S4 2005-2006 - Probabilités et statistiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 4 : lois usuelles
1. Dans une banque, il y a 5% de chance pour qu’un client se présente au guichet durant un intervalle de 30 secondes. Quelle est la probabilité pour que 10 clients se présentent en une heure ? Pour que se présentent au moins 15 clients en une heure ?
2. Dans une entreprise qui produit des tubes fluorescents, la proportion de tubes défectueux est de 2%.
(a) Quelle loi de probabilité suit le nombre de tubes défectueux dans un échantillon de 200 tubes ? Déterminer sa moyenne et sa variance.
(b) Les conditions requises pour approcher cette loi par une loi de Poisson sont-elles satisfaites ? (c) Donner le nombre le plus probable de tubes défectueux que l’on obtient. Est-il unique ? (d) Quelles sont les chances sur 100 d’observer 15 tubes défectueux et plus ?
(e) On effectue un contrôle à 11h en prélevant 200 tubes et un autre à 16h en prélevant 100 tubes.
SoitX1la variable associée au premier échantillon etX2celle associée au second.
Quelle est la loi deY =X1+X2? CalculerE(Y), Var(Y), p(Y =0), p(Y =4), p(Y >15).
3. SoitX une variable aléatoire qui suit la loi normaleµ=24 etσ=3. En utilisant les tables, calculer :
(a)p(X >30) (b)p(X <15) (c)p(22<X <31)
(d)p(21<X <27) (e)αtel que p(X>α) =30% (f)βtel que p(X <β) =20%. 4. Pour se prémunir contre les 10% défections tardives habituellement constatées, une compagnie aé-
rienne pratique la surréservation : elle vend 270 billets pour 250 sièges dans un avion.
SoitX la variable aléatoire « nombre de personnes ayant réservé qui se présentent pour embarquer ».
(a) Quelle est la probabilité qu’une personne ayant acheté un billet se présente à l’embarquement ? (b) Montrer queX suit une loi binomiale, et que l’approximation par une loi normale est justifiée.
(c) Quelle est la probabilité que toute personne ayant réservé et se présentant soit assurée d’un siège ? Celle pour qu’au moins une personne ayant une réservation se voit refuser l’embarquement ? (d) Quelle est la probabilité qu’un usager sans réservation puisse obtenir un siège en se présentant au
guichet à la dernière minute ?
(e) Quel est le taux de surréservation maximal à utiliser si l’on veut que 99,73% des personnes ayant réservé puissent embarquer ?
5. Un ascenseur supporte une charge de 800 kg. Le poids des utilisateurs est distribué selon la loi normale de paramètresµ=80 kg etσ2=100kg2. Quel est le nombre maximum de personnes que l’on peut autoriser à monter simultanément pour que la probabilité de surcharge ne dépasse pas 0,001 ?
6. La probabilité qu’un capteur tombe en panne un jour donné est de 0.0002.
Quelle loi suit la variable aléatoireT donnant la durée de vie du capteur ?
Donner sa MTBF et sa durée de vie médiane (t0telle que p(”la durée de vie est inférieure àt0”) = 12).
Déterminer la probabilité que le capteur ait une durée de vie supérieure à 2000 jours.
7. On raccorde en série une résistance de 1000Ωet deux de 200Ω. La résistance de 1000Ωprovient d’un procédé de fabrication suivant une loi normale µ=998Ω, σ=5.2Ω, les résistances de 200Ω d’un procédé de moyenne 202Ωet d’écart-type 1.5Ω.
Quel est le pourcentage de circuits qui respecteront les spécifications 1400±15Ω?
