1, 14, 12, 4, 20, 7, 9, 15. Deux mélanges plus tard, les cartes sont dans l'ordre suivant : 13, 20, 12, 18, 21, 1, 11, 16, 7, 8, 5, 14, 9, 2, 4, 15, 10, 3, 6, 19, 17. Quelle est la position des cartes après le 2008ème mélange ?
2. On dispose d'un jeu de 52 cartes. Existe-t-il un mélange qui répété 150 000 fois ne donne toujours pas la répartition d'origine ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Question 1
La permutation décrivant le mélangeur vérifie :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 1 20 14 8 7 17 18 21 4 10 19 5 6 12 3 15 2 9 13 16 On remarque que ne contient qu’un cycle (1,11,10,4,14,6,7,17,15,12,19,9,21,16,3,20,13,5,8,18,2) de longueur 21.
On déduit ainsi que et que , soit :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5 13 19 2 16 11 10 3 17 18 8 6 21 1 14 12 4 20 7 9 15 Après le 2008ème mélange, les cartes sont donc dans l’ordre : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21.
Question 2
Considérons une permutation de 52 cartes qui se décompose en cycles de longueur 1, 1, 1, 4, 5, 7, 9, 11, 13.
(On a bien 1 1 1 4 5 7 9 11 13 52). Comme par exemple :
1 2 3 4 ! 7 8 ! 12 13 ! 19 20 ! 28 29 ! 39 40 ! 521 2 3 5 " 4 9 " 8 14 " 13 21 " 20 30 " 29 41 " 40 Le nombre ##$%&1,1,1,4,5,7,9,11,13( est le plus petit entier tel que . Il est donc nécessaire d’appliquer la permutation 4 5 7 9 11 13 180180 fois pour revenir à la répartition d’origine.
